الجبر التحليلي: حل معادلات ومتباينات الدرجة الأولى في ح وتمثيلها بيانياً على خط الأعداد
يُعد حل المعادلات والمتباينات في مجموعة الأعداد الحقيقية «ح» ركيزة أساسية للتفكير الرياضي المجرد وحل المشكلات الحياتية. فالمعادلة هي جملة رياضية تتضمن علاقة تساوي بين طرفين، وحلها يعني إيجاد قيمة أو قيم المجهول س التي تجعل التساوي صحيحاً. أما المتباينة فهي جملة رياضية تتضمن علاقة ترتيب (>، ≥، <، ≤ ) بين طرفين، وتتميز بأن مجموعة حلها في «ح» لا تكون عدداً مفرداً، بل تمثل «فترة» (Interval) غير منتهية من الأعداد الحقيقية (محدودة أو غير محدودة). وتطبق على المتباينات نفس خواص المعادلات عند الإضافة والطرح، مع قاعدة ذهبية حاسمة: «عند ضرب أو قسمة حدي المتباينة على عدد سالب، يجب تغيير اتجاه علاقة الترتيب فوراً» (فالأكبر يصبح أصغر، والأصغر يصبح أكبر).
1. حل المعادلات في ح
خطوات عزل المجهول وحساب الجذور:
- معادلات الدرجة الأولى: عزل المجهول س في طرف باستخدام المعكوس الجمعي والضربي.
• 3س - 5 = 7 → 3س = 12 → س = 4 → م.ح = {4}. - معادلات تشتمل على جذور وتربيعات:
• س² + 9 = 25 → س² = 16 → س = ±4 → م.ح = {4, -4}.
• س³ + 5 = 32 → س³ = 27 → س = ³√27 = 3 → م.ح = {3}.
• س² + 25 = 0 → س² = -25 (مستحيل في ح) → م.ح = ∅.
2. حل المتباينات وفترات الحل
قواعد التعامل مع إشارات الترتيب وتمثيل الفترات:
- خاصية الضرب والقسمة في سالب:
• -2س ≤ 6 → بالقسمة على (-2): س ≥ -3 (تغير اتجاه العلامة!). - المتباينات ذات الطرفين:
• -1 < 2س + 3 ≤ 7 → بطرح 3 من جميع الأطراف: -4 < 2س ≤ 4.
• بالقسمة على 2: -2 < س ≤ 2.
• مجموعة الحل هي الفترة نصف المفتوحة: ]-2 ، 2]. - التمثيل البياني: دائرة مفتوحة عند -2 ودائرة مغلقة ومظللة عند 2 وتظليل الخط بينهما.
تمارين تفاعلية في حل المعادلات والمتباينات:
1. 2س³ = 47 + 7 = 54.
2. س³ = 54 / 2 = 27.
3. س = ³√27 = 3.
إذن مجموعة الحل م.ح = {3}.
1. -س ≤ 8 - 5 → -س ≤ 3.
2. بالضرب في (-1) مع قلب علامة التباين: س ≥ -3.
3. مجموعة الحل هي الفترة غير المحدودة: [-3 ، ∞[.
اضغط على أي بطاقة لاكتشاف المعنى الدقيق، واضغط على أيقونة الصوت للاستماع للنطق:
اضغط على الإجابة لتتحقق من فهمك وتكتشف التفسير النموذجي فورياً: