الدرس الثالث: نظرية الأعداد والتحليل إلى العوامل ومخططات فِن وخاصية التوزيع
نظرية الأعداد تمثل الجانب الجمالي والتحليلي في الرياضيات، حيث يكتشف تلميذ الصف السادس الابتدائي كيفية استكشاف العلاقات العميقة بين الأعداد عبر التحليل إلى العوامل الأولية باستخدام مخطط الشجرة ومخططات فِن المعتمدة وزارياً. من خلال هذا التحليل، يتعلم الطالب التمييز الدقيق بين مفهومين جوهريين: العامل المشترك الأكبر (ع. م. أ)، وهو أكبر عدد يقسم الأعداد المحددة بدون باقٍ ويُحسب بضرب العوامل الأولية المشتركة في منطقة تقاطع فِن، والمضاعف المشترك الأصغر (م. م. أ)، وهو أصغر عدد موجب يقبل القسمة على جميع الأعداد المحددة ويُحسب بضرب كافة العوامل الأولية دون تكرار. كما يتدرب الطالب على تطبيق خاصية التوزيع للتعبير عن مجموع عددين في صورة حاصل ضرب ع. م. أ في مجموع عددين أوليين فيما بينهما.
1. التحليل للعوامل الأولية ومخطط فِن
لإيجاد ع.م.أ و م.م.أ لعددين (مثال: 12 و 18) نتبع الخطوات الآتية:
- نحلل كل عدد إلى عوامله الأولية:
•12 = 2 × 2 × 3
•18 = 2 × 3 × 3 - نرسم دائرتين متقاطعتين في مخطط فِن (Venn Diagram):
• منطقة التقاطع (العوامل المشتركة):2 و 3.
• باقي عوامل العدد 12:2.
• باقي عوامل العدد 18:3.
2. حساب م.م.أ وخاصية التوزيع
مقارنة دقيقة وتطبيق متقدم على العوامل والمضاعفات:
- المضاعف المشترك الأصغر (م.م.أ): حاصل ضرب جميع العوامل في مخطط فِن دون تكرار:
م.م.أ = 2 × 3 × 2 × 3 = 36. - خاصية التوزيع باستخدام ع.م.أ:
يمكن كتابة مجموع عددين في صورة:ع.م.أ × (س + ص).
مثال:12 + 18 = 6 × (2 + 3). - أعداد أولية فيما بينها (Relatively Prime):
عددان يكون ع.م.أ لهما هو 1 فقط (مثل: 8 و 9). في هذه الحالة:م.م.أ = حاصل ضربهما.
تمرين 1: إيجاد ع.م.أ لعددين
المسألة: أوجد العامل المشترك الأكبر للعددين 24 و 36.
• 24 = 2 × 2 × 2 × 3.
• 36 = 2 × 2 × 3 × 3.
• العوامل الأولية المشتركة: 2 × 2 × 3.
• ع.م.أ = 12.
تمرين 2: إيجاد م.م.أ لعددين
المسألة: أوجد المضاعف المشترك الأصغر للعددين 6 و 8.
• 6 = 2 × 3.
• 8 = 2 × 2 × 2.
• م.م.أ = 2 × 3 × 2 × 2.
• م.م.أ = 24.
تمرين 3: كتابة تعبير التوزيع
المسألة: استخدم ع.م.أ وخاصية التوزيع لكتابة التعبير: 15 + 25.
• ع.م.أ للعددين 15 و 25 هو 5.
• نقسم كل حد على 5: (15 ÷ 5 = 3) و (25 ÷ 5 = 5).
• التعبير بخاصية التوزيع: 5 × (3 + 5).
تمرين 4: عددان أوليان فيما بينهما
المسألة: أوجد ع.م.أ و م.م.أ للعددين 7 و 10.
• لا توجد عوامل أولية مشتركة بين 7 و 10 (عددان أوليان نسبياً).
• ع.م.أ = 1.
• م.م.أ = حاصل ضربهما = 7 × 10 = 70.
تمرين 5: إيجاد العوامل الناقصة في فِن
المسألة: إذا كانت منطقة التقاطع في مخطط فن تحوي 3 و 5، فما ع.م.أ لهذين العددين؟
• ع.م.أ هو حاصل ضرب العوامل في منطقة التقاطع.
• ع.م.أ = 3 × 5 = 15.
• إذن العامل المشترك الأكبر هو 15.
تمرين 6: تطبيق حياتي على ع.م.أ
المسألة: وزعت معلمة 16 قلماً و 24 كراسة على أكياس متماثلة بالتساوي. ما أكبر عدد من الأكياس يمكن تكوينه؟
• نحسب ع.م.أ للعددين 16 و 24.
• 16 = 2^4، و 24 = 2^3 × 3.
• ع.م.أ = 2^3 = 8 أكياس (يحوي كل كيس قلمين و 3 كراسات).
تمرين 7: تطبيق حياتي على م.م.أ (التكرار المتزامن)
المسألة: يضيء مصباح كل 4 ثوانٍ ويضيء آخر كل 6 ثوانٍ. بعد كم ثانية يضيئان معاً لأول مرة؟
• نحسب م.م.أ للعددين 4 و 6.
• مضاعفات 4: 4، 8، 12، 16... ومضاعفات 6: 6، 12، 18...
• م.م.أ = 12 ثانية.
تمرين 8: حالة المضاعف والعامل
المسألة: إذا كان العدد 5 عاملاً للعدد 20، فما ع.م.أ و م.م.أ لهما دون تحليل؟
• قاعدة ذهبية: إذا كان أ عاملاً لـ ب (أو ب مضاعفاً لـ أ):
• ع.م.أ هو العدد الأصغر (5).
• م.م.أ هو العدد الأكبر (20).
اضغط على أي بطاقة لاكتشاف المعنى الدقيق، واضغط على أيقونة الصوت للاستماع للنطق:
اضغط على الإجابة لتتحقق من فهمك وتكتشف التفسير النموذجي فورياً: