الوحدة الأولى - الدرس 3: الفترات المحدودة وغير المحدودة والعمليات عليها (الاتحاد، التقاطع، الفرق، والمكملة)
تمثل الفترات الأداة الرياضية القياسية للتعبير عن المجموعات الجزئية المتصلة من مجموعة الأعداد الحقيقية ح، حيث تستوعب ملايين النقاط والأعداد التي لا يمكن سردها بين أي حدين حقيقيين نظراً لخاصية الكثافة المطلقة للأعداد الحقيقية. وتتنوع الفترات بين فترات محدودة لها بداية ونهاية معلومتان، سواء كانت مغلقة أو مفتوحة أو نصف مفتوحة، وفترات غير محدودة تمتد بلا نهاية نحو المالانهاية الموجبة أو السالبة للتعبير عن فضاءات الحل الشاملة. وتتجسد براعة الطالب الرياضية في تطبيق العمليات المجموعية الأساسية من اتحاد وتقاطع وفرق ومكملة مستعيناً بتمثيل خط الأعداد المزدوج لتحديد مناطق التقاطع والامتداد بدقة بالغة وفق النماذج الوزارية المعتمدة.
1. الفترات المحدودة
الفترة المحدودة مجموعة جزئية من ح محصورة بين عددين حقيقيين أ، ب (حيث أ < ب):
| نوع الفترة | الرمز | الصفة المميزة | التمثيل البياني |
|---|---|---|---|
| مغلقة | [أ، ب] | {س : أ ≤ س ≤ ب} | دائرتان مغلقتان (مظللتان) |
| مفتوحة | ]أ، ب[ أو (أ، ب) | {س : أ < س < ب} | دائرتان مفتوحتان |
| نصف مغلقة | [أ، ب[ أو [أ، ب) | {س : أ ≤ س < ب} | أ مغلقة و ب مفتوحة |
| نصف مفتوحة | ]أ، ب] أو (أ، ب] | {س : أ < س ≤ ب} | أ مفتوحة و ب مغلقة |
قاعدة جوهرية: يُكتب دائماً الحد الأصغر أولاً في الرمز (أ < ب دائماً).
2. الفترات غير المحدودة
الفترات التي يمتد أحد طرفيها أو كلاهما بلا نهاية، وتُستخدم فيها رموز اللانهاية ∞ و -∞:
[أ، ∞[: {س : س ≥ أ} (تبدأ من أ مغلقة وتتجه يميناً بلا نهاية).]أ، ∞[: {س : س > أ} (تبدأ من أ مفتوحة وتتجه يميناً بلا نهاية).]-∞، ب]: {س : س ≤ ب} (تمتد من أقصى اليسار حتى ب مغلقة).]-∞، ب[: {س : س < ب} (تمتد من أقصى اليسار حتى ب مفتوحة).]-∞، ∞[: تمثل خط الأعداد الحقيقية بأكمله = ح.
3. العمليات الأساسية على الفترات
تُجرى العمليات بالاستعانة بخط الأعداد لتمثيل الفترتين معاً بألوان مختلفة:
- الاتحاد (س ∪ ص): المنطقة المشتركة وغير المشتركة من أقصى اليسار لأقصى اليمين.
- التقاطع (س ∩ ص): منطقة التظليل المشترك بين الفترتين فقط.
- الفرق (س - ص): العناصر الموجودة في س وليست موجودة في ص (يُعكس وضع دائرة الطرف المشترك لص).
- المكملة (س'): باقي خط الأعداد الحقيقية ح خارج الفترة س (س' = ح - س).
4. الفرق بين الفترة والمجموعة والزوج المرتب
| المفهوم | الرمز | المعنى الرياضي |
|---|---|---|
| فترة | [2، 5] | جميع الأعداد الحقيقية من 2 إلى 5 (عدد لا نهائي) |
| مجموعة | {2، 5} | العددان 2 و 5 فقط (عنصران اثنان فقط) |
| زوج مرتب | (2، 5) | إحداثيات نقطة على المستوى الإحداثي (س = 2، ص = 5) |
مثال: [2، 5] - {2، 5} = ]2، 5[ (فتح طرفي الفترة المغلقة).
تمرين 1: الاتحاد والتقاطع
المسألة: إذا كانت س = [-2، 3]، ص = [1، 5[، فأوجد: س ∪ ص ، س ∩ ص.
• نمثل س من -2 إلى 3، وص من 1 إلى 5 على خط الأعداد.
• الاتحاد (من أقصى اليسار إلى أقصى اليمين): س ∪ ص = [-2، 5[.
• التقاطع (منطقة التداخل المشترك): س ∩ ص = [1، 3].
تمرين 2: فرق الفترات
المسألة: لنفس الفترتين س = [-2، 3]، ص = [1، 5[، أوجد: س - ص ، ص - س.
• س - ص: الموجود في س وغير موجود في ص.
• س - ص = [-2، 1[ (لاحظ فتح القوس عند 1 لأن 1 ينتمي إلى ص).
• ص - س: الموجود في ص وغير موجود في س.
• ص - س = ]3، 5[ (لاحظ فتح القوس عند 3 لأن 3 ينتمي إلى س).
تمرين 3: العمليات مع الفترات غير المحدودة
المسألة: إذا كانت أ = ]-∞، 2]، ب = [-1، ∞[، فأوجد أ ∩ ب ، أ ∪ ب.
• منطقة التداخل بينهما تمتد من -1 إلى 2.
• أ ∩ ب = [-1، 2].
• الاتحاد يغطي خط الأعداد بالكامل من -∞ إلى ∞.
• أ ∪ ب = ]-∞، ∞[ = ح.
تمرين 4: مكملة الفترة
المسألة: أوجد مكملة الفترة س = [-3، 4[ بالنسبة إلى ح.
• س' = ح - [-3، 4[.
• المكملة تتكون من شعاعين على جانبي الفترة:
• الشعاع الأيسر: ]-∞، -3[ (مفتوح عند -3 لأن -3 ينتمي لـ س).
• الشعاع الأيمن: [4، ∞[ (مغلق عند 4 لأن 4 لا ينتمي لـ س).
• إذن س' = ]-∞، -3[ ∪ [4، ∞[ = ح - [-3، 4[.
تمرين 5: طرح مجموعة من فترة
المسألة: أوجد في أبسط صورة: [-1، 4] - {-1، 4}.
• الفترة [-1، 4] مغلقة تحتوي على جميع الأعداد من -1 إلى 4 بما فيها الطرفان.
• حذف {-1، 4} يعني استبعاد نقطتي البداية والنهاية فقط.
• ينتج الفترة المفتوحة ]-1، 4[.
تمرين 6: اتحاد فترة مع مجموعة
المسألة: أوجد في أبسط صورة: ]2، 7[ ∪ {2}.
• الفترة ]2، 7[ مفتوحة عند 2 (أي لا تحتوي على 2).
• بإضافة العنصر 2 بالاتحاد، يُغلق الطرف الأيسر.
• الناتج = [2، 7[ (نصف مغلقة).
تمرين 7: تمثيل ح⁺ وح⁻ كفترات
المسألة: اكتب كلاً من ح⁺، ح⁻، ومجموعة الأعداد الحقيقية غير السالبة في صورة فترات.
• الأعداد الحقيقية الموجبة ح⁺ = ]0، ∞[ (الصفر غير مشمول).
• الأعداد الحقيقية السالبة ح⁻ = ]-∞، 0[.
• الأعداد الحقيقية غير السالبة (تشمل الصفر والموجب) = [0، ∞[.
تمرين 8: تقاطع فترة مع الأعداد الطبيعية
المسألة: أوجد: [-2، 3[ ∩ ط.
• مجموعة الأعداد الطبيعية ط = {0، 1، 2، 3، ...}.
• الفترة [-2، 3[ تحتوي على الأعداد الصحيحة: -2، -1، 0، 1، 2 (3 غير مشمول).
• الأعداد الطبيعية المشتركة بينهما هي: {0، 1، 2}.
اضغط على أي بطاقة لاكتشاف المعنى الدقيق، واضغط على أيقونة الصوت للاستماع للنطق:
اضغط على الإجابة لتتحقق من فهمك وتكتشف التفسير النموذجي فورياً: