الوحدة الأولى - الدرس 4: العمليات الحسابية على الأعداد الحقيقية والجذور التربيعية والتكعيبية وإنطاق المقام
تشكل العمليات الحسابية على الأعداد الحقيقية حجر الزاوية في التمكين الرياضي للمرحلة الإعدادية، حيث تتكامل خواص الانغلاق والإبدال والتجميع والتوزيع مع قوانين الجذور التربيعية والتكعيبية لتشكيل منظومة جبرية بالغة الدقة. ويتعلم الطالب كيفية جمع وطرح الجذور المتشابهة وضربها وقسمتها، واختزال الجذور الصماء لأبسط صورة تحليلية مثل تحويل جذر ثمانية إلى اثنين جذر اثنين. وتبرز المهارة الرياضية الرفيعة في إنطاق المقام والتخلص من الجذور في المقامات باستخدام فكرة ضرب الكسر في مرافق المقام، مما يحول المقامات الصماء إلى أعداد صحيحة ويسهل المقارنات والحسابات الدقيقة وفق معايير التقييم الوطنية والمنهج الوزاري المعتمد.
1. خواص العمليات في ح
تتمتع عمليتا الجمع والضرب في ح بجميع الخواص الجبرية القياسية:
- الانغلاق: حاصل جمع أو ضرب أي عددين حقيقيين هو عدد حقيقي.
- المحايد: المحايد الجمعي هو
0، والمحايد الضربي هو1. - المعكوس الجمعي: معكوس
أهو-أ(معكوس √3 هو -√3، ومعكوس (1 - √2) هو (√2 - 1)). - المعكوس الضربي: معكوس
أهو1/أ(حيث أ ≠ 0). - التوزيع: توزيع الضرب على الجمع:
أ(ب + جـ) = أ ب + أ جـ.
2. قوانين الجذور التربيعية
لكل أ ≥ 0، ب ≥ 0 تطبق القواعد الأساسية التالية:
| القاعدة | الصيغة الرمزية | مثال توضيحي |
|---|---|---|
| ضرب الجذور | √(أ × ب) = √أ × √ب | √18 = √(9 × 2) = 3√2 |
| قسمة الجذور | √(أ / ب) = √أ / √ب | √(50 / 2) = √25 = 5 |
| مربع الجذر | (√أ)² = أ | (√7)² = 7 |
| إدخال المعامل | جـ √أ = √(جـ² × أ) | 2√3 = √(4 × 3) = √12 |
جمع الجذور المتشابهة: 5√2 + 3√2 = 8√2 | 7√3 - 2√3 = 5√3.
3. قوانين الجذور التكعيبية
تطبق القوانين على جميع الأعداد الحقيقية الموجبة والسالبة:
∛(أ × ب) = ∛أ × ∛ب⇐ مثال:∛54 = ∛(27 × 2) = 3∛2.∛(أ / ب) = ∛أ / ∛ب(ب ≠ 0) ⇐ مثال:∛(16 / 2) = ∛8 = 2.∛(-أ) = -∛أ⇐ مثال:∛(-16) = -∛(8 × 2) = -2∛2.- إدخال المعامل تحت الجذر التكعيبي:
جـ ∛أ = ∛(جـ³ × أ)⇐2 ∛3 = ∛(8 × 3) = ∛24.
4. العددان المترافقان وإنطاق المقام
العددان (√أ + √ب) و (√أ - √ب) يُسميان عددين مترافقين:
- إنطاق مقام حد واحد: ضرب البسط والمقام في الجذر نفسه:
6 / √3 = (6 × √3) / (√3 × √3) = 6√3 / 3 = 2√3. - إنطاق مقام ثنائي (مترافقين): ضرب البسط والمقام في مرافق المقام:
4 / (√5 - 1) = [4(√5 + 1)] / [(√5 - 1)(√5 + 1)] = [4(√5 + 1)] / (5 - 1) = √5 + 1.
تمرين 1: تبسيط مقادير الجذور التربيعية
المسألة: اختصر لأبسط صورة: √50 + √18 - √32.
• √50 = √(25 × 2) = 5√2.
• √18 = √(9 × 2) = 3√2.
• √32 = √(16 × 2) = 4√2.
• المقدار = 5√2 + 3√2 - 4√2 = (5 + 3 - 4)√2 = 4√2.
تمرين 2: تبسيط الجذور التكعيبية
المسألة: اختصر لأبسط صورة: ∛16 + ∛54 - ∛250.
• ∛16 = ∛(8 × 2) = 2∛2.
• ∛54 = ∛(27 × 2) = 3∛2.
• ∛250 = ∛(125 × 2) = 5∛2.
• المقدار = 2∛2 + 3∛2 - 5∛2 = (2 + 3 - 5)∛2 = 0.
تمرين 3: إنطاق مقام حد واحد
المسألة: اجعل المقام عدداً صحيحاً: 10 / √5.
• نضرب حدي الكسر في √5:
• (10 × √5) / (√5 × √5) = 10√5 / 5.
• بالاختصار على 5: الناتج = 2√5.
تمرين 4: إثبات أن عددين مترافقان
المسألة: إذا كان س = 2 + √3 ، ص = 1 / (2 + √3)، فأثبت أن س و ص مترافقان.
• نبسط ص بضرب البسط والمقام في مرافق المقام (2 - √3):
• ص = (2 - √3) / [(2 + √3)(2 - √3)] = (2 - √3) / (4 - 3) = 2 - √3.
• بما أن س = 2 + √3 و ص = 2 - √3، إذن س و ص مترافقان.
تمرين 5: إيجاد قيمة مقدار جبري مترافق
المسألة: إذا كان س = √7 + √3 ، ص = √7 - √3، فأوجد قيمة المقدار س² + 2س ص + ص².
• المقدار هو مربع كامل: س² + 2س ص + ص² = (س + ص)².
• س + ص = (√7 + √3) + (√7 - √3) = 2√7.
• الناتج = (2√7)² = 4 × 7 = 28.
تمرين 6: فك مربع مقدار ثنائي
المسألة: أوجد في أبسط صورة: (√5 - √2)².
• مربع الأول = (√5)² = 5.
• 2 × الأول × الثاني = -2 × √5 × √2 = -2√10.
• مربع الثاني = (√2)² = 2.
• المقدار = 5 - 2√10 + 2 = 7 - 2√10.
تمرين 7: قسمة المقادير غير النسبية
المسألة: احسب: (√24 + √54) ÷ √6.
• نوزع القسمة: (√24 ÷ √6) + (√54 ÷ √6).
• √(24 / 6) + √(54 / 6) = √4 + √9 = 2 + 3 = 5.
تمرين 8: المعكوس الضربي لعدد أصم
المسألة: أوجد المعكوس الضربي للعدد (√5 - 2) واكتبه في أبسط صورة.
• المعكوس الضربي هو: 1 / (√5 - 2).
• بالضرب في المرافق (√5 + 2):
• (√5 + 2) / [(√5 - 2)(√5 + 2)] = (√5 + 2) / (5 - 4) = √5 + 2.
اضغط على أي بطاقة لاكتشاف المعنى الدقيق، واضغط على أيقونة الصوت للاستماع للنطق:
اضغط على الإجابة لتتحقق من فهمك وتكتشف التفسير النموذجي فورياً: