المشغل الصوتي التفاعلي الذكي
استمع إلى النص كاملاً بقراءة معبرة واضحة ومتقنة، أو استمع لكل فقرة منفصلة
الفقرة الأولى: القوانين الأساسية للأسس في الأعداد الحقيقية
تُعَدُّ (قَوَانِينُ الْأُسُسِ) إِحْدَى الرَّكَاكِزِ الْجَبْرِيَّةِ الْأَسَاسِيَّةِ لِتَبْسِيطِ الْحِسَابَاتِ الرِّيَاضِيَّةِ. وَتَبْدَأُ هَذِهِ الْقَوَاعِدُ بِأَنَّهُ عِنْدَ ضَرْبِ الْأَسَاسَاتِ الْمُتَشَابِهَةِ نَجْمَعُ الْأُسُسَ [a^m × a^n = a^(m+n)]، وَعِنْدَ قِسْمَةِ الْأَسَاسَاتِ الْمُتَشَابِهَةِ نَطْرَحُ الْأُسُسَ [a^m ÷ a^n = a^(m-n)]. كَمَا أَنَّ أَيَّ عَدَدٍ حَقِيقِيٍّ غَيْرِ صِفْرِيٍّ مَرْفُوعٍ لِأُسِّ صِفْرٍ يُسَاوِي وَاحِدًا صَحِيحًا [a^0 = 1]، وَالْأُسَّ السَّالِبَ يُمَثِّلُ الْمَعْكُوسَ الضَّرْبِيَّ لِلْعَدَدِ أَيْ مَقْلُوبَهُ [a^(-n) = 1 / a^n]؛ مِمَّا يُمَكِّنُنَا مِنْ تَحْوِيلِ أَيِّ أُسٍّ سَالِبٍ إِلَى أُسٍّ مُوجَبٍ بِتَغْيِيرِ مَوْقِعِهِ بَيْنَ الْبَسْطِ وَالْمَقَامِ.
سؤال ذكاء للفهم
سؤال: ما ناتج ضرب وقسمة القوى ذات الأساسات المتشابهة؟ وما قيمة أي عدد مرفوع لأس صفر؟
إجابة استرشادية: عند الضرب نجمع الأسس، وعند القسمة نطرح الأسس، وأي عدد حقيقي غير صفري أس صفر يساوي 1.
الفقرة الثانية: قانون قوة القوة (Power of a Power)
يَنُصُّ (قَانُونُ قُوَّةِ الْقُوَّةِ) عَلَى أَنَّهُ لِأَيِّ عَدَدٍ حَقِيقِيٍّ a وَلِأَيِّ عَدَدَيْنِ صَحِيحَيْنِ m وَ k: [(a^m)^k = a^(m × k)]؛ أَيْ أَنَّهُ عِنْدَ رَفْعِ قُوَّةٍ لِقُوَّةٍ أُخْرَى نَقُومُ بِضَرْبِ الْأُسِّ الدَّاخِلِيِّ فِي الْأُسِّ الْخَارِجِيِّ مُبَاشَرَةً. مِثَالٌ تَوْضِيحِيٌّ: (2³)² = 2^(3 × 2) = 2⁶ = 64. كَمَا يَنْطَبِقُ هَذَا الْقَانُونُ عَلَى الْأَعْدَادِ الْجَذْرِيَّةِ وَالْكُسُورِ؛ فَمَثَلًا [(√3)²]⁴ = (√3)^(2 × 4) = (√3)⁸ = 3⁴ = 81؛ مِمَّا يُسَهِّلُ التَّعَامُلَ مَعَ الْجُذُورِ التَّرْبِيعِيَّةِ وَالتَّكْعِيبِيَّةِ فِي الْأَعْدَادِ الْحَقِيقِيَّةِ.
سؤال ذكاء للفهم
سؤال: ما القاعدة الجبرية لرفع قوة إلى قوة أخرى؟ واحسب ناتج [(√5)²]³.
إجابة استرشادية: نضرب الأس الداخلي في الخارجي (a^m)^k = a^(m×k)، وناتج [(√5)²]³ = (√5)⁶ = 5³ = 125.
الفقرة الثالثة: قوة حاصل الضرب وقوة خارج القسمة
يَتَمَيَّزُ الْأُسُّ بِخَاصِّيَّةِ التَّوْزِيعِ عَلَى عَمَلِيَّتَيِ الضَّرْبِ وَالْقِسْمَةِ دُونَ الْجَمْعِ وَالطَّرْحِ:
1. (قُوَّةُ حَاصِلِ الضَّرْبِ): [(a × b)^n = a^n × b^n]؛ حَيْثُ يُوَزَّعُ الْأُسُّ الْخَارِجِيُّ عَلَى جَمِيعِ الْعَوَامِلِ الْمَضْرُوبَةِ بِالدَّاخِلِ.
2. (قُوَّةُ خَارِجِ الْقِسْمَةِ): [(a / b)^n = a^n / b^n] حَيْثُ b ≠ 0؛ حَيْثُ يُوَزَّعُ الْأُسُّ عَلَى الْبَسْطِ وَالْمَقَامِ.
3. (الْأُسُّ السَّالِبُ لِلْكَسْرِ): [(a / b)^(-n) = (b / a)^n]؛ أَيْ أَنَّ قَلْبَ الْكَسْرِ يَجْعَلُ الْأُسَّ السَّالِبَ مُوجَبًا مُبَاشَرَةً؛ مِثْلَ (2/3)⁻² = (3/2)² = 9/4.
سؤال ذكاء للفهم
سؤال: هل يتوزع الأس على الجمع والطرح؟ وكيف نتعامل مع الكسر المرفوع لأس سالب؟
إجابة استرشادية: لا يتوزع الأس على الجمع والطرح نهائياً، والكسر المرفوع لأس سالب يقلب بسطه ومقامه ليصبح أسه موجباً.
الفقرة الرابعة: المعادلات الأسية وتطبيقاتها الرياضية
تُعَرَّفُ (الْمُعَادَلَةُ الْأُسِّيَّةُ) بِأَنَّهَا: مُعَادَلَةٌ يَكُونُ فِيهَا الْمَجْهُولُ (س) وَاقِعًا فِي مَوْضِعِ الْأُسِّ. وَتُحَلُّ بِنَاءً عَلَى قَاعِدَتَيْنِ ذَهَبِيَّتَيْنِ:
1. (إِذَا كَانَ الْأَسَاسُ = الْأَسَاسَ، فَإِنَّ الْأُسَّ = الْأُسَّ)؛ شَرِيطَةَ أَلَّا يَكُونَ الْأَسَاسُ مَسَاوِيًا 1 أَوْ -1 أَوْ 0. مِثَالٌ: 2^(س + 1) = 8 = 2³ ⇐ س + 1 = 3 ⇐ س = 2.
2. (إِذَا كَانَ الْأُسُّ = الْأُسَّ وَالْأَسَاسُ ≠ الْأَسَاسَ، فَإِنَّ الْأُسَّ = صِفْرًا)؛ مِثَالٌ: 5^(س - 4) = 7^(س - 4) ⇐ س - 4 = 0 ⇐ س = 4.
سؤال ذكاء للفهم
سؤال: حل المعادلة الأسية: 3^(س - 2) = 27، والمعادلة: 4^(س + 5) = 9^(س + 5).
إجابة استرشادية: الأولى: 3^(س-2) = 3³ ومنها س - 2 = 3 إذن س = 5. الثانية: الأساسات مختلفة إذن س + 5 = 0 ومنها س = -5.
خريطة النص والعناصر الفنية التحليلية
استكشف خريطة النص وتعرف على الشخصيات والزمان والمكان والفكرة المحورية وأهم الدروس المستفادة.
خريطة القواعد الذهبية للأسس في ح (الأعداد الحقيقية)
• ضرب الأساسات المتشابهة: a^m × a^n = a^(m+n).
• قسمة الأساسات المتشابهة: a^m ÷ a^n = a^(m-n).
• قوة القوة: (a^m)^k = a^(m × k).
• توزيع الأس: (ab)^n = a^n b^n ، (a/b)^n = a^n / b^n.
• الأس الصفري والسالب: a^0 = 1 ، a^(-n) = 1 / a^n.
• قسمة الأساسات المتشابهة: a^m ÷ a^n = a^(m-n).
• قوة القوة: (a^m)^k = a^(m × k).
• توزيع الأس: (ab)^n = a^n b^n ، (a/b)^n = a^n / b^n.
• الأس الصفري والسالب: a^0 = 1 ، a^(-n) = 1 / a^n.
جدول مقارنة: العمليات على الأسس ونماذج حل المسائل
اسحب أفقياً لعرض كامل الجدول
| العملية الجبرية | الصيغة الرمزية للقانون | مثال رقمي توضيحي | الناتج بعد التبسيط |
|---|---|---|---|
| ضرب قوى متماثلة | a^m × a^n = a^(m+n) | 3² × 3⁴ | 3⁶ = 729 |
| قسمة قوى متماثلة | a^m ÷ a^n = a^(m-n) | 5⁷ ÷ 5⁴ | 5³ = 125 |
| قوة القوة | (a^m)^k = a^(m × k) | (2³)² | 2⁶ = 64 |
| الأس السالب | (a/b)^(-n) = (b/a)^n | (3/4)⁻² | (4/3)² = 16/9 |
| معادلة أسية | إذا الأساس = الأساس فالأس = الأس | 2^(س - 1) = 16 = 2⁴ | س - 1 = 4 ⇐ س = 5 |
تحذير جبري خطير: خطأ شائع
تذكر دائماً أن (س + ص)² ≠ س² + ص²، فالأسس لا توزع أبداً على الجمع أو الطرح، بل يفك المقدار كـ: (س² + 2س ص + ص²). التوزيع مقتصر حصراً على الضرب والقسمة.
معجم الألفاظ والتراكيب اللغوية الشامل (14 مفردة)
اضغط على أيقونة السماعة للاستماع لنطق الكلمة ومعناها وجملتها النموذجية
معنى
الْأَسَاسُ
العدد الأصلي المضروب في نفسه عدة مرات في التعبير الأسي
في المقدار 5³ الأساس هو 5.
معنى
الْأُسُّ (الْقُوَّةُ)
عدد مرات تكرار ضرب الأساس في نفسه ويرمز له بأعلى الرقم
في 2⁴ الأس هو 4.
معنى
قُوَّةُ الْقُوَّةِ
رفع مقدار ذي أس إلى أس خارجي آخر بحاصل ضربهما (a^m)^k
(3²)³ = 3⁶.
معنى
الْأُسُّ السَّالِبُ
المعكوس الضربي للقوة ذات الأس الموجب a^(-n) = 1/a^n
5⁻¹ = 1/5.
معنى
الْأُسُّ الصِّفْرِيُّ
أي عدد حقيقي لا يساوي صفراً مرفوع لأس صفر يساوي 1
7⁰ = 1.
معنى
مُعَادَلَةٌ أُسِّيَّةٌ
معادلة جبرية يقع فيها المتغير المجهول كأُسٍّ في أحد طرفيها
3^س = 9 معادلة أسية حلها س = 2.
معنى
تَوْزِيعُ الْأُسِّ
خاصية تطبيق الأس على كل حد من حدود الضرب والقسمة
(س ص)³ = س³ ص³.
معنى
تَبْسِيطُ الْمِقْدَارِ
تحويل المقدار الجبري الأسي إلى أبسط صورة ممكنة
تبسيط المقادير الأسية في الامتحان.
معنى
مَعْكُوسٌ ضَرْبِيٌّ
مقلوب العدد بحيث يكون حاصل ضربهما يساوي 1
المعكوس الضربي لـ 2⁻³ هو 2³.
