الوحدة الأولى - مراجعة شاملة: مهارات التفكير العليا وإتقان الأعداد الحقيقية والفترات
تتوج هذه المراجعة الشاملة رحلة إتقان الوحدة الأولى من خلال منظومة تدريبية متقدمة تركز على مهارات التفكير العليا والتطبيقات الهندسية والحياتية للأعداد الحقيقية والفترات. حيث يتعلم الطالب كيفية توظيف الجذور والأعداد غير النسبية في حساب حجوم ومساحات المجسمات الهندسية كالكرة والأسطوانة الدائرية القائمة والمكعب، بدلالة النسبة التقريبية باي والجذور الصماء. كما تتصدى المراجعة للمسائل المركبة في تبسيط المقادير الجبرية المترافقة وإثبات المتطابقات، والتعامل الاحترافي مع تقاطعات الفترات اللانهائية والمعادلات متعددة الخطوات، لتزويد الطالب بالثقة الكاملة والجاهزية القصوى لخوض الاختبارات الإلكترونية الشاملة وفق معايير التقييم الوطنية والمنهج الوزاري المعتمد.
1. التطبيقات الهندسية للجذور في المجسمات
قوانين المجسمات وتطبيقاتها الحسابية في ح:
| المجسم | الحجم | المساحة الكلية / الجانبية |
|---|---|---|
| المكعب | ح = ل³ | م.ك = 6 ل² | م.ج = 4 ل² |
| متوازي المستطيلات | ح = الطول × العرض × الارتفاع | م.ج = محيط القاعدة × ع |
| الأسطوانة القائمة | ح = π نق² ع | م.ج = 2 π نق ع | م.ك = 2π نق(نق + ع) |
| الكرة | ح = ⁴⁄₃ π نق³ | مساحة السطح = 4 π نق² |
إيجاد نصف القطر: إذا كان حجم كرة 36π سم³، فإن ⁴⁄₃ π نق³ = 36π ⇐ نق³ = 27 ⇐ نق = 3 سم.
2. مهارات تفكير عليا في المترافقات
استراتيجيات حل المتطابقات المتقدمة:
- المتطابقة 1:
س² + ص² = (س + ص)² - 2س ص. - المتطابقة 2:
س² - ص² = (س - ص)(س + ص). - المتطابقة 3:
س² - 2س ص + ص² = (س - ص)². - المتطابقة 4:
س / ص + ص / س = (س² + ص²) / (س ص).
3. مسائل التفكير المتقدم في الفترات
إيجاد قيم مجاهيل تجعل علاقات الفترات محققة:
- إذا كان
[أ، 5] ∩ [2، ب] = [2، 5]، فإن أ ≤ 2 و ب ≥ 5. - إذا كان
[1، 4] ∩ ]ك، ∞[ = ]3، 4]، فإن ك = 3. - إذا كان
س ⊂ ص، فإنس ∩ ص = سوس ∪ ص = صوس - ص = ∅.
4. خطة التميز والمراجعة الذهبية
قواعد التحقق السريع من الحلول في الامتحان:
- التحقق العددي: تعويض القيمة الناتجة في المعادلة أو المتباينة الأصلية والتأكد من تطابق الطرفين.
- فحص الأطراف: التأكد من دقة فتح أو إغلاق أقواس الفترات عند نقاط التقاطع والفرق.
- تبسيط الجذور: عدم ترك أي جذر في المقام نهائياً في الصورة النهائية للإجابة.
تمرين 1: حجم أسطوانة دائرية قائمة
المسألة: أسطوانة دائرية قائمة ارتفاعها مساوٍ لطول نصف قطر قاعدتها، وحجمها 27π سم³، احسب ارتفاعها ومساحتها الجانبية.
• المعطى: ع = نق.
• حجم الأسطوانة = π نق² ع = π نق² × نق = π نق³ = 27π.
• بالقسمة على π: نق³ = 27 ⇐ نق = ∛27 = 3 سم ⇐ الارتفاع ع = 3 سم.
• المساحة الجانبية = 2 π نق ع = 2 × π × 3 × 3 = 18π سم².
تمرين 2: نصف قطر كرة بمعلومية حجمها
المسألة: كرة حجمها 500/3 π سم³، احسب طول قطرها ومساحة سطحها.
• حجم الكرة = ⁴⁄₃ π نق³ = 500/3 π.
• بقسمة الطرفين على (π/3): 4 نق³ = 500 ⇐ نق³ = 125.
• نق = ∛125 = 5 سم ⇐ طول القطر = 2 × 5 = 10 سم.
• مساحة السطح = 4 π نق² = 4 × π × 5² = 100π سم².
تمرين 3: مسألة متفوقين في المترافقات
المسألة: إذا كان س = (√5 + √3)/(√5 - √3)، ص = (√5 - √3)/(√5 + √3)، فأوجد قيمة س + ص ، س ص ، س² + ص².
• بإنطاق مقام س: س = (√5 + √3)² / (5 - 3) = (8 + 2√15)/2 = 4 + √15.
• ص هي مرافق س: ص = 4 - √15.
• س + ص = (4 + √15) + (4 - √15) = 8.
• س ص = (4 + √15)(4 - √15) = 16 - 15 = 1.
• س² + ص² = (س + ص)² - 2س ص = 8² - 2(1) = 64 - 2 = 62.
تمرين 4: إيجاد مجهول في تقاطع فترتين
المسألة: إذا كان [2، 6] ∩ [أ، 8] = [3، 6]، فأوجد قيمة أ.
• بداية فترة التقاطع هي الأكبر بين بدايتي الفترتين: max(2, أ) = 3.
• إذن يجب أن تكون أ = 3.
تمرين 5: إثبات متطابقة جذور
المسألة: أثبت أن: √(4 + 2√3) - √(4 - 2√3) = 2.
• نلاحظ أن 4 + 2√3 = 3 + 2√3 + 1 = (√3 + 1)².
• إذن √(4 + 2√3) = √3 + 1.
• وبالمثل 4 - 2√3 = (√3 - 1)² ⇐ √(4 - 2√3) = √3 - 1.
• الطرف الأيمن = (√3 + 1) - (√3 - 1) = √3 + 1 - √3 + 1 = 2 (وهو المطلوب).
تمرين 6: مساحة متوازي مستطيلات قاعدته مربعة
المسألة: متوازي مستطيلات قاعدته مربعة طول ضلعها √3 سم، وارتفاعه √12 سم. احسب حجمه ومساحته الكلية.
• مساحة القاعدة = (√3)² = 3 سم².
• الحجم = مساحة القاعدة × ع = 3 × √12 = 3 × 2√3 = 6√3 سم³.
• محيط القاعدة = 4 × √3 = 4√3 سم.
• المساحة الجانبية = محيط القاعدة × ع = 4√3 × 2√3 = 8 × 3 = 24 سم².
• المساحة الكلية = 24 + 2(3) = 24 + 6 = 30 سم².
تمرين 7: متباينة تحوي قيمة مطلقة
المسألة: حل في ح المتباينة: |س| ≤ 3 ومثل الحل بيانياً.
• من تعريف القيمة المطلقة: |س| ≤ 3 تكافئ المتباينة المزدوجة: -3 ≤ س ≤ 3.
• مجموعة الحل كفترة: م.ح = [-3، 3].
• التمثيل: تظليل المسافة بين -3 و 3 بدائرتين مغلقتين.
تمرين 8: تبسيط كسر مركب في ح
المسألة: اختصر لأبسط صورة: (√2 + 1)³ - (√2 - 1)³.
• فك التكعيب: (أ + ب)³ = أ³ + 3أ²ب + 3أ ب² + ب³.
• (√2 + 1)³ = 2√2 + 3(2)(1) + 3(√2)(1) + 1 = 5√2 + 7.
• (√2 - 1)³ = 2√2 - 6 + 3√2 - 1 = 5√2 - 7.
• الطرح = (5√2 + 7) - (5√2 - 7) = 14.
اضغط على أي بطاقة لاكتشاف المعنى الدقيق، واضغط على أيقونة الصوت للاستماع للنطق:
اضغط على الإجابة لتتحقق من فهمك وتكتشف التفسير النموذجي فورياً: