الدرس الأول: حل معادلات الدرجة الثانية والأعداد المركبة ومقدمة في ك
تُعَدُّ معادلات الدرجة الثانية في متغير واحد والأعداد المركبة نقطة الانطلاق الجوهرية في دراسة الجبر المجرد بالمرحلة الثانوية. واجه علماء الرياضيات قديماً معضلة حسابية عند حل معادلات مثل س² + 1 = 0، حيث لا يوجد عدد حقيقي مربعه عدد سالب. قاد هذا التحدي الفكري إلى ابتكار العدد التخيلي ت، الذي يحقق ت² = -1، وتأسيس حقل الأعداد المركبة ك، التي تُكتب على الصورة القياسية أ + ب ت. يتيح لنا هذا التوسع الرياضي إيجاد حلول دقيقة لكافة المعادلات التربيعية، وإجراء العمليات الحسابية المتطورة من جمع وطرح وضرب وقسمة باستخدام المرافق، مما يفتح آفاقاً واسعة في التطبيقات الهندسية والفيزيائية المتقدمة.
1. معادلات الدرجة الثانية في ح ونشأة العدد التخيلي
الصورة العامة لمعادلة الدرجة الثانية في مجهول واحد هي: أ س² + ب س + جـ = 0 حيث أ ≠ 0، وتحل بالقانون العام:
عندما يكون المقدار تحت الجذر (ب² - 4 أ جـ) < 0، لا توجد حلول حقيقية في ح. من هنا تم تعريف العدد التخيلي (ت):
- تعريف ت: هو العدد الذي مربعه يساوي -1، أي
ت² = -1ومنهت = √(-1). - جذور الأعداد السالبة: لأي عدد حقيقي موجب
أ > 0يكون√(-أ) = √(أ) ت. مثال:√(-9) = 3ت، و√(-25) = 5ت.
2. دورية قوى العدد التخيلي (ت)
تتميز قوى العدد التخيلي ت بدورة رباعية منتظمة تتكرر كل 4 قوى صحيحة متتالية:
| القوة | القيمة الجبرية | القاعدة الرياضية |
|---|---|---|
| ت¹ | ت | الباقي 1 عند القسمة على 4 |
| ت² | -1 | الباقي 2 عند القسمة على 4 |
| ت³ | -ت | ت² × ت = (-1) × ت = -ت |
| ت⁴ | 1 | (ت²)² = (-1)² = 1 |
القاعدة العامة: ت^(4ن + ر) = ت^ر حيث ن ∈ ص، و ر ∈ {0, 1, 2, 3}. للأسس السالبة: ت^(-ن) = ت^(مضاعف 4 أكبر - ن).
3. تعريف العدد المركب والعمليات الجبرية الأساسية
العدد المركب: هو أي عدد يمكن كتابته على الصورة ع = أ + ب ت، حيث أ, ب ∈ ح، ويسمى أ الجزء الحقيقي، و ب الجزء التخيلي. مجموعة الأعداد المركبة يرمز لها بالرمز ك.
تساوي عددين مركبين
إذا كان أ + ب ت = جـ + د ت، فإن أ = جـ (الحقيقي = الحقيقي) و ب = د (التخيلي = التخيلي).
الجمع والطرح
(أ + ب ت) ± (جـ + د ت) = (أ ± جـ) + (ب ± د) ت. نجمع الأجزاء الحقيقية معاً والأجزاء التخيلية معاً.
العددان المترافقان والقسمة
مرافق ع = أ + ب ت هو ع̄ = أ - ب ت. حاصل ضربهما: ع × ع̄ = أ² + ب² (عدد حقيقي موجب دائماً).
تمرين 1: تبسيط قوى ت
المسألة: أوجد في أبسط صورة قيمة: ت⁴³ + ت⁻¹⁷.
• 43 = 40 + 3 ⇐
ت⁴³ = ت³ = -ت.• ت⁻¹⁷: نضيف أقرب مضاعف للعدد 4 أكبر من 17 وهو 20 ⇐
ت^(-17 + 20) = ت³ = -ت.• الناتج النهائي:
(-ت) + (-ت) = -2ت.
تمرين 2: تساوي عددين مركبين
المسألة: إذا كان (2س - ص) + (س - 3)ت = 7 + 2ت، فأوجد قيمتي س و ص.
• التخيلي = التخيلي:
س - 3 = 2 ⇐ س = 5.• الحقيقي = الحقيقي:
2س - ص = 7 ⇐ 2(5) - ص = 7 ⇐ 10 - ص = 7 ⇐ ص = 3.• إذن:
س = 5 ، ص = 3.
تمرين 3: قسمة الأعداد المركبة
المسألة: ضع العدد المركب ع = (4 + 2ت) / (1 - ت) على الصورة القياسية أ + ب ت.
• نضرب البسط والمقام في مرافق المقام
(1 + ت):• المقام =
(1 - ت)(1 + ت) = 1² + 1² = 2.• البسط =
(4 + 2ت)(1 + ت) = 4 + 4ت + 2ت + 2ت² = 4 + 6ت - 2 = 2 + 6ت.• الناتج =
(2 + 6ت) / 2 = 1 + 3ت.
تمرين 4: فك القوى العليا
المسألة: أوجد في أبسط صورة قيمة المقدار: (1 + ت)¹⁰.
• نستخدم خاصية قوة القوة:
[(1 + ت)²]⁵.• مفكوك
(1 + ت)² = 1 + 2ت + ت² = 1 + 2ت - 1 = 2ت.• إذن المقدار =
(2ت)⁵ = 2⁵ × ت⁵ = 32 × ت = 32ت.
تمرين 5: حل معادلة تربيعية في ك
المسألة: أوجد مجموعة حل المعادلة س² - 2س + 5 = 0 في ك.
• أ = 1، ب = -2، جـ = 5.
• المميز =
ب² - 4 أ جـ = (-2)² - 4(1)(5) = 4 - 20 = -16.• س =
[2 ± √(-16)] / 2 = (2 ± 4ت) / 2 = 1 ± 2ت.• مجموعة الحل في ك =
{1 + 2ت ، 1 - 2ت}.
تمرين 6: إثبات الترافق
المسألة: أثبت أن العددين س = (2 + ت) / (1 + ت) و ص = (3 - ت) / 2 مترافقان.
• نبسط س:
(2 + ت)(1 - ت) / [(1 + ت)(1 - ت)] = (2 - 2ت + ت - ت²) / 2 = (3 - ت) / 2.• نلاحظ أن س =
1.5 - 0.5ت بينما ص = 1.5 + 0.5ت إذا كانت ص الأصلية (3 + ت)/2.• بما أن جزئيهما الحقيقيين متساويان والتخيليين متعاكسان في الإشارة، إذن س و ص مترافقان.
تمرين 7: المعكوس الضربي للعدد المركب
المسألة: أوجد المعكوس الضربي للعدد المركب ع = 3 + 4ت في أبسط صورة.
• المعكوس الضربي هو
1 / ع = 1 / (3 + 4ت).• نضرب في المرافق
(3 - 4ت) / (3 - 4ت).• المقام =
3² + 4² = 9 + 16 = 25.• الناتج =
(3 - 4ت) / 25 = 3/25 - (4/25)ت.
تمرين 8: ضرب الأعداد المركبة
المسألة: أوجد ناتج ضرب: (2 + 3ت)(4 - ت).
• نوزع الأقواس:
2(4) + 2(-ت) + 3ت(4) + 3ت(-ت).• =
8 - 2ت + 12ت - 3ت² = 8 + 10ت - 3(-1) = 8 + 10ت + 3.• الناتج النهائي =
11 + 10ت.
اضغط على أي بطاقة لاكتشاف المعنى الدقيق، واضغط على أيقونة الصوت للاستماع للنطق:
اضغط على الإجابة لتتحقق من فهمك وتكتشف التفسير النموذجي فورياً: