الدرس الخامس: جبر المعادلات والمتباينات الخطية وتطبيقات النماذج الحياتية في ن
يُعد حل المعادلات والمتباينات من الدرجة الأولى في مجهول واحد في مجموعة الأعداد النسبية ن الأداة الرياضية الأقوى لتحويل المسائل اللفظية والمواقف الحياتية الواقعية إلى نماذج رياضية دقيقة يمكن إيجاد حلولها بشكل قطعي. المعادلة الخطية هي جملة رياضية تتضمن علاقة تساوي بين طرفين وتحتوي على متغير من الدرجة الأولى (أس 1)، ونصل لحلها بتطبيق خواص التساوي الجبرية من إضافة أو طرح نفس المقدار للطرفين، وقسمة الطرفين على معامل المجهول غير الصفري. أما المتباينة فتحتوي على إحدى علاقات التباين: أصغر من، أكبر من، أصغر من أو يساوي، أو أكبر من أو يساوي، وتتبع نفس خواص المعادلات مع قاعدة استثنائية حاسمة: عند ضرب أو قسمة طرفي المتباينة على عدد سالب يجب عكس اتجاه علامة التباين فوراً. ونتوج ذلك بحل المسائل الحياتية التطبيقية في حساب الأعمار وأبعاد الأشكال الهندسية بنجاح وفق النماذج الاسترشادية الرسمية.
1. معادلات الدرجة الأولى في ن
الصورة العامة لمعادلة الدرجة الأولى في مجهول واحد هي أ س + ب = جـ حيث أ ≠ 0 و أ, ب, جـ ∈ ن:
- خاصية الإضافة والحذف: إضافة أو طرح نفس العدد من طرفي المعادلة لا يغير مجموعة الحل.
- خاصية الضرب والقسمة: ضرب أو قسمة الطرفين على عدد نسبي غير صفري يعطي معادلة مكافئة.
- مجموعة الحل (م.ح): هي مجموعة قيم المتغير التي تحقق المعادلة، ويجب التأكد من انتمائها لـ ن.
2. متباينات الدرجة الأولى في ن
المتباينة هي علاقة رياضية تعبر عن تفاوت بين طرفين باستخدام علامات التباين (<، >، ≤، ≥):
- مثال:
-2س < 6⇐ بالقسمة على -2:س > -3. - مجموعة الحل في ن: تكتب بطريقة الصفة المميزة:
م.ح = { س : س ∈ ن ، س > -3 }. - التمثيل البياني: تمثل على خط الأعداد بنصف مستقيم يبدأ من النقطة المعنية (مفتوحة أو مغلقة).
3. خطوات حل المعادلات التي تحتوي أقواساً أو كسوراً
الاستراتيجية المنهجية لحل المعادلات المعقدة:
- التخلص من الأقواس بفكها باستخدام خاصية التوزيع.
- التخلص من المقامات بالضرب في المضاعف المشترك الأصغر للمقامات.
- تجميع الحدود التي تحتوي على المتغير في الطرف الأيمن، والأعداد الثابتة في الطرف الأيسر.
- قسمة الطرفين على معامل المتغير وكتابة مجموعة الحل داخل قوسي مجموعة.
4. التطبيقات الحياتية والمسائل اللفظية
تحويل الكلمات اللفظية إلى عبارات جبرية دقيقة:
- ثلاثة أعداد صحيحة متتالية:
س ، س + 1 ، س + 2. - أعداد زوجية أو فردية متتالية:
س ، س + 2 ، س + 4. - مسائل الأعمار: عمر رجل الآن س، عمره بعد 5 سنوات = س + 5، وعمره منذ 3 سنوات = س - 3.
- المستطيل: إذا كان الطول يزيد عن العرض بمقدار 3 سم، نفرض العرض س والطول س + 3.
تمرين 1: حل معادلة خطية في ن
المسألة: أوجد مجموعة حل المعادلة: 3س + 5 = 17 في ن.
• بطرح 5 من الطرفين: 3س = 17 - 5 ⇐ 3س = 12.
• بالقسمة على 3: س = 12 ÷ 3 = 4.
• بما أن 4 ∈ ن، إذن م.ح = {4}.
تمرين 2: حل معادلة بمتغير في الطرفين
المسألة: أوجد مجموعة حل المعادلة: 5س - 2 = 2س + 13 في ن.
• نجمع الحدود الجبرية: 5س - 2س = 13 + 2.
• 3س = 15 ⇐ س = 15 ÷ 3 = 5.
• إذن م.ح = {5}.
تمرين 3: متباينة مع معامل سالب
المسألة: أوجد مجموعة حل المتباينة -3س + 1 ≤ 10 في ن.
• بطرح 1 من الطرفين: -3س ≤ 10 - 1 ⇐ -3س ≤ 9.
• بالقسمة على -3 (نعكس إشارة التباين): س ≥ 9 ÷ (-3) ⇐ س ≥ -3.
• م.ح = { س : س ∈ ن ، س ≥ -3 }.
تمرين 4: معادلة تحتوي كسوراً
المسألة: حل المعادلة: (س / 2) + (س / 3) = 5 في ن.
• نضرب جميع الحدود في 6 (المضاعف المشترك للمقامين 2 و 3):
• 6 × (س/2) + 6 × (س/3) = 6 × 5 ⇐ 3س + 2س = 30.
• 5س = 30 ⇐ س = 6. إذن م.ح = {6}.
تمرين 5: مسألة الأعداد المتتالية
المسألة: ثلاثة أعداد طبيعية متتالية مجموعها 36. فما هي هذه الأعداد؟
• نفرض الأعداد: س ، س + 1 ، س + 2.
• المجموع = س + (س + 1) + (س + 2) = 36 ⇐ 3س + 3 = 36.
• 3س = 33 ⇐ س = 11.
• الأعداد هي: 11 ، 12 ، 13.
تمرين 6: تطبيق هندسي للمستطيل
المسألة: مستطيل طوله يزيد عن عرضه بمقدار 4 سم، ومحيطه 28 سم. احسب مساحته.
• نفرض العرض س، فيكون الطول س + 4.
• نصف المحيط = الطول + العرض = 28 ÷ 2 = 14 سم.
• س + (س + 4) = 14 ⇐ 2س + 4 = 14 ⇐ 2س = 10 ⇐ س = 5 سم.
• العرض = 5 سم، الطول = 9 سم ⇐ المساحة = 5 × 9 = 45 سم².
تمرين 7: مسألة أعمار
المسألة: عمر أب الآن ثلاثة أمثال عمر ابنه، وبعد 10 سنوات يصبح مجموع عمريهما 60 سنة. ما عمر الابن الآن؟
• نفرض عمر الابن الآن س، وعمر الأب 3س.
• بعد 10 سنوات: عمر الابن س + 10، وعمر الأب 3س + 10.
• المجموع: (س + 10) + (3س + 10) = 60 ⇐ 4س + 20 = 60.
• 4س = 40 ⇐ س = 10 سنوات (عمر الابن الآن).
تمرين 8: متباينة بأطراف مزدوجة
المسألة: أوجد مجموعة حل المتباينة: -3 < 2س + 1 ≤ 7 في ن.
• نطرح 1 من جميع الأطراف: -3 - 1 < 2س ≤ 7 - 1 ⇐ -4 < 2س ≤ 6.
• نقسم جميع الأطراف على 2: -2 < س ≤ 3.
• م.ح = { س : س ∈ ن ، -2 < س ≤ 3 }.
اضغط على أي بطاقة لاكتشاف المعنى الدقيق، واضغط على أيقونة الصوت للاستماع للنطق:
اضغط على الإجابة لتتحقق من فهمك وتكتشف التفسير النموذجي فورياً: