الوحدة الأولى - الدرس 2: مجموعة الأعداد الحقيقية ح وتمثيلها على خط الأعداد وعلاقة الترتيب والمقارنة
تعد مجموعة الأعداد الحقيقية ح الإطار الرياضي الأشمل الذي يدمج كلاً من الأعداد النسبية ن والأعداد غير النسبية ن' معاً في بنيان عددي متكامل لا توجد بين عناصره أي فجوات، حيث يتحقق التناظر الأحادي الكامل بين الأعداد الحقيقية ونقاط خط الأعداد المستقيم. ويفتح تمثيل الجذور الصماء هندسياً باستخدام نظرية فيثاغورس آفاقاً تطبيقية رائعة، بإنشاء المثلثات قائمة الزاوية لتحديد مواقع الأطوال اللاكسرية كجذر اثنين وجذر خمسة بدقة هندسية مطلقة باستخدام الفرجار والمسطرة. كما تتميز الأعداد الحقيقية بعلاقة ترتيب تامة تتيح المقارنة الدقيقة وتفعيل مفهوم القيمة المطلقة وخاصية الكثافة، مما يمهد للتعامل الاحترافي مع الفترات والتحليل الرياضي وفق المعايير الوزارية المعتمدة.
1. بنية وتكوين مجموعة الأعداد الحقيقية (ح)
مجموعة الأعداد الحقيقية ح هي اتحاد مجموعتي الأعداد النسبية وغير النسبية:
- تسلسل المجموعات:
ط ⊂ ص ⊂ ن ⊂ ح. - التصنيف الثلاثي:
ح = ح⁺ ∪ {0} ∪ ح⁻. - الأعداد الحقيقية غير الصفرية (ح*):
ح* = ح - {0} = ح⁺ ∪ ح⁻. - مخطط التناظر: كل نقطة على خط الأعداد تمثل عدداً حقيقياً واحداً، وكل عدد حقيقي تمثله نقطة واحدة وحيدة (اكتمال خط الأعداد).
2. التمثيل الهندسي للأعداد غير النسبية
نستخدم نظرية فيثاغورس لرسم قطعة مستقيمة طولها عدد غير نسبي، مثل √ن:
| العدد الأصم | ضلعا القائمة (أ، ب) | حساب الوتر = √(أ² + ب²) |
|---|---|---|
| √2 | 1 وحدة، 1 وحدة | √(1² + 1²) = √2 |
| √5 | 2 وحدة، 1 وحدة | √(2² + 1²) = √(4 + 1) = √5 |
| √10 | 3 وحدة، 1 وحدة | √(3² + 1²) = √(9 + 1) = √10 |
طريقة الرسم: نقيم عموداً بطول ب عند النقطة أ على خط الأعداد، ثم نصل الوتر، ونفتح الفرجار بفتحة تساوي الوتر ونرسم قوساً يقطع خط الأعداد.
3. علاقة الترتيب والمقارنة في ح
إذا كان أ، ب ∈ ح، فإنه توجد علاقة واحدة فقط من ثلاث: أ > ب أو أ = ب أو أ < ب:
- المقارنة بين الجذور: إذا كان أ > ب > 0 فإن
√أ > √بوكذلك∛أ > ∛ب. - المقارنة بتربيع الأطراف: للمقارنة بين
√7و2.6:
(√7)² = 7 | (2.6)² = 6.76 ⇐ بما أن 7 > 6.76 ⇐√7 > 2.6. - الترتيب التصاعدي: تحويل الأعداد إلى جذور متشابهة الرتبة لترتيبها تنازلياً أو تصاعدياً بدقة.
