الدرس الأول: مقدمة في الأعداد المركبة
اكتشف النظام العددي الموسع للأعداد المركبة: مفهوم العدد التخيلي (ت)، قوى (ت) المتتالية، العمليات الجبرية الأساسية والعددان المترافقان وحل المعادلات في مجموعة ك.
المساعد الصوتي لشرح الدرس
استمع لشرح المفاهيم الرياضية وقواعد القوى والعمليات خطوة بخطوة بنبرة واضحة ومريحة.
نشأة العدد التخيلي (ت)
في مجموعة الأعداد الحقيقية $\mathbb{R}$، المعادلة $x^2 + 1 = 0$ ليس لها حل لأن $x^2 = -1$ ولا يوجد جذر تربيعي لعدد سالب في $\mathbb{R}$. لذلك عُرّف العدد التخيلي $i$ (ويرمز له في المنهج بالرمز ت) بالخاصية:
دورية قوى (ت)
عند رفع (ت) لأسس صحيحة موجبة متتالية، نجد نمطاً دورياً يتكرر كل 4 أسس:
تعريف العدد المركب
العدد المركب هو أي عدد يمكن كتابته على الصورة:
يسمى أ الجزء الحقيقي، ويسمى ب الجزء التخيلي. مجموعة الأعداد المركبة يرمز لها بالرمز ك (Complex Numbers $\mathbb{C}$).
العددان المترافقان وخاصية الضرب
مرافق العدد المركب $ع = أ + ب ت$ هو $ع̄ = أ - ب ت$ (بتغيير إشارة الجزء التخيلي فقط).
حاصل ضرب أي عدد مركب في مرافقه ينتج دائماً عدداً حقيقياً موجباً أو صفراً:
$(أ + ب ت)(أ - ب ت) = أ^2 - (ب ت)^2 = أ^2 - ب^2(-1) = أ^2 + ب^2$
مسائل نموذجية محلولة بالتفصيل
مثال 1 بسط المقدار: ت^43
الحل:
نقسم الأس 43 على 4: $43 = 4 \times 10 + 3$.
إذن باقي القسمة هو 3.
وبالتالي: $ت^{43} = ت^3 = -ت$.
مثال 2 ضع العدد في أبسط صورة: (3 + 2ت) + (4 - 5ت)
الحل:
نجمع الحقيقي مع الحقيقي، والتخيلي مع التخيلي:
الجزء الحقيقي: $3 + 4 = 7$
الجزء التخيلي: $2ت - 5ت = -3ت$
الناتج النهائي = $7 - 3ت$.
مثال 3 بسط الكسر: (5 - ت) / (2 + ت)
الحل:
نضرب كلاً من البسط والمقام في مرافق المقام وهو $(2 - ت)$:
المقام: $(2 + ت)(2 - ت) = 2^2 + 1^2 = 4 + 1 = 5$
البسط: $(5 - ت)(2 - ت) = 10 - 5ت - 2ت + ت^2 = 10 - 7ت - 1 = 9 - 7ت$
الناتج = $\frac{9 - 7ت}{5} = \frac{9}{5} - \frac{7}{5}ت$.
اختبار قياس الاستيعاب الجبري
اختر الإجابة الصحيحة لكل مسألة ثم اضغط على زر التحقق لمعرفة النتيجة.
التعليقات والمناقشة