الدرس الثاني: مجموعة الأعداد النسبية ن وخواص الترتيب والكسور العشرية المنتهية والدورية
تُعد مجموعة الأعداد النسبية التي يُرمز لها بالرمز ن الامتداد الطبيعي والضروري لمجموعتي الأعداد الطبيعية والصحيحة لمواجهة ومطابقة عمليات القسمة الجبرية التي لا تنتج أعداداً صحيحة. يُعرف العدد النسبي بأنه أي عدد يمكن التعبير عنه على الصورة أ على ب حيث أ و ب عددان صحيحان وب لا يساوي الصفر مطلقاً. نكتشف من خلال هذا المفهوم أن كل عدد صحيح هو عدد نسبي مقامه واحد صحيح، وأن الصفر عدد نسبي محايد. كما نتناول تمثيل الأعداد النسبية بنقاط دقيقة على خط الأعداد الممتد، والمقارنة والترتيب التصاعدي والتنازلي، وخاصية كثافة الأعداد النسبية التي تؤكد وجود عدد لا نهائي من الأعداد النسبية بين أي عددين نسبيين، وتحويل العدد النسبي إلى كسر عشري منتهٍ أو كسر عشري دوري غير منتهٍ والعكس بدقة متناهية وفق معايير التقييم الوطنية.
1. تعريف العدد النسبي وشروط الانتماء
العدد النسبي هو كل عدد يمكن وضعه على الصورة أ / ب حيث أ, ب ∈ ص، و ب ≠ 0:
- شرط المعنى الرياضي: المقدار
5 / (س - 3)ينتمي لـ ن بشرطس ≠ 3. - قيمة الكسر صفر: الكسر
(س - 4) / 7 = 0عندما يكون البسط صفراً، أيس = 4. - الاحتواء: ط ⊂ ص ⊂ ن. كل عدد صحيح نسبي، وليس العكس.
2. صور العدد النسبي والكسور الدورية
يمكن التعبير عن العدد النسبي بصور متعددة متكافئة:
| النوع | الكسر النسبي | الصورة المكافئة |
|---|---|---|
| كسر عشري منتهٍ | 3 / 4 | 0.75 |
| نسبة مئوية | 2 / 5 | 40% |
| كسر عشري دوري | 1 / 3 | 0.3̇ = 0.333... |
| كسر دوري مركب | 2 / 11 | 0.1̇8̇ = 0.1818... |
الكسر العشري المنتهي مقامه بعد الاختصار عوامله الأولية 2 أو 5 فقط.
3. تمثيل ن على خط الأعداد والمقارنة
يمثل كل عدد نسبي بنقطة واحدة وحيدة على خط الأعداد:
- الأعداد الموجبة تقع على يمين الصفر، والأعداد السالبة على يسار الصفر.
- المقارنة: إذا كان أ يقع يمين ب على خط الأعداد فإن
أ > ب. - توحيد المقامات للمقارنة: لمقارنة 2/3 و 3/4 نوحد المقامات على 12 ⇐ 8/12 < 9/12 ⇐ 2/3 < 3/4.
4. خاصية كثافة الأعداد النسبية
تتميز مجموعة الأعداد النسبية بخاصية الكثافة (Density Property):
طريقة إيجاد الأعداد المحصورة: نوحد مقامي العددين ثم نضرب البسط والمقام في 10 أو مضاعفاتها لتوسيع المسافة بين البسوط.
تمرين 1: شرط الانتماء لمجموعة ن
المسألة: ما قيمة س التي تجعل المقدار (س + 3) / (2س - 8) لا يعبر عن عدد نسبي؟
• المقدار لا ينتمي إلى ن إذا كان المقام مساوياً للصفر.
• 2س - 8 = 0 ⇐ 2س = 8 ⇐ س = 4.
• إذن المقدار ليس نسبياً عندما س = 4.
تمرين 2: انعدام العدد النسبي
المسألة: أوجد قيمة س إذا كان العدد النسبي (2س - 6) / 5 = 0.
• الكسر النسبي يساوي صفراً إذا وفقط إذا كان البسط يساوي صفراً.
• 2س - 6 = 0 ⇐ 2س = 6 ⇐ س = 3.
تمرين 3: تحويل كسر دوري إلى اعتيادي
المسألة: حوّل الكسر العشري الدوري 0.6̇ إلى صورة كسر اعتيادي أ/ب.
• بوضع س = 0.666... (معادلة 1).
• بالضرب في 10: 10س = 6.666... (معادلة 2).
• بطرح (1) من (2): 9س = 6 ⇐ س = 6 / 9 = 2 / 3.
تمرين 4: إيجاد أعداد نسبية محصورة
المسألة: أوجد ثلاثة أعداد نسبية تقع بين 1/2 و 4/5.
• نوحد المقامات على 10: 1/2 = 5/10 ، و 4/5 = 8/10.
• الأعداد الصحيحة بين 5 و 8 هي 6، 7. نحتاج 3 أعداد، فنضرب في 2:
• 10/20 و 16/20 ⇐ الأعداد هي: 11/20، 12/20، 13/20.
تمرين 5: كتابة العدد النسبي كنسبة مئوية
المسألة: اكتب العدد 7/20 في صورة نسبة مئوية.
• نجعل المقام 100 بالضرب في 5 بسطاً ومقاماً:
• (7 × 5) / (20 × 5) = 35 / 100 = 35%.
تمرين 6: مقارنة عددين سالبين
المسألة: قارن بوضع العلامة المناسبة: -3/4 و -5/6.
• نوحد المقامات على 12: -3/4 = -9/12 ، و -5/6 = -10/12.
• بما أن -9 > -10، فإن -9/12 > -10/12 ⇐ -3/4 > -5/6.
تمرين 7: تمثيل عدد نسبي على خط الأعداد
المسألة: حدد موقع العدد النسبي 7/3 على خط الأعداد.
• نكتب 7/3 في صورة عدد صحيح وكسر: 7/3 = 2 و 1/3.
• إذن يقع بين العددين الصحيحين 2 و 3 على يمين الصفر، مقسماً المسافة لـ 3 أجزاء متساوية عند الجزء الأول.
تمرين 8: القيمة المطلقة لعدد نسبي
المسألة: أوجد قيمة المقدار: |-3/5| + |-2/5|.
• القيمة المطلقة تعطي دائماً قيمة غير سالبة: |-3/5| = 3/5 ، و |-2/5| = 2/5.
• المقدار = 3/5 + 2/5 = 5/5 = 1.
اضغط على أي بطاقة لاكتشاف المعنى الدقيق، واضغط على أيقونة الصوت للاستماع للنطق:
اضغط على الإجابة لتتحقق من فهمك وتكتشف التفسير النموذجي فورياً: