الرياضيات (الجبر) - الصف الثاني الثانوي
الوحدة الأولى: البراهين الجبرية
نظرية ذات الحدين بأس صحيح موجب
استكشاف صياغة مفكوك ذات الحدين، وقانون الحد العام، وتحديد رتبة وقيمة الحدود، والحد الخالي من س، والحد الأوسط.
أولاً: مفهوم نظرية ذات الحدين وقانون المفكوك
تُمكننا نظرية ذات الحدين من فك أي مقدار مكون من حدين مرفوع لأس صحيح موجب ن دون الحاجة إلى إجراء عمليات الضرب المتكرر.
الصيغة العامة لمفكوك ذات الحدين:
(x + a)n = nC0 xn + nC1 xn-1 a1 + nC2 xn-2 a2 + ... + nCn an
أهم خصائص المفكوك:
- 1. عدد حدود المفكوك: يساوي دائماً ن + 1 (أي يزيد عن الأس بمقدار 1).
- 2. مجموع الأسس: في أي حد من حدود المفكوك، مجموع أس الحد الأول وأس الحد الثاني يساوي ن.
- 3. التناقص والتزايد: أس الحد الأول يبدأ من ن ويتناقص بمقدار 1 حتى يصل للصفر، وأس الحد الثاني يبدأ من 0 ويتزايد حتى يصل إلى ن.
- 4. مجموع معاملات المفكوك: نوجده بالتعويض عن جميع المتغيرات بالقيمة 1.
ثانياً: قانون الحد العام (حر+1)
يُعد قانون الحد العام الأداة الأساسية لإيجاد أي حد محدد في المفكوك دون الحاجة لكتابة جميع الحدود:
Tr+1 = nCr · (الحد الأول)n - r · (الحد الثاني)r
حيث (ر + 1) هي رتبة الحد المطلوب في المفكوك.
إيجاد الحد الأوسط:
- إذا كان ن زوجياً: يوجد حد أوسط وحيد رتبته = (ن / 2) + 1.
- إذا كان ن فردياً: يوجد حدان أوسطان رتبتاهما = (ن + 1) / 2 و (ن + 3) / 2.
إيجاد الحد الخالي من س:
نضع الحد العام، ونجمع أسس المتغير (س) ونسويها بالصفر:
أس المتغير س = 0 ← نحسب قيمة (ر).
مثال توضيحي محلول:
المسألة: أوجد الحد الخامس في مفكوك (س + 2)7 حسب قوى س التنازلية.
الحل:
المطلوب هو الحد الخامس: إذن ر + 1 = 5 ⇒ ر = 4، و ن = 7.
ح5 = 7C4 · (س)7 - 4 · (2)4
ح5 = 35 · س3 · 16 = 560 س3.
المطلوب هو الحد الخامس: إذن ر + 1 = 5 ⇒ ر = 4، و ن = 7.
ح5 = 7C4 · (س)7 - 4 · (2)4
ح5 = 35 · س3 · 16 = 560 س3.
ثالثاً: اختبار الفهم الذاتي
أجب عن الأسئلة التالية ثم اضغط على زر التحقق لمعرفة النتيجة والشرح التوضيحي:
التعليقات والمناقشة