جبر الأعداد الحقيقية: قوانين الجذور التربيعية، ضربها وقسمتها، وإنطاق المقام المشتمل على جذر
أهلاً بكم في الوحدة الثانية لمقرر الرياضيات للصف الثاني الإعدادي، حيث ننتقل لتعميق مهاراتنا في العمليات الجبرية على مجموعة الأعداد الحقيقية «ح». يرتكز هذا الدرس على دراسة «الجذور التربيعية» وخواصها الرياضية الدقيقة: إذا كان أ، ب عددين حقيقيين موجبين، فإن: جذر(أ) × جذر(ب) = جذر(أ × ب)، وجذر(أ) ÷ جذر(ب) = جذر(أ ÷ ب). كما نتعلم تبسيط الجذور بكتابة العدد تحت الجذر كحاصل ضرب عددين أحدهما مربع كامل يخرج خارج الجذر (مثل: جذر(50) = جذر(25 × 2) = 5 جذر(2)). ومن أهم المهارات الحسابية مهارة «إنطاق المقام» عندما يحتوي المقام على جذر غير نسبي؛ فنضرب حدي الكسر في ذلك الجذر، أو نضرب في «المرافق» إذا كان المقام مكوناً من حدين (مثل: مرافق المقدار جذر(5) + جذر(2) هو جذر(5) - جذر(2)) ليتحول المقام إلى عدد نسبي صحيح طبقاً لقانون الفرق بين مربعين.
1. قوانين الجذور التربيعية
القواعد الأساسية لتبسيط الجذور التربيعية:
- خاصية الضرب: √أ × √ب = √(أ × ب) ، بشرط أ ≥ 0 ، ب ≥ 0.
- خاصية القسمة: √أ ÷ √ب = √(أ / ب) ، حيث ب > 0.
- إخراج المربع الكامل: √(أ² × ب) = |أ| × √ب.
• √18 = √(9 × 2) = 3√2.
• √75 = √(25 × 3) = 5√3. - جمع وطرح الجذور المتشابهة: 3√5 + 4√5 = 7√5.
2. إنطاق المقام والعددان المترافقان
التخلص من الجذر في المقام وتبسيط الكسور:
- إنطاق المقام ذو الحد الواحد:
• 6 / √3 = (6 × √3) / (√3 × √3) = (6√3) / 3 = 2√3. - العددان المترافقان: المقداران (√أ + √ب) و(√أ - √ب) مترافقان:
• حاصل ضربهما = (√أ)² - (√ب)² = أ - ب (عدد نسبي دائماً!).
• حاصل جمعهما = 2√أ. - تبسيط كسر بمقام ثنائي: نضرب حدي الكسر في مرافق المقام.
ورشة حل التمارين بالخطوات النموذجية:
1. √32 = √(16 × 2) = 4√2.
2. √50 = √(25 × 2) = 5√2.
3. المقدار = 4√2 + 5√2 - 3√2 = (4 + 5 - 3)√2 = 6√2.
1. س = [4(√7 + √3)] / [(√7 - √3)(√7 + √3)] = [4(√7 + √3)] / (7 - 3) = [4(√7 + √3)] / 4 = √7 + √3.
2. بما أن ص = √7 - √3 ، إذن س، ص عددان مترافقان.
3. س × ص = (√7 + √3)(√7 - √3) = 7 - 3 = 4.
اضغط على أي بطاقة لاكتشاف المعنى الدقيق، واضغط على أيقونة الصوت للاستماع للنطق:
اضغط على الإجابة لتتحقق من فهمك وتكتشف التفسير النموذجي فورياً: