الصف الثاني الإعدادي - رياضيات
الوحدة الثانية: العمليات على الأعداد الحقيقية والعلاقة بين متغيرين
الهندسة التحليلية: العلاقة الخطية ص = م س + جـ، تمثيلها بيانياً، وحساب ميل المستقيم وحالاته
انقر على أي جملة للاستماع إليها مباشرة 👆
تُعد «العلاقة الخطية بين متغيرين» من أهم النماذج الرياضية المستخدمة للتعبير عن الظواهر الواقعية والاقتصادية والفيزيائية. تأخذ العلاقة الخطية الصورة العامة: أ س + ب ص = جـ (حيث أ، ب لا يساويان صفراً معاً). وتُمثل بيانياً في المستوى الإحداثي المتعامد بـ «خط مستقيم»؛ ويكفي لتمثيلها تحديد نقطتين أو ثلاث نقاط تحقق العلاقة. ويرتبط الخط المستقيم بمفهوم رياضي حاسم هو «الميل» (Slope)، ويُعرَّف بأنه النسبة بين التغير الرأسي والتغير الأفقي: الميل (م) = (ص2 - ص1) / (س2 - س1). وتتنوع حالات الميل لأربعة أنواع: 1. ميل موجب (يصنع زاوية حادة مع الاتجاه الموجب لمحور السينات)؛ 2. ميل سالب (يصنع زاوية منفرجة)؛ 3. ميل يساوي صفراً (مستقيم أفقي يوازي محور السينات)؛ 4. ميل غير معرف (مستقيم رأسي يوازي محور الصادات).
1. التمثيل البياني للعلاقة الخطية
كيفية رسم المستقيم وإيجاد نقط التقاطع:
- الصورة العامة: أ س + ب ص = جـ.
- طريقة الرسم:
• نضع س = 0 لإيجاد نقطة التقاطع مع محور الصادات: (0 ، جـ/ب).
• نضع ص = 0 لإيجاد نقطة التقاطع مع محور السينات: (جـ/أ ، 0). - المستقيمات الخاصة:
• ص = ثابت (يمثل مستقيماً أفقياً يوازي محور السينات).
• س = ثابت (يمثل مستقيماً رأسياً يوازي محور الصادات).
• ص = م س (يمر بنقطة الأصل 0 ، 0).
2. قانون ميل الخط المستقيم وحالاته
التغير الرأسي مقسوماً على التغير الأفقي:
- قانون الميل: الميل م = (ص&sub2; - ص&sub1;) / (س&sub2; - س&sub1;) ، حيث س&sub2; ≠ س&sub1;.
- حالات الميل الأربع:
• موجب (> 0): المستقيم يصعد لأعلى جهة اليمين (زاوية حادة).
• سالب (< 0): المستقيم يهبط لأسفل جهة اليمين (زاوية منفرجة).
• صفر: مستقيم أفقي تماماً موازٍ لمحور السينات.
• غير معرَّف: مستقيم رأسي تماماً موازٍ لمحور الصادات (المقام = 0). - شرط التوازي: المستقيمان المتوازيان لهما نفس الميل (م1 = م2).
تطبيقات عملية في حساب الميل والتمثيل:
س1: أوجد ميل الخط المستقيم المار بالنقطتين أ(2 ، 3) ، ب(4 ، 7).
الميل م = (ص&sub2; - ص&sub1;) / (س&sub2; - س&sub1;) = (7 - 3) / (4 - 2) = 4 / 2 = 2 (ميل موجب).
الميل م = (ص&sub2; - ص&sub1;) / (س&sub2; - س&sub1;) = (7 - 3) / (4 - 2) = 4 / 2 = 2 (ميل موجب).
س2: أثبت أن النقط أ(1 ، 1) ، ب(2 ، 3) ، جـ(0 ، -1) تقع على استقامة واحدة.
1. ميل أ ب = (3 - 1) / (2 - 1) = 2 / 1 = 2.
2. ميل ب جـ = (-1 - 3) / (0 - 2) = -4 / -2 = 2.
بما أن ميل أ ب = ميل ب جـ والنقطة ب مشتركة بينهما، إذن النقط أ، ب، جـ تقع على استقامة واحدة.
1. ميل أ ب = (3 - 1) / (2 - 1) = 2 / 1 = 2.
