القسمة الجبرية والتحليل: قسمة مقدار على حد، القسمة المطولة، وإخراج العامل المشترك الأعلى ع.م.أ
نختتم مهارات الوحدة بموضوعين بالغي الأهمية يمثلان جسر العبور إلى التحليل الرياضي في الصف الثاني الإعدادي. نبدأ بقسمة «مقدار جبري على حد جبري»؛ حيث نطبق خاصية توزيع القسمة بقسمة كل حد من حدود المقدار على الحد المقسوم عليه منفرداً مع تطبيق قواعد قسمة المعاملات وطرح الأسس. ثم نتناول مهارة «التحليل بإخراج العامل المشترك الأعلى (ع. م. أ)»، وهو العملية العكسية لخاصية التوزيع؛ حيث نبحث عن أكبر عدد يقبل كل المعاملات القسمة عليه، مع أخذ الرموز الجبرية المشتركة بأصغر أس، ثم نقسم المقدار الأصلي على هذا العامل لنحصل على القوس المتبقي. كما نتعرف على خوارزمية «القسمة المطولة لمقدار جبري على مقدار جبري آخر ذي حدين»، وهي خوارزمية قياسية تقوم على أربع خطوات دورية متكررة: (اقسم ← اضرب ← اطرح وغيّر الإشارات ← نزّل الحد التالي) حتى يصبح الباقي صفراً.
1. التحليل بإخراج العامل المشترك ع.م.أ
الخطوات الصارمة للتحليل الدقيق:
- ع.م.أ للأعداد: نحدد أكبر قاسم مشترك للأعداد (مثلاً بين 12 و 18 هو 6).
- ع.م.أ للرموز: نأخذ المتغير المشترك في جميع الحدود بأصغر أس (مثلاً بين س³ و س² نأخذ س²).
- كتابة الناتج: ع.م.أ (ناتج قسمة المقدار الأصلي على ع.م.أ).
- مثال: حلل المقدار 12 س³ ص - 18 س² ص² بإخراج ع.م.أ:
• ع.م.أ للأعداد 6 ، للسينات س² ، للصادات ص ← ع.م.أ = 6 س² ص.
• ناتج التحليل = 6 س² ص (2 س - 3 ص).
2. قسمة مقدار على حد وعلى مقدار
نوعان من القسمة الجبرية:
- قسمة مقدار على حد: نقسم كل حد على حدة:
(15 س³ - 10 س² + 5 س) ÷ 5 س = 3 س² - 2 س + 1 (انتبه: 5 س ÷ 5 س = 1). - القسمة المطولة على مقدار: نقسم (س² + 5 س + 6) ÷ (س + 2)
1. اقسم الأول على الأول: س² ÷ س = س.
2. اضرب الناتج في المقسوم عليه: س(س + 2) = س² + 2 س.
3. اطرح وغير الإشارات: يتبقى 3 س، وننزل + 6.
4. اقسم 3 س ÷ س = 3 ، واضرب واطرح ← الباقي 0.
• خارج القسمة = س + 3.
ورشة الحل الإجرائي:
ع.م.أ للثوابت هو 5، والمتغير المشترك بأصغر أس هو أ ب.
إذن ع.م.أ = 5 أ ب.
الناتج = 5 أ ب (3 أ + 5 ب - 1) (انتبه للعدد -1 الناتج من قسمة -5 أ ب على 5 أ ب).
المقسوم هو فرق بين مربعين: س² - 9 = (س - 3)(س + 3).
عند القسمة على (س - 3): يختصر القوس، ويكون خارج القسمة = س + 3.
اضغط على أي بطاقة لاكتشاف المعنى الدقيق، واضغط على أيقونة الصوت للاستماع للنطق:
اضغط على الإجابة لتتحقق من فهمك وتكتشف التفسير النموذجي فورياً: