الوحدة الأولى - الدرس 1: اشتقاق الدوال المثلثية الأساسية ومقلوباتها وقاعدة السلسلة والمتطابقات المثلثية
يُمثّل اشتقاق الدوال المثلثية ومقلوباتها حجر الزاوية في التحليل الرياضي والتفاضل المتقدم لطلاب شهادة إتمام الدراسة الثانوية العامة وفق المعايير الوزارية الرسمية المعتمدة. يعتمد هذا الفرع على التوسع في قواعد اشتقاق الدوال الدائرية الأساسية: الجيب (sin)، وجيب التمام (cos)، والظل (tan)، ليمتد إلى مقلوباتها الثلاثة: القاطع (sec)، وقاطع التمام (csc)، وظل التمام (cot). وتتطلب صياغة المشتقات إتقاناً لقاعدة السلسلة (Chain Rule) باشتقاق الدالة المثلثية بالنسبة لزاويتها ثم ضرب الناتج في مشتقة الزاوية د/دس [د(ق(س))] = د'(ق(س)) · ق'(س). كما يتكامل ذلك مع استدعاء المتطابقات المثلثية الأساسية ومتطابقات ضعف ونصف الزاوية، لتسهيل واختزال المقادير الجبرية المعقدة قبل الشروع في الاشتقاق، مما يمهد الطريق لحل أصعب المسائل التطبيقية في المعدلات الزمنية ومعادلتي المماس والعمودي.
1. قواعد اشتقاق مقلوبات الدوال المثلثية
إذا كانت ص = د(س) دالة قابلة للاشتقاق بالنسبة إلى س، فإن قواعد اشتقاق المقلوبات مع زاوية ع = ق(س) هي:
| الدالة | رمزها | المشتقة الأولى (د ص / د س) |
|---|---|---|
| القاطع | ص = قا(ع) = sec(u) |
قا(ع) ظا(ع) · (د ع / د س) |
| قاطع التمام | ص = قتا(ع) = csc(u) |
- قتا(ع) ظتا(ع) · (د ع / د س) |
| ظل التمام | ص = ظتا(ع) = cot(u) |
- قتا²(ع) · (د ع / د س) |
2. متطابقات فيثاغورس وضعف الزاوية المساعدة
-
متطابقات فيثاغورس للمقلوبات:
1 + ظا²(س) = قا²(س) ⇐ قا²(س) - ظا²(س) = 1
1 + ظتا²(س) = قتا²(س) ⇐ قتا²(س) - ظتا²(س) = 1 -
متطابقات ضعف الزاوية:
جا(2س) = 2 جا(س) جتا(س)
جتا(2س) = جتا²(س) - جا²(س) = 2 جتا²(س) - 1 = 1 - 2 جا²(س)
ظا(2س) = 2 ظا(س) / (1 - ظا²(س))
3. اشتقاق القوس المرفوع لقوة وحاصل الضرب والقسمة
دالة القوة [د(س)]ⁿ
د/دس [قاⁿ(س)] = n قاⁿ⁻¹(س) · (قا س ظا س) = n قاⁿ(س) ظا(س)
حاصل ضرب دالتين
د/دس (د · ر) = الأولى × مشتقة الثانية + الثانية × مشتقة الأولى
خارج قسمة دالتين
د/دس (د / ر) = [المقام × مشتقة البسط - البسط × مشتقة المقام] / (المقام)²
تمرين 1: اشتقاق دالة قاطع بزاوية متعددة الحدود
المسألة: أوجد المشتقة الأولى للدالة: ص = قا(3س² - 5).
• الزاوية ع = 3س² - 5، ومشتقتها د ع / د س = 6س.
• مشتقة القاطع: د ص / د س = قا(ع) ظا(ع) · مشتقة الزاوية.
• إذن: د ص / د س = 6س قا(3س² - 5) ظا(3س² - 5).
تمرين 2: اشتقاق حاصل ضرب دالة مثلثية ومقلوب
المسألة: إذا كانت ص = س³ ظتا(2س)، فأوجد د ص / د س عند س = π / 8.