مضاد
ضَرْبٌ ↔ قِسْمَةٌ
المضاد: جمع الأسس في الضرب مقابل طرحها في القسمة
نجمع الأسس ضرباً ونطرحها قسمة.
مضاد
مُوجَبٌ ↔ سَالِبٌ
المضاد: قيمة الأس الأكبر من الصفر مقابل الأقل منه
الأس الموجب والأس السالب.
مضاد
بَسْطٌ ↔ مَقَامٌ
المضاد: الحد العلوي في الكسر مقابل الحد السفلي
تغيير موقع المقدار بين البسط والمقام.
جمع
أُسٌّ
الجمع: أُسُسٌ (قوى الأعداد الرياضية)
قوانين الأسس في الجبر.
جمع
قُوَّةٌ
الجمع: قُوًى (المراتب التكرارية للأعداد)
حساب قوى الأعداد الحقيقية.
معمل الجبر: استراتيجيات تبسيط المقادير الأسية الكبرى
كيف تبسط أصعب المسائل الأسية في الامتحانات في خطوات محددة:
1. تحليل الأساسات غير الأولية إلى عواملها الأولية
إذا كان في المسألة أعداد مثل 4 أو 6 أو 9 أو 8، حولها إلى قوى للأعداد الأولية: 4 = 2²، 8 = 2³، 9 = 3²، 6 = 2 × 3.
أمثلة: تحويل المقدار إلى أساسات 2 و 3 المشتركة.
2. تجميع الأسس المتشابهة في خطوة واحدة
الأساس الذي في البسط يوضع أسه كما هو، والذي في المقام يعكس إشارته؛ فيصبح 2^(بسط - مقام).
أمثلة: توفير وقت الحل ومنع أخطاء الإشارات.
3. فخ الأساس السالب والأس الفردي والزوجي
إذا كان الأساس سالباً: الأس الزوجي يلغي الإشارة السالبة [(-2)⁴ = +16]، بينما الأس الفردي يحافظ على الإشارة السالبة [(-2)³ = -8].
أمثلة: قاعدة الإشارات في الأسس.
تحدي عبقري الجبر
اختصر لأبسط صورة المقدار: [ (4^ن × 6^(2ن)) ÷ (24^ن) ]، ثم أوجد قيمة الناتج عندما ن = 3.
بنك التقييم الذكي الشامل (10 سؤالاً)
اختر الإجابة الصحيحة لكل سؤال، وستحصل فوراً على التغذية الراجعة والتفسير التعليمي
النتيجة: 0 / 10
1
قِيمَةُ الْمِقْدَارِ (2³)² تُسَاوِي:
2
أَيُّ عَدَدٍ حَقِيقِيٍّ غَيْرِ صِفْرِيٍّ مَرْفُوعٍ لِلْأُسِّ صِفْرٍ (a⁰) يُسَاوِي:
3
قِيمَةُ الْمِقْدَارِ (3/5)⁻² تُسَاوِي:
4
إِذَا كَانَ 2^(س - 1) = 16، فَإِنَّ قِيمَةَ س تُسَاوِي:
5
عِنْدَ ضَرْبِ الْقُوَى ذَاتِ الْأَسَاسَاتِ الْمُتَشَابِهَةِ، نَقُومُ بِـ:
6
إِذَا كَانَ 3^(س - 4) = 5^(س - 4)، فَإِنَّ قِيمَةَ س تُسَاوِي:
7
قِيمَةُ الْمِقْدَارِ [(√3)²]⁴ تُسَاوِي:
8
الْمَعْكُوسُ الضَّرْبِيُّ لِلْعَدَدِ 2⁻³ هُوَ:
9
نَاتِجُ قِسْمَةِ 7⁸ ÷ 7⁵ يُسَاوِي:
10
قِيمَةُ (-2)⁴ + (-2)³ تُسَاوِي: