الدرس الأول: النسبة والتناسب وخواصهما ومقياس الرسم وتطبيقاتهما الحياتية
النسبة والتناسب هما الركيزتان الأساسيتان في الحساب والجبر التطبيقي للمرحلة الإعدادية. النسبة هي مقارنة رياضية مجردة بين كميتين أو مقدارين من نفس النوع والوحدة، وتُكتب على الصورة أ إلى ب أو أ على ب. بينما يمثل التناسب تساوي نسبتين أو أكثر، مثل أ على ب يساوي جـ على د. ومن أهم خواص التناسب الرياضية: حاصل ضرب الطرفين يساوي حاصل ضرب الوسطين، وإذا كان أ على ب يساوي جـ على د فإن مقدم النسبة الأولى على مقدم النسبة الثانية يساوي تالي النسبة الأولى على تالي الثانية. وتتجسد أهميتهما الحياتية في مقياس الرسم الذي يساوي الطول في الرسم مقسوماً على الطول الحقيقي، حيث يدل المقياس الأكبر من واحد على التكبير والأصغر من واحد على التصغير كخرائط المدن، والتقسيم التناسبي لتوزيع التركات والأرباح بين الشركاء بنسب عادلة محددة وفق المنهج الوزاري المعتمد.
1. مفهوم النسبة وخواصها الجبرية
النسبة هي مقارنة عددية بين كميتين من نفس النوع ولهما نفس وحدات القياس، ويُسمى الحد الأول المقدم والحد الثاني التالي:
- خاصية الثبات: لا تتغير قيمة النسبة إذا ضُرب حداها أو قُسما على عدد حقيقي غير صفري.
- التجريد من الوحدات: النسبة عدد مجرد ليس له وحدة تمييز (مثال: 50 سم إلى 2 م = 50 سم : 200 سم = 1 : 4).
- التبسيط: تُوضع النسبة في أبسط صورة بقسمة حديها على العامل المشترك الأكبر (ع.م.أ).
2. التناسب وخواصه الأساسية
التناسب هو تساوٍ بين نسبتين أو أكثر: أ / ب = جـ / د، وتسمى الأعداد أ، ب، جـ، د كميات متناسبة:
| الخاصية | الصيغة الرياضية | التطبيق الحسابي |
|---|---|---|
| ضرب الطرفين والوسطين | أ × د = ب × جـ | س / 4 = 9 / 12 ⇐ س = 3 |
| مقدم / مقدم = تالٍ / تالٍ | أ / جـ = ب / د | إذا كان أ/3 = ب/5 فإن أ/ب = 3/5 |
| مجموع المقدمات والتوالي | (أ + جـ)/(ب + د) = إحدى النسب | ثبات ثابت التناسب م |
إيجاد الحد المجهول: الرابع المتناسب للأعداد 2، 4، 6 هو س حيث 2/4 = 6/س ⇐ س = 12.
3. مقياس الرسم وتطبيقاته
مقياس الرسم هو نسبة رياضية تقارن بين الأبعاد في التصميم أو الخريطة والأبعاد في الواقع الحقيقي:
- حالة التصغير: مقياس الرسم < 1 (مثل الخرائط والتصميمات المعمارية: 1 : 100000).
- حالة التكبير: مقياس الرسم > 1 (مثل فحص الحشرات والأجزاء الدقيقة: 50 : 1).
- توحيد الوحدات: 1 كم = 1000 م = 100,000 سم.
4. التقسيم التناسبي وتطبيقات الميراث
التقسيم التناسبي هو توزيع كمية معينة (أموال، أراضٍ، أرباح) بنسب عددية معلومة:
- طريقة مجموع الأجزاء: حساب مجموع نسب الشركاء ⇐ قيمة الجزء الواحد = المبلغ الكلي ÷ مجموع الأجزاء.
- نصيب كل طرف: قيمة الجزء الواحد × نسبة الطرف.
- تطبيقات المواريث: توزيع التركات الشرعية بعد استيفاء الديون والوصايا وفق الأنصبة المحددة.
تمرين 1: تبسيط النسبة
المسألة: أوجد في أبسط صورة النسبة بين: 2.5 كجم و 750 جراماً.
• نوحد الوحدات أولاً: 2.5 كجم = 2.5 × 1000 = 2500 جرام.
• النسبة = 2500 : 750.
• بالقسمة على 250: النسبة = 10 : 3.
تمرين 2: إيجاد الحد المجهول في التناسب
المسألة: إذا كان (س + 1) / 3 = 8 / 12، فأوجد قيمة س.
• نطبق حاصل ضرب الطرفين = حاصل ضرب الوسطين: 12 × (س + 1) = 3 × 8.
• 12(س + 1) = 24 ⇐ س + 1 = 24 ÷ 12 = 2.
• إذن: س = 2 - 1 = 1.
تمرين 3: حساب مقياس الرسم
المسألة: المسافة بين مدينتين على خريطة 4 سم، والمسافة الحقيقية 120 كم. احسب مقياس الرسم.
• نحول المسافة الحقيقية إلى سم: 120 × 100,000 = 12,000,000 سم.
• مقياس الرسم = الطول في الرسم ÷ الطول الحقيقي = 4 ÷ 12,000,000.
• بالقسمة على 4: مقياس الرسم = 1 : 3,000,000 (تصغير).
تمرين 4: الطول الحقيقي لمكبر
المسألة: طول حشرة في صورة مكبرة بمقياس رسم 40 : 1 هو 8 سم. ما طولها الحقيقي بالملم؟
• الطول الحقيقي = الطول في الرسم ÷ مقياس الرسم = 8 ÷ 40 = 0.2 سم.
• للتحويل إلى مليمتر: 0.2 × 10 = 2 ملم.
تمرين 5: التقسيم التناسبي للأرباح
المسألة: اشترك اثنان في تجارة، فدفع الأول 30,000 جنيه ودفع الثاني 50,000 جنيه، وبلغ الربح 24,000 جنيه. احسب نصيب كل منهما.
• النسبة بين رأس المال = 30000 : 50000 = 3 : 5.
• مجموع الأجزاء = 3 + 5 = 8 أجزاء.
• قيمة الجزء = 24000 ÷ 8 = 3000 جنيه.
• نصيب الأول = 3 × 3000 = 9000 جنيه، نصيب الثاني = 5 × 3000 = 15000 جنيه.
تمرين 6: الرابع المتناسب
المسألة: أوجد الرابع المتناسب للأعداد: 3، 7، 15.
• نفرض الرابع المتناسب هو س ⇐ 3 / 7 = 15 / س.
• س = (7 × 15) ÷ 3 = 105 ÷ 3 = 35.
تمرين 7: النسبة بين زوايا مثلث
المسألة: النسبة بين قياسات زوايا مثلث هي 2 : 3 : 4. احسب قياس كل زاوية.
• مجموع زوايا المثلث الداخلية = 180 درجة.
• مجموع الأجزاء = 2 + 3 + 4 = 9 أجزاء.
• قيمة الجزء = 180 ÷ 9 = 20 درجة.
• الزوايا هي: 2 × 20 = 40°، 3 × 20 = 60°، 4 × 20 = 80°.
تمرين 8: دمج نسبتين
المسألة: إذا كان أ : ب = 2 : 3 و ب : جـ = 3 : 5، فأوجد النسبة أ : جـ.
• بما أن الحد المشترك (ب) له نفس القيمة (3) في النسبتين.
• إذن النسبة المشتركة أ : ب : جـ = 2 : 3 : 5.
• ومنها أ : جـ = 2 : 5.
اضغط على أي بطاقة لاكتشاف المعنى الدقيق، واضغط على أيقونة الصوت للاستماع للنطق:
اضغط على الإجابة لتتحقق من فهمك وتكتشف التفسير النموذجي فورياً: