الدرس الثاني: المقدار المميز وتصنيف جذور المعادلة التربيعية
يُعد المقدار المميز حجر الزاوية في التحليل الرياضي لمعادلات الدرجة الثانية ذات المتغير الواحد. من خلال حساب قيمة المقدار المميز دلتا = ب² - 4 أ جـ دون الحاجة لحل المعادلة حلاً كاملاً، يستطيع الطالب تحديد الطبيعة الجبرية والهندسية لجذري المعادلة بدقة تامة. يتفرع سلوك الجذور إلى ثلاث حالات رئيسية: جذران حقيقيان مختلفان حين يكون المميز موجباً، أو جذران حقيقيان متساويان حين ينعدم المميز، أو جذران مركبان غير حقيقيين مترافقان حين يكون المميز سالباً. يرتبط هذا التصنيف مباشرة بعدد نقاط تقاطع المنحنى البياني للدالة التربيعية مع محور السينات، مما يمثل جسراً رائعاً يربط بين التحليل الجبري والهندسة التحليلية وفق المعايير الوزارية المعتمدة.
1. صيغة المميز وتحديد نوع الجذور
في المعادلة التربيعية أ س² + ب س + جـ = 0 (حيث أ ≠ 0)، يسمى المقدار ب² - 4 أ جـ بالمميز (ويرمز له بالرمز Δ):
- الحالة الأولى (Δ > 0): المميز موجب ⇐ للمعادلة جذران حقيقيان مختلفان. بيانيا: المنحنى يقطع محور السينات في نقطتين مختلفتين.
- الحالة الثانية (Δ = 0): المميز صفر ⇐ للمعادلة جذران حقيقيان متساويان (جذر مكرر س = -ب / 2أ). بيانيا: المنحنى يمس محور السينات في نقطة الرأس.
- الحالة الثالثة (Δ < 0): المميز سالب ⇐ للمعادلة جذران مركبان غير حقيقيين مترافقان. بيانيا: المنحنى لا يقطع ولا يمس محور السينات نهائياً.
2. حالة الجذور النسبية والتطبيقات الهندسية
شرط الجذور النسبية: إذا كانت معاملات المعادلة أ، ب، جـ أعداداً نسبية، وكان المميز Δ = ب² - 4 أ جـ مربعاً كاملاً (مثل 0، 1، 4، 9، 16، 25...)، فإن جذري المعادلة يكونان عددين نسبيين.
الربط البياني بين المنحنى ومحور السينات:
- إذا كان
أ > 0، فالمنحنى مفتوح لأعلى؛ وإذا كانأ < 0، فالمنحنى مفتوح لأسفل. - عندما
Δ < 0وأ > 0، يكون المنحنى بالكامل فوق محور السينات وقيم د(س) موجبة دائماً. - عندما
Δ < 0وأ < 0، يكون المنحنى بالكامل تحت محور السينات وقيم د(س) سالبة دائماً.
تمرين 1: تحديد نوع الجذور مباشرة
المسألة: حدد نوع جذري المعادلة س² - 6س + 9 = 0 دون حلها.
• أ = 1، ب = -6، جـ = 9.
• المميز =
ب² - 4 أ جـ = (-6)² - 4(1)(9) = 36 - 36 = 0.• بما أن المميز = 0، إذن للمعادلة جذران حقيقيان متساويان (س = 3).
تمرين 2: جذور مركبة غير حقيقية
المسألة: حدد نوع جذري المعادلة 3س² - 5س + 7 = 0.
• أ = 3، ب = -5، جـ = 7.
• المميز =
(-5)² - 4(3)(7) = 25 - 84 = -59.• بما أن المميز < 0، إذن للمعادلة جذران مركبان غير حقيقيين مترافقان.
تمرين 3: إيجاد الثابت لجذرين متساويين
المسألة: أوجد قيمة ك التي تجعل جذري المعادلة س² - 4س + ك = 0 متساويين.
• شرط تساوي الجذرين هو المميز = 0.
•
ب² - 4 أ جـ = (-4)² - 4(1)(ك) = 16 - 4ك = 0.•
4ك = 16 ⇐ ك = 4.
تمرين 4: فترة الثابت لجذرين حقيقيين مختلفين
المسألة: أوجد قيم ك التي تجعل للمعادلة س² + 6س + ك = 0 جذرين حقيقيين مختلفين.
• شرط الجذرين الحقيقيين المختلفين هو المميز > 0.
•
6² - 4(1)(ك) > 0 ⇐ 36 - 4ك > 0 ⇐ 4ك < 36 ⇐ ك < 9.• إذن ك تنتمي للفترة المفتوحة
]-∞ ، 9[.
تمرين 5: إثبات أن الجذرين نسبيان
المسألة: بين أن جذري المعادلة 2س² - 7س + 3 = 0 نسبيان.
• المعاملات: أ = 2، ب = -7، جـ = 3 (أعداد نسبية).
• المميز =
(-7)² - 4(2)(3) = 49 - 24 = 25.• بما أن 25 مربع كامل (5²)، إذن جذرا المعادلة عددان نسبيان وهما (3 ، 1/2).
تمرين 6: تماس المنحنى مع محور السينات
المسألة: أوجد قيمة م التي تجعل منحنى الدالة د(س) = س² - 8س + م يمس محور السينات.
• تماس المنحنى مع محور السينات يعني وجود نقطة تقاطع وحيدة، أي أن المعادلة د(س) = 0 لها جذران متساويان.
• المميز = 0 ⇐
(-8)² - 4(1)(م) = 64 - 4م = 0 ⇐ 4م = 64 ⇐ م = 16.
تمرين 7: إثبات طبيعة الجذور جبرياً
المسألة: أثبت أنه لأي قيمة حقيقية للعدد أ، يكون جذرا المعادلة س² - 2أ س + أ² - 4 = 0 حقيقيين مختلفين.
• المميز =
(-2أ)² - 4(1)(أ² - 4) = 4أ² - 4أ² + 16 = 16.• نلاحظ أن المميز = 16 وهو موجب دائماً ومستقل عن قيمة أ.
• إذن الجذران دائماً حقيقيان مختلفان لجميع قيم أ الحقيقية.
تمرين 8: انعدام تقاطع المنحنى
المسألة: أوجد شرط الثابت جـ لكي لا يتقاطع منحنى د(س) = 2س² + 4س + جـ مع محور السينات.
• عدم التقاطع يعني المميز < 0 (جذور مركبة غير حقيقية).
•
4² - 4(2)(جـ) < 0 ⇐ 16 - 8جـ < 0 ⇐ 8جـ > 16 ⇐ جـ > 2.• إذن الشرط هو
جـ ∈ ]2 ، ∞[.
اضغط على أي بطاقة لاكتشاف المعنى الدقيق، واضغط على أيقونة الصوت للاستماع للنطق:
اضغط على الإجابة لتتحقق من فهمك وتكتشف التفسير النموذجي فورياً: