الرياضيات البحتة - الصف الثالث الثانوي
التفاضل والتكامل: الوحدة الأولى
اشتقاق الدوال المثلثية ومقلوباتها
قوانين اشتقاق مقلوبات الدوال المثلثية (قا س، قتا س، ظتا س)، وتطبيق قاعدة السلسلة لاشتقاق الزاوية المركبة، وحساب ميل المماس مع مسائل تفاعلية محلولة.
أولاً: قوانين اشتقاق الدوال المثلثية ومقلوباتها
فيما يلي القواعد الأساسية لاشتقاق الدوال المثلثية الست مع مراعاة إشارة السالب في الدوال التي تبدأ بحرف (التاء) في العربية أو (Co) في اللاتينية:
| الدالة ص = د(س) | المشتقة الأولى ص' = د'(س) | الصيغة اللاتينية المعيارية |
|---|---|---|
| جا س | جتا س | d/dx(sin x) = cos x |
| جتا س | - جا س | d/dx(cos x) = -sin x |
| ظا س | قا2 س | d/dx(tan x) = sec2 x |
| قا س (مقلوب الجتا) | قا س ظا س | d/dx(sec x) = sec x tan x |
| قتا س (مقلوب الجا) | - قتا س ظتا س | d/dx(csc x) = -csc x cot x |
| ظتا س (مقلوب الظا) | - قتا2 س | d/dx(cot x) = -csc2 x |
تعميم قاعدة السلسلة (إذا كانت الزاوية دالة في س):
دائماً نشتق الدالة المثلثية أولاً، ثم نضرب في مشتقة الزاوية نفسها:
• ص = قا(ع) ⇒ ص' = ع' · قا(ع) · ظا(ع)
• ص = قتا(ع) ⇒ ص' = - ع' · قتا(ع) · ظتا(ع)
• ص = ظتا(ع) ⇒ ص' = - ع' · قتا2(ع)
• ص = قتا(ع) ⇒ ص' = - ع' · قتا(ع) · ظتا(ع)
• ص = ظتا(ع) ⇒ ص' = - ع' · قتا2(ع)
ثانياً: أمثلة تطبيقية نموذجية
مثال 1: أوجد دص/دس للدالة ص = قا(3س2 + 5)
الحل:
الزاوية هي: ع = 3س2 + 5 ⇒ مشتقتها ع' = 6س.
مشتقة قا(ع) هي قا(ع) ظا(ع).
إذن: دص/دس = 6س · قا(3س2 + 5) · ظا(3س2 + 5).
الزاوية هي: ع = 3س2 + 5 ⇒ مشتقتها ع' = 6س.
مشتقة قا(ع) هي قا(ع) ظا(ع).
إذن: دص/دس = 6س · قا(3س2 + 5) · ظا(3س2 + 5).
مثال 2: أوجد ميل المماس للمنحنى ص = ظتا(2س) عند س = π / 8
الحل:
مشتقة ظتا(2س) = - 2 قتا2(2س).
عند س = π / 8 ⇒ الزاوية 2س = 2 · (π/8) = π/4 (أي 45 درجة).
جا(45) = 1 / √2 ⇒ قتا(45) = √2 ⇒ قتا2(45) = 2.
إذن ميل المماس = - 2 · (2) = - 4.
مشتقة ظتا(2س) = - 2 قتا2(2س).
عند س = π / 8 ⇒ الزاوية 2س = 2 · (π/8) = π/4 (أي 45 درجة).
جا(45) = 1 / √2 ⇒ قتا(45) = √2 ⇒ قتا2(45) = 2.
إذن ميل المماس = - 2 · (2) = - 4.
ثالثاً: اختبار الفهم الذاتي
اختر الإجابة الصحيحة ثم اضغط على زر التحقق لمعرفة النتيجة والشرح:
التعليقات والمناقشة