4. القيمة المطلقة وكثافة ح
القيمة المطلقة للعدد الحقيقي |س| تمثل المسافة بين النقطة الممثلة للعدد س ونقطة الأصل (0):
- التعريف الجبري:
|س| = سإذا كان س ≥ 0، و|س| = -سإذا كان س < 0. - جذر المربع:
√(س²) = |س|(قاعدة جوهرية: √(س²) ليس س بل القيمة المطلقة لـ س). - خاصية الكثافة: بين أي عددين حقيقيين مختلفين يوجد عدد لا نهائي من الأعداد الحقيقية (النسبية وغير النسبية).
تمرين 1: المقارنة بين عددين حقيقيين
المسألة: قارن بوضع العلامة المناسبة (>، <، =): √15 أم 4.
• نربع الطرفين: (√15)² = 15.
• (4)² = 16.
• بما أن 15 < 16 ⇐ إذن √15 < 4.
تمرين 2: الترتيب التصاعدي للأعداد الحقيقية
المسألة: رتب تصاعدياً الأعداد: √27، -√45، ∛125، -6، 0.
• نبسط الأعداد: ∛125 = 5 = √25، -6 = -√36.
• الأعداد السالبة: -√45 و -√36 ⇐ بما أن -√45 أصغر من -√36 (-6).
• الترتيب التصاعدي هو: -√45، -6، 0، ∛125 (5)، √27.
تمرين 3: تمثيل 1 + √2 على خط الأعداد
المسألة: حدد كيفية تمثيل العدد 1 + √2 هندسياً.
• نبدأ من النقطة (1) على خط الأعداد كمركز ارتكاز.
• نقيم عموداً طوله 1 وحدة طول عند النقطة 1.
• نصل الوتر من النقطة 1 إلى قمة العمود، فيكون طول الوتر = √(1² + 1²) = √2.
• نركز سن الفرجار عند (1) ونفتح بفتحة مساوية للوتر ونسقط قوساً في اتجاه اليمين، فتكون نقطة التقاطع هي 1 + √2.
تمرين 4: إيجاد أعداد غير نسبية بين عددين
المسألة: اذكر عددين غير نسبيين ينحصران بين 2 و 3.
• 2 = √4 و 3 = √9.
• الأعداد غير النسبية المحصورة بين √4 و √9 هي الجذور الصماء للأعداد بين 4 و 9.
• إذن يمكن اختيار: √5، √6، √7، √8.
تمرين 5: حساب القيمة المطلقة
المسألة: احسب في أبسط صورة: |1 - √3| + |2 - √3|.
• بما أن √3 ≈ 1.732:
• 1 - √3 عدد سالب، إذن |1 - √3| = -(1 - √3) = √3 - 1.
• 2 - √3 عدد موجب، إذن |2 - √3| = 2 - √3.
• المقدار = (√3 - 1) + (2 - √3) = 1.
تمرين 6: حل معادلة المربع المطلق
المسألة: إذا كان √(س²) = 7، فأوجد قيمة س.
• حسب القاعدة: √(س²) = |س|.
• إذن |س| = 7 ⇐ س = ±7.
تمرين 7: مثلث قائم الوتر فيه أصم
المسألة: مثلث قائم ضلعي قائمته 2 سم و 3 سم، هل وتره ينتمي إلى ن أم ن'؟
• مربع الوتر = 2² + 3² = 4 + 9 = 13.
• الوتر = √13 سم.
• بما أن 13 ليس مربعاً كاملاً، فإن الوتر ينتمي إلى ن' (غير نسبي).
تمرين 8: ترتيب تنازلي لمقادير حقيقية
المسألة: رتب تنازلياً: 3، √8، ∛60.
• 3 = √9 = ∛27.
• √8 < √9 (3).
• ∛60 > ∛27 (3) لأن 60 > 27.
• إذن الترتيب التنازلي هو: ∛60، ثم 3، ثم √8.
اضغط على أي بطاقة لاكتشاف المعنى الدقيق، واضغط على أيقونة الصوت للاستماع للنطق:
اضغط على الإجابة لتتحقق من فهمك وتكتشف التفسير النموذجي فورياً: