الدرس الثالث: العمليات الأساسية على ن وخاصية التوزيع والمعكوس والمحايد
تمثل العمليات الحسابية الأربع على الأعداد النسبية الأساس الرياضي المتين لجميع مراحل دراسة الجبر في المرحلة الإعدادية. عند جمع وطرح الأعداد النسبية ذات المقامات الموحدة نجمع أو نطرح البسوط مباشرة مع الحفاظ على المقام، وفي حال اختلاف المقامات نوحدها باستخدام المضاعف المشترك الأصغر للمقامات. أما ضرب الأعداد النسبية فيتم بضرب البسوط معاً والمقامات معاً بعد الاختصار لأبسط صورة، وتتحول القسمة إلى ضرب في المعكوس الضربي. وتخضع هذه العمليات لقوانين جبرية دقيقة: خاصية الإغلاق في ن، وخاصية الإبدال، والدمج أو التجميع، ووجود المحايد الجمعي وهو الصفر، والمعكوس الجمعي بتغيير الإشارة، والمحايد الضربي وهو الواحد الصحيح، والمعكوس الضربي أو المقلوب لكافة الأعداد باستثناء الصفر. وتبرز خاصية التوزيع بتوزيع الضرب على الجمع والطرح كأقوى أداة حسابية لتسهيل المسائل المعقدة وفق النماذج الوزارية المعتمدة.
1. جمع وطرح الأعداد النسبية وخواصهما
قاعدة الجمع الأساسية:
- خواص الجمع في ن: الإغلاق، الإبدال (أ+ب = ب+أ)، الدمج ((أ+ب)+جـ = أ+(ب+جـ)).
- المحايد الجمعي: هو الصفر (أ/ب + 0 = أ/ب).
- المعكوس الجمعي: المعكوس الجمعي للعدد أ/ب هو -أ/ب، والعدد صفر معكوسه الجمعي نفسه.
- الطرح: الطرح مغلق في ن، ولكنه ليس إبدالياً وليس دامجاً.
2. ضرب وقسمة الأعداد النسبية
قاعدة الضرب والقسمة:
- المحايد الضربي: هو الواحد الصحيح (أ/ب × 1 = أ/ب).
- المعكوس الضربي (المقلوب): معكوس أ/ب هو ب/أ (حيث أ, ب ≠ 0). حاصل ضرب العدد في معكوسه = 1.
- انعدام معكوس الصفر: الصفر ليس له معكوس ضربي لأن 1/0 غير معرف رياضياً.
- القسمة: ليست إبدالية وليست دامجة، والقسمة على الصفر مستحيلة في ن.
3. خاصية التوزيع (توزيع الضرب على الجمع)
تعتبر خاصية التوزيع من أهم أدوات تبسيط الحسابات الذهنية:
العامل المشترك: عند حل مسألة مثل (5/7) × 8 + (5/7) × 6 نأخذ 5/7 عاملاً مشتركاً ⇐ (5/7) × (8 + 6) = (5/7) × 14 = 10.
4. تطبيقات المسافة بين عددين نسبيين
إيجاد عدد نسبي يقع عند نسبة محددة من المسافة بين عددين أ و ب:
- المسافة بين العددين:
المسافة = |العدد الأكبر - العدد الأصغر|. - منتصف المسافة:
1/2 × (أ + ب). - من جهة الأصغر:
العدد الأصغر + (النسبة × المسافة). - من جهة الأكبر:
العدد الأكبر - (النسبة × المسافة).
تمرين 1: جمع وطرح بتوحيد المقامات
المسألة: احسب ناتج: 3/4 - 2/3 + 1/2.
• المضاعف المشترك الأصغر للمقامات 4، 3، 2 هو 12.
• 3/4 = 9/12 ، 2/3 = 8/12 ، 1/2 = 6/12.
• الناتج = (9 - 8 + 6) / 12 = 7 / 12.
تمرين 2: استخدام خاصية التوزيع
المسألة: استخدم خاصية التوزيع لإيجاد: (4/9) × 11 + (4/9) × 16.
• نأخذ 4/9 عاملاً مشتركاً: (4/9) × (11 + 16).
• = (4/9) × 27.
• نختصر 27 مع 9 فينتج 3: 4 × 3 = 12.
تمرين 3: قسمة الأعداد النسبية
المسألة: أوجد ناتج: (-5/8) ÷ (15/16).
• نحول القسمة لضرب بالمقلوب: (-5/8) × (16/15).
• بالاختصار: -5 مع 15 تعطي -1 في البسط و 3 في المقام، 16 مع 8 تعطي 2.
• الناتج = (-1 × 2) / (1 × 3) = -2 / 3.
تمرين 4: عدد في منتصف المسافة
المسألة: أوجد العدد النسبي الذي يقع عند منتصف المسافة بين 2/5 و 4/5.
• القانون: منتصف المسافة = 1/2 × (العدد الأول + العدد الثاني).
• = 1/2 × (2/5 + 4/5) = 1/2 × 6/5.
• بالاختصار: الناتج = 3 / 5.
تمرين 5: عدد عند ربع المسافة من الأصغر
المسألة: أوجد العدد الذي يقع عند ربع المسافة بين 1/3 و 1 من جهة العدد الأصغر.
• المسافة = |1 - 1/3| = 2/3.
• ربع المسافة = 1/4 × 2/3 = 2/12 = 1/6.
• العدد = الأصغر + ربع المسافة = 1/3 + 1/6 = 2/6 + 1/6 = 3/6 = 1/2.
تمرين 6: المعكوس الجمعي والضربي
المسألة: ما مجموع المعكوس الجمعي والمعكوس الضربي للعدد -3/4 ؟
• المعكوس الجمعي = + 3/4.
• المعكوس الضربي = - 4/3.
• المجموع = 3/4 + (-4/3) = 9/12 - 16/12 = -7 / 12.
تمرين 7: توزيع مع طرح وعنصر محايد
المسألة: احسب باستخدام التوزيع: (7/12) × 5 + (7/12) × 8 - (7/12).
• الحد الأخير يعني (7/12) × 1.
• نأخذ 7/12 مشتركاً: (7/12) × (5 + 8 - 1).
• = (7/12) × 12 = 7.
تمرين 8: ضرب كسر في مقلوبه المرفوع لقوة
المسألة: احسب ناتج: (2/3) × (-3/2).
• ضرب عدد موجب في عدد سالب ينتج عدداً سالباً.
• نلاحظ أن 3/2 هو مقلوب 2/3، إذن (2/3) × (3/2) = 1.
• الناتج النهائي = -1.
اضغط على أي بطاقة لاكتشاف المعنى الدقيق، واضغط على أيقونة الصوت للاستماع للنطق:
اضغط على الإجابة لتتحقق من فهمك وتكتشف التفسير النموذجي فورياً: