الرياضيات - الصف الأول الثانوي
الوحدة الأولى: الجبر والعلاقات والدوال
الدرس الخامس: حل متباينات الدرجة الثانية وتمثيل فترات الحل في ح
انقر على أي جملة للاستماع إليها مباشرة 👆
يمثل حل متباينات الدرجة الثانية في مجهول واحد التطبيق الرياضي المباشر والأكثر أهمية لبحث إشارة الدالة التربيعية. بدلاً من الاقتصار على إيجاد قيم س التي تحقق المعادلة، يسعى الطالب هنا إلى تحديد مجموعات وفترات الأعداد الحقيقية التي تحقق متباينة معينة كأن يكون المقدار موجباً تماماً أس² + ب س + جـ > 0، أو سالباً، أو غير سالب. تنبثق المنهجية الصارمة لحل هذه المتباينات من خلال تحويلها أولاً إلى الصورة الصفرية القياسية، ثم إيجاد الجذور المرتبطة بالمعادلة وتحديد إشارة المقدار على خط الأعداد الحقيقية، وأخيراً استخلاص فترة الحل بدقة فائقة سواء أكانت فترات مفتوحة، أم مغلقة، أم ح فرق فترات معينة وفق المعايير الوزارية الرسمية.
المحطة 2
شرح الدرس والمفاهيم الأساسية
1. خطوات الحل المنهجية للمتباينة التربيعية
- التحويل للصورة الصفرية: نجعل جميع الحدود في طرف واحد بحيث تصبح المتباينة على صورة
أ س² + ب س + جـ > 0(أو ≥ 0 ، < 0 ، ≤ 0). - المعادلة المناظرة: نضع
د(س) = أ س² + ب س + جـ = 0ونوجد جذورها الحقيقية إن وجدت (ل ، م). - بحث الإشارة على خط الأعداد: نمثل الجذور ونحدد إشارة د(س) (عكس أ بين الجذرين، ومثل أ خارجهما).
- كتابة مجموعة الحل: نستخرج الفترات التي تحقق علامة التباين المطلوبة بدقة (مفتوحة للمتباينة الصارمة، ومغلقة للمتباينة التي تتضمن يساوي).
2. الحالات الخاصة لمجموعة الحل
| حالة المميز | المتباينة (بفرض أ > 0) | مجموعة الحل في ح |
|---|---|---|
| المميز > 0 | د(س) > 0 | ح - [ل ، م] |
| المميز > 0 | د(س) < 0 | ]ل ، م[ |
| المميز = 0 | (س - ل)² > 0 | ح - {ل} |
| المميز = 0 | (س - ل)² ≤ 0 | {ل} (نقطة وحيدة) |
| المميز < 0 | د(س) > 0 | ح (جميع الأعداد) |
| المميز < 0 | د(س) < 0 | ∅ (المجموعة الخالية) |
المحطة 3
التطبيقات والأنشطة العملية
تمرين 1: متباينة أصغر من الصفر
المسألة: أوجد في ح مجموعة حل المتباينة: س² - 7س + 10 < 0.
الحل النموذجي:
• المعادلة المناظرة: س² - 7س + 10 = 0 ⇐ (س - 2)(س - 5) = 0 ⇐ س = 2 أو س = 5.
• معامل س² موجب (+1).
• الإشارة بين الجذرين سالبة (< 0).
• إذن مجموعة الحل هي الفترة المفتوحة:
• المعادلة المناظرة: س² - 7س + 10 = 0 ⇐ (س - 2)(س - 5) = 0 ⇐ س = 2 أو س = 5.
• معامل س² موجب (+1).
• الإشارة بين الجذرين سالبة (< 0).
• إذن مجموعة الحل هي الفترة المفتوحة:
]2 ، 5[.
تمرين 2: متباينة أكبر من أو يساوي الصفر
المسألة: أوجد في ح مجموعة حل: س² - 4 ≥ 0.
الحل النموذجي:
• الجذور: س² - 4 = 0 ⇐ س = ± 2.
• المقدار موجب أو صفر خارج الجذرين ومع أطرافهما.
• إذن مجموعة الحل هي:
• الجذور: س² - 4 = 0 ⇐ س = ± 2.
• المقدار موجب أو صفر خارج الجذرين ومع أطرافهما.
• إذن مجموعة الحل هي:
ح - ]-2 ، 2[.
تمرين 3: متباينة بمعامل سالب
المسألة: أوجد مجموعة حل: -س² + 4س - 3 > 0.
الحل النموذجي:
• نضرب في (-1) ونعكس علامة التباين:
• نحلل: (س - 1)(س - 3) < 0 ⇐ الجذور هي 1 و 3.
• بما أن معامل س² أصبح موجباً، فالمقدار سالب بين الجذرين.
• مجموعة الحل هي:
• نضرب في (-1) ونعكس علامة التباين:
س² - 4س + 3 < 0.• نحلل: (س - 1)(س - 3) < 0 ⇐ الجذور هي 1 و 3.
• بما أن معامل س² أصبح موجباً، فالمقدار سالب بين الجذرين.
• مجموعة الحل هي:
]1 ، 3[.
تمرين 4: مربع كامل أصغر من أو يساوي الصفر
المسألة: أوجد في ح مجموعة حل: س² - 6س + 9 ≤ 0.
الحل النموذجي:
• المتباينة هي:
• المربع الكامل لا يمكن أن يكون سالباً قطعي، فيتبقى فقط احتمال التساوي مع الصفر.
• (س - 3)² = 0 ⇐ س = 3.
• إذن مجموعة الحل هي المجموعة ذات العنصر الوحيد:
• المتباينة هي:
(س - 3)² ≤ 0.• المربع الكامل لا يمكن أن يكون سالباً قطعي، فيتبقى فقط احتمال التساوي مع الصفر.
• (س - 3)² = 0 ⇐ س = 3.
• إذن مجموعة الحل هي المجموعة ذات العنصر الوحيد:
{3}.
تمرين 5: متباينة بمميز سالب
المسألة: أوجد في ح مجموعة حل: س² + 2س + 7 > 0.
الحل النموذجي:
• المميز =
• بما أن المميز سالب ومعامل س² موجب (1 > 0)، فإن المقدار موجب دائماً لجميع قيم س.
• إذن مجموعة الحل هي:
• المميز =
2² - 4(1)(7) = 4 - 28 = -24 < 0.• بما أن المميز سالب ومعامل س² موجب (1 > 0)، فإن المقدار موجب دائماً لجميع قيم س.
• إذن مجموعة الحل هي:
ح.
تمرين 6: مستحيلة الحل في ح
المسألة: أوجد في ح مجموعة حل: س² + 5 < 0.
الحل النموذجي:
• س² ≥ 0 لأي عدد حقيقي س ⇐ س² + 5 ≥ 5 > 0 دائماً.
• لا يمكن للمقدار أن يكون سالباً في ح.
• إذن مجموعة الحل هي:
• س² ≥ 0 لأي عدد حقيقي س ⇐ س² + 5 ≥ 5 > 0 دائماً.
• لا يمكن للمقدار أن يكون سالباً في ح.
• إذن مجموعة الحل هي:
∅ (المجموعة الخالية).
تمرين 7: متباينة تحتاج لتبسيط
المسألة: أوجد في ح مجموعة حل المتباينة: س(س - 3) ≤ 4.
الحل النموذجي:
• نفك القوس وننقل للطرف الأيمن:
• نحلل: (س - 4)(س + 1) ≤ 0 ⇐ الجذور هي -1 و 4.
• المقدار سالب أو صفر بين الجذرين مع الأطراف.
• إذن مجموعة الحل هي الفترة المغلقة:
• نفك القوس وننقل للطرف الأيمن:
س² - 3س - 4 ≤ 0.• نحلل: (س - 4)(س + 1) ≤ 0 ⇐ الجذور هي -1 و 4.
• المقدار سالب أو صفر بين الجذرين مع الأطراف.
• إذن مجموعة الحل هي الفترة المغلقة:
[-1 ، 4].
تمرين 8: متباينة كسرية تؤول لتربيعية
المسألة: أوجد في ح مجموعة حل: (س² - 9) / (س² + 1) < 0.
الحل النموذجي:
• نلاحظ أن المقام (س² + 1) موجب دائماً لجميع قيم س ∈ ح.
• إذن إشارة الكسر تتحدد بالبسط فقط:
• الجذور هي -3 و 3، والمقدار سالب بين الجذرين.
• إذن مجموعة الحل هي:
• نلاحظ أن المقام (س² + 1) موجب دائماً لجميع قيم س ∈ ح.
• إذن إشارة الكسر تتحدد بالبسط فقط:
س² - 9 < 0.• الجذور هي -3 و 3، والمقدار سالب بين الجذرين.
• إذن مجموعة الحل هي:
]-3 ، 3[.
المحطة 4
قاموس المفردات والمصطلحات الناطق
اضغط على أي بطاقة لاكتشاف المعنى الدقيق، واضغط على أيقونة الصوت للاستماع للنطق:
المتباينة التربيعية
اضغط لاكتشاف الدلالة والشرح 👆
جملة رياضية تتضمن متغيراً من الدرجة الثانية وعلامة تباين
الصورة الصفرية
اضغط لاكتشاف الدلالة والشرح 👆
كتابة المتباينة بجمع كافة الحدود في طرف والطرف الآخر صفراً
مجموعة الحل في ح
اضغط لاكتشاف الدلالة والشرح 👆
مجموعة الأعداد الحقيقية التي تحقق صحة المتباينة المفروضة
الفترة المفتوحة
اضغط لاكتشاف الدلالة والشرح 👆
فترة لا تحتوي على نقطتي البداية والنهاية وتناسب التباين الصارم
الفترة المغلقة
اضغط لاكتشاف الدلالة والشرح 👆
فترة تحتوي على نقطتي البداية والنهاية وتناسب علامات التباين مع يساوي
ح فرق الفترة المغلقة
اضغط لاكتشاف الدلالة والشرح 👆
التعبير الرمزي ح - [أ ، ب] لتمثيل ما يقع خارج الجذرين مفتوحاً
ح فرق الفترة المفتوحة
اضغط لاكتشاف الدلالة والشرح 👆
التعبير الرمزي ح - ]أ ، ب[ لتمثيل ما يقع خارج الجذرين مغلقاً
المجموعة الخالية فاي
اضغط لاكتشاف الدلالة والشرح 👆
مجموعة الحل عندما تستحيل المتباينة ولا يوجد أي عدد يحققها
المعادلة المناظرة
اضغط لاكتشاف الدلالة والشرح 👆
المعادلة الناتجة عن استبدال علامة التباين بعلامة التساوي لإيجاد الجذور
المقدار المربع الكامل
اضغط لاكتشاف الدلالة والشرح 👆
مقدار على صورة (س - ك)² وقيمته دائماً أكبر من أو تساوي صفراً
الضرب في سالب
اضغط لاكتشاف الدلالة والشرح 👆
قاعدة رياضية تقتضي عكس اتجاه علامة التباين عند الضرب أو القسمة على سالب
النمذجة الرياضية للمتباينات
اضغط لاكتشاف الدلالة والشرح 👆
تحويل مشكلات القياس والحدود الهندسية إلى متباينات وحلها
حل النقطة الوحيدة
اضغط لاكتشاف الدلالة والشرح 👆
حالة المتباينة التي لا يحققها سوى جذر مكرر واحد مثل (س-أ)² ≤ 0
المتباينات المركبة
اضغط لاكتشاف الدلالة والشرح 👆
دمج متباينتين لإيجاد منطقة الحل المشتركة بتقاطع الفترات
المحطة 5
بنك الأسئلة والتقييم الذكي الفوري
اضغط على الإجابة لتتحقق من فهمك وتكتشف التفسير النموذجي فورياً:
1
مجموعة حل المتباينة س² - 9 < 0 في ح هي:
2
مجموعة حل المتباينة س² - 4 ≥ 0 في ح هي:
3
مجموعة حل المتباينة (س - 5)² ≤ 0 في ح هي:
4
مجموعة حل المتباينة س² + 16 > 0 في ح هي:
5
مجموعة حل المتباينة س² + 1 < 0 في ح هي:
6
مجموعة حل المتباينة س² - 6س + 9 > 0 في ح هي:
7
مجموعة حل المتباينة س(س - 2) ≤ 0 في ح هي:
8
المتباينة -س² + 2س - 1 ≥ 0 حلها في ح هو:
9
إذا كانت مجموعة حل المتباينة س² - ب س + 12 < 0 هي ]3 ، 4[، فإن ب تساوي:
أحسنت يا بطل! اكتملت محطات الدرس بنجاح.