2. ميل ب جـ = (-1 - 3) / (0 - 2) = -4 / -2 = 2.
بما أن ميل أ ب = ميل ب جـ والنقطة ب مشتركة بينهما، إذن النقط أ، ب، جـ تقع على استقامة واحدة.
اضغط على أي بطاقة لاكتشاف المعنى الدقيق، واضغط على أيقونة الصوت للاستماع للنطق:
العلاقة الخطية
اضغط لاكتشاف الدلالة والشرح 👆
علاقة جبرية من الدرجة الأولى بين متغيرين تمثل بيانياً بخط مستقيم
💡 إضاءة وتوضيح: Linear Relation
ميل الخط المستقيم
اضغط لاكتشاف الدلالة والشرح 👆
مقياس درجة انحدار المستقيم ويساوي التغير الرأسي على التغير الأفقي
💡 إضاءة وتوضيح: Slope of a Line
الميل الموجب
اضغط لاكتشاف الدلالة والشرح 👆
ميل المستقيم الذي يصنع زاوية حادة مع الاتجاه الموجب لمحور السينات
💡 إضاءة وتوضيح: Positive Slope
الميل السالب
اضغط لاكتشاف الدلالة والشرح 👆
ميل المستقيم الذي يصنع زاوية منفرجة مع محور السينات
💡 إضاءة وتوضيح: Negative Slope
الميل الصفري
اضغط لاكتشاف الدلالة والشرح 👆
ميل أي مستقيم أفقي يوازي محور السينات ومعدل تغيره الرأسي صفر
💡 إضاءة وتوضيح: Zero Slope
الميل غير المعرف
اضغط لاكتشاف الدلالة والشرح 👆
ميل المستقيم الرأسي الموازي لمحور الصادات ومقامه صفر
💡 إضاءة وتوضيح: Undefined Slope
نقطة التقاطع مع الصادات
اضغط لاكتشاف الدلالة والشرح 👆
النقطة التي يقطع فيها المستقيم محور الصادات عندما س = 0
💡 إضاءة وتوضيح: Y-Intercept
نقطة التقاطع مع السينات
اضغط لاكتشاف الدلالة والشرح 👆
النقطة التي يقطع فيها المستقيم محور السينات عندما ص = 0
💡 إضاءة وتوضيح: X-Intercept
النقط على استقامة واحدة
اضغط لاكتشاف الدلالة والشرح 👆
نقاط تشترك في مستقيم واحد ويكون الميل بين أي نقطتين متساوياً
💡 إضاءة وتوضيح: Collinear Points
المستقيمات المتوازية
اضغط لاكتشاف الدلالة والشرح 👆
مستقيمات في نفس المستوى لا تتقاطع ولها نفس الميل تماماً
💡 إضاءة وتوضيح: Parallel Lines
المستوى الإحداثي
اضغط لاكتشاف الدلالة والشرح 👆
شبكة متعامدة مكونة من تقاطع محوري السينات والصادات عند نقطة الأصل
💡 إضاءة وتوضيح: Coordinate Plane
التغير الرأسي (دلتا ص)
اضغط لاكتشاف الدلالة والشرح 👆
الفرق بين إحداثيات الصادات ص2 - ص1
💡 إضاءة وتوضيح: Vertical Change (Δy)
اضغط على الإجابة لتتحقق من فهمك وتكتشف التفسير النموذجي فورياً:
1
ميل الخط المستقيم المار بالنقطتين (1 ، 2) و(3 ، 6) يساوي:
2
ميل أي خط مستقيم أفقي يوازي محور السينات يساوي:
3
ميل الخط المستقيم الرأسي الموازي لمحور الصادات يكون:
4
نقطة تقاطع المستقيم 2س + 3ص = 6 مع محور الصادات هي:
5
إذا كان ميل المستقيم المار بالنقطتين (2 ، ك) و(4 ، 5) يساوي 3، فإن قيمة ك تساوي:
6
المستقيم الممثل بالعلاقة ص = 4س يمر بنقطة:
7
إذا تساوى ميل أ ب مع ميل ب جـ، فإن النقط أ، ب، جـ تكون:
8
ميل المستقيم الذي يصنع زاوية منفرجة مع الاتجاه الموجب لمحور السينات يكون:
🎉 تهانينا يا بطل! أتممت جميع محطات الدرس بنجاح باهر وتستحق وسام التميز!