1. الجذر التكعيبي للعدد النسبي

الجذر التكعيبي للعدد النسبي أ يُرمز له بالرمز ∛أ وهو العدد الذي مكعبه يساوي أ:

• حفظ الإشارة: الجذر التكعيبي لعدد موجب هو موجب، ولعدد سالب هو سالب: ∛(-8) = -2، ∛(27) = 3.
• الجذر التكعيبي للصفر: ∛0 = 0.
• الجذر التكعيبي للكسر الاعتيادي: ∛(أ/ب) = ∛أ / ∛ب (حيث ب ≠ 0). مثال: ∛(8/125) = 2/5.
• حل معادلات القوة التكعيبية: إذا كان س³ = ك فإن س = ∛ك.

2. مجموعة الأعداد غير النسبية (ن')

العدد غير النسبي هو عدد لا يمكن التعبير عنه على صورة بسط ومقام أ / ب (حيث أ، ب ∈ ص، ب ≠ 0):

خاصية الفصل: ن ∩ ن' = ∅ (لا يوجد عدد نسبي وغير نسبي في آن واحد).

3. البرهان الرياضي: إثبات أن √2 عدد غير نسبي

نستخدم طريقة البرهان بالتناقض (Reductio ad Absurdum):

1. نفرض جدلاً أن √2 عدد نسبي، إذن √2 = أ / ب في أبسط صورة (أ، ب أعداد صحيحة أولية نسبياً، ب ≠ 0).
2. بتربيع الطرفين: 2 = أ² / ب² ⇐ أ² = 2 ب².
3. هذا يعني أن أ² عدد زوجي، وبالتالي يجب أن يكون أ عدداً زوجياً (ليكن أ = 2 ك).
4. بالتعويض: (2 ك)² = 2 ب² ⇐ 4 ك² = 2 ب² ⇐ ب² = 2 ك².
5. هذا يقتضي أن ب² زوجي، وبالتالي ب عدد زوجي أيضاً!

4. إيجاد قيمة تقريبية وحصر العدد الأصم

لحصر عدد غير نسبي بين عددين نسبيين، نبحث عن مربعات أو مكعبات كاملة تحيط به:

• حصر √5 بين عددين صحيحين: بما أن 4 < 5 < 9، إذن √4 < √5 < √9 ⇐ 2 < √5 < 3.
• حصر √2 لأقرب جزء من عشرة:
  (1.4)² = 1.96
  (1.5)² = 2.25
  بما أن 1.96 < 2 < 2.25 ⇐ 1.4 < √2 < 1.5.
• حصر ∛12 بين عددين صحيحين: 8 < 12 < 27 ⇐ 2 < ∛12 < 3.

تتيح هذه الطريقة تمثيل وتوقع مواقع الجذور على خط الأعداد بدقة حسابية عالية.