• حاصل ضرب دالتين: الأولى = س³، والثانية = ظتا(2س).
• د ص / د س = س³ [-2 قتا²(2س)] + ظتا(2س) [3س²] = -2 س³ قتا²(2س) + 3 س² ظتا(2س).
• عند س = π / 8: 2س = π / 4.
• ظتا(π/4) = 1، قتا(π/4) = √2 ⇐ قتا²(π/4) = 2.
• د ص / د س = -2 (π/8)³ (2) + 3 (π/8)² (1) = -4 (π/8)³ + 3 (π/8)².
تمرين 3: تبسيط المقدار بالمتطابقات قبل الاشتقاق
المسألة: أوجد د ص / د س للدالة: ص = (1 + ظا² س) / (1 - ظا² س).
• نلاحظ أن 1 + ظا² س = قا² س = 1 / جتا² س.
• 1 - ظا² س = 1 - (جا² س / جتا² س) = (جتا² س - جا² س) / جتا² س = جتا(2س) / جتا² س.
• إذن ص = (1 / جتا² س) ÷ (جتا(2س) / جتا² س) = 1 / جتا(2س) = قا(2س).
• بالاشتقاق المباشر: د ص / د س = 2 قا(2س) ظا(2س).
تمرين 4: إثبات علاقة تفاضلية لقاطع التمام
المسألة: إذا كانت ص = قتا س + ظتا س، فأثبت أن: د ص / د س = - ص قتا س.
• د ص / د س = - قتا س ظتا س - قتا² س.
• بأخذ (- قتا س) عاملاً مشتركاً:
• د ص / د س = - قتا س (ظتا س + قتا س).
• وبما أن ص = قتا س + ظتا س، فإن: د ص / د س = - قتا س · ص = - ص قتا س (وهو المطلوب).
تمرين 5: اشتقاق جذر تربيعي لدالة مثلثية
المسألة: أوجد مشتقة الدالة: ص = √(قا س + ظا س).
• مشتقة الجذر التربيعي = مشتقة ما تحت الجذر / (2 × الجذر).
• مشتقة ما تحت الجذر = قا س ظا س + قا² س = قا س (ظا س + قا س).
• إذن: د ص / د س = [قا س (قا س + ظا س)] / [2 √(قا س + ظا س)].
• د ص / د س = ½ قا س √(قا س + ظا س) = ½ ص قا س.
تمرين 6: دالة مقلوبة مرفوعة لقوة
المسألة: إذا كانت ص = قا⁴(3س)، فأوجد د ص / د س.
• ص = [قا(3س)]⁴ ⇐ د ص / د س = 4 [قا(3س)]³ · د/دس [قا(3س)].
• د/دس [قا(3س)] = 3 قا(3س) ظا(3س).
• د ص / د س = 4 [قا(3س)]³ · 3 قا(3س) ظا(3س) = 12 قا⁴(3س) ظا(3س).
تمرين 7: اشتقاق زاوية جذرية
المسألة: أوجد المشتقة الأولى للدالة: ص = ظتا(√س).
• الزاوية ع = √س، ومشتقتها د ع / د س = 1 / (2 √س).
• مشتقة ظتا(ع) هي - قتا²(ع).
• د ص / د س = - قتا²(√س) · [1 / (2 √س)] = - قتا²(√س) / (2 √س).
تمرين 8: دالة مثلثية داخل دالة مثلثة
المسألة: أوجد د ص / د س للدالة المركبة: ص = قا(ظا س).
• الزاوية هي ع = ظا س، ومشتقتها د ع / د س = قا² س.
• د ص / د س = قا(ظا س) ظا(ظا س) · مشتقة الزاوية.
• إذن: د ص / د س = قا² س · قا(ظا س) ظا(ظا س).
اضغط على أي بطاقة لاكتشاف المعنى الدقيق، واضغط على أيقونة الصوت للاستماع للنطق:
اضغط على الإجابة لتتحقق من فهمك وتكتشف التفسير النموذجي فورياً: