الدرس الرابع: قوانين الأسس الصحيحة السالبة وغير السالبة في ن والصورة القياسية
يشكل الضرب المتكرر للعدد النسبي مفهوماً جبرياً جوهرياً لاختصار العمليات الحسابية المتتابعة والتعبير عن المقادير الهائلة أو متناهية الصغر. عندما نرفع العدد النسبي أ على ب للقوة الصحيحة ن، فإننا نكرر ضربه في نفسه ن مرة: (أ/ب)ⁿ = أⁿ / بⁿ. وتنتظم الأسس بقوانين جبرية صارمة: عند ضرب الأساسات المتشابهة تجمع الأسس، وعند قسمتها تطرح الأسس، وعند رفع القوة لقوة أخرى تضرب الأسس، كما يتوزع الأس على عمليتي الضرب والقسمة بالتساوي. كما نحدد بوضوح معنى الأس الصفري لأي أساس غير صفري س⁰ = 1، والأس السالب س⁻ⁿ = 1/سⁿ الذي يقلب الأساس. وتتكامل هذه القوانين مع الصورة القياسية للعدد النسبي التي تُكتب على الشكل: أ × 10ⁿ حيث القيمة المطلقة لـ أ محصورة بين 1 و 10، ون عدد صحيح، وهي الأداة العالمية المعتمدة لتمثيل الأبعاد الفلكية والمقاييس الذرية وفق المعايير الوزارية الرسمية.
1. قوانين الأسس الصحيحة غير السالبة
قوانين الأسس الأساسية للأساسات المتشابهة في ن:
| القانون | الصيغة الجبرية | مثال رقمي |
|---|---|---|
| ضرب الأساسات المتشابهة | سⁿ × سᵐ = س^(ن+م) | (2/3)² × (2/3)³ = (2/3)⁵ |
| قسمة الأساسات المتشابهة | سⁿ ÷ سᵐ = س^(ن-م) | (1/2)⁷ ÷ (1/2)⁴ = (1/2)³ |
| قوة القوة | (سⁿ)ᵐ = س^(ن×م) | [(3/4)²]³ = (3/4)⁶ |
| توزيع الأس على الضرب والقسمة | (أ ب)ⁿ = أⁿ بⁿ | (2س)³ = 8س³ |
الإشارة مع الأس الزوجي والفردي: (-أ)ⁿ = أⁿ إذا كان ن زوجياً، و = -أⁿ إذا كان ن فردياً.
2. الأس الصفري والأس الصحيح السالب
تعريف الأسس الخاصة في ن:
- الأس الصفري: ناتج قسمة العدد على نفسه:
سⁿ ÷ سⁿ = س^(ن-ن) = س⁰ = 1. المقدار 0⁰ غير معين. - الأس السالب مقلوب:
(3/5)⁻² = (5/3)² = 25/9. - تحريك الحد بين البسط والمقام: تغيير إشارة الأس عند نقل الحد من البسط إلى المقام أو العكس.
3. الصورة القياسية للعدد النسبي (Scientific Notation)
تستخدم للتعبير عن الأعداد الكبيرة جداً أو الصغيرة جداً بدقة:
- الأعداد الكبيرة (ن موجب): نحرك العلامة العشرية لليسار:
4500000 = 4.5 × 10⁶. - الأعداد متناهية الصغر (ن سالب): نحرك العلامة العشرية لليمين:
0.00038 = 3.8 × 10⁻⁴. - الضبط: المقدار
35 × 10⁴ليس صورة قياسية بل يكتب3.5 × 10⁵.
4. ترتيب إجراء العمليات الحسابية
القواعد الصارمة لأسبقية العمليات الحسابية الرياضية:
- فك الأقواس من الداخل إلى الخارج.
- حساب قوى الأسس والجذور.
- إجراء عمليات الضرب والقسمة بالترتيب من اليمين إلى اليسار.
- إجراء عمليات الجمع والطرح بالترتيب من اليمين إلى اليسار.
تمرين 1: تبسيط مقدار باستخدام قوانين الأسس
المسألة: أوجد في أبسط صورة: (2⁵ × 2⁻²) / 2².
• البسط: تجمع الأسس ⇐ 2^(5 + -2) = 2³.
• الكسر = 2³ ÷ 2² = 2^(3 - 2) = 2¹ = 2.
تمرين 2: فك الأس السالب لمقدار نسبي
المسألة: احسب قيمة: (-2/3)⁻³.
• نقلب الكسر ونجعل الأس موجباً: (-3/2)³.
• الأس الفردي يحتفظ بالإشارة السالبة: (-3)³ / 2³ = -27 / 8.
تمرين 3: كتابة عدد بالصورة القياسية
المسألة: ضع المقدار 0.000072 على الصورة القياسية.
• نحرك العلامة العشرية إلى اليمين 5 منازل لتصبح بعد الرقم 7 (بين 1 و 10).
• بما أن التحريك لليمين، يكون الأس سالباً: 7.2 × 10⁻⁵.
تمرين 4: تصحيح كتابة الصورة القياسية
المسألة: اكتب المقدار 640 × 10⁶ في الصورة القياسية الصحيحة.
• 640 ليست بين 1 و 10، نكتبها: 6.4 × 10².
• المقدار = (6.4 × 10²) × 10⁶ = 6.4 × 10^(2+6) = 6.4 × 10⁸.
تمرين 5: ترتيب إجراء العمليات الحسابية
المسألة: احسب ناتج المقدار: 3 + 4 × 2² - 10 ÷ 2.
• نفك الأس أولاً: 2² = 4 ⇐ 3 + 4 × 4 - 10 ÷ 2.
• الضرب والقسمة: 4 × 4 = 16 ، و 10 ÷ 2 = 5 ⇐ 3 + 16 - 5.
• الجمع والطرح: 19 - 5 = 14.
تمرين 6: قوة القوة لكسر جبري
المسألة: بسط المقدار: [(س²)³ × س⁴] / س⁸.
• قوة القوة: (س²)³ = س⁶.
• البسط: س⁶ × س⁴ = س^(6+4) = س¹⁰.
• المقدار = س¹⁰ ÷ س⁸ = س^(10-8) = س².
تمرين 7: ضرب عددين في الصورة القياسية
المسألة: أوجد ناتج: (2 × 10⁴) × (3.5 × 10³).
• نضرب المعاملات: 2 × 3.5 = 7.
• نضرب قوى العشرات: 10⁴ × 10³ = 10⁷.
• الناتج النهائي = 7 × 10⁷ (في الصورة القياسية مباشرة).
تمرين 8: مقدار بأس صفري وسالب
المسألة: احسب قيمة: (3/4)⁰ + (2)⁻¹ - (1/2).
• (3/4)⁰ = 1.
• 2⁻¹ = 1/2.
• المقدار = 1 + 1/2 - 1/2 = 1.
اضغط على أي بطاقة لاكتشاف المعنى الدقيق، واضغط على أيقونة الصوت للاستماع للنطق:
اضغط على الإجابة لتتحقق من فهمك وتكتشف التفسير النموذجي فورياً: