الدرس السادس: المراجعة الشاملة والتطبيقات المتقدمة في الجبر والعلاقات
تمثل هذه المراجعة الشاملة التتويج الأكاديمي والتحليلي لموضوعات الوحدة الأولى في الجبر والعلاقات والدوال لطلاب الصف الأول الثانوي. تتكامل هنا المفاهيم الأساسية للأعداد المركبة وقوى ت الدورية، مع آليات تحليل المميز، وروابط مبرهنة فييت في مجموع وحاصل ضرب الجذور، وبحث الإشارة الدقيق للدوال ومتباينات الدرجة الثانية. نستعرض في هذه المحطة المتقدمة أنماطاً من المسائل المركبة التي تجمع بين أكثر من فكرة، وتتطلب مهارات التفكير العليا وربط المتغيرات، تمهيداً للتعامل الاحترافي مع بنك الأسئلة والتقييمات الرسمية الشاملة وفق المعايير الوزارية الوطنية المعتمدة.
خارطة المفاهيم التراكمية لجبر الصف الأول الثانوي
1. الأعداد المركبة ك
ت² = -1، دورية قوى ت، الصورة القياسية أ + ب ت، العددان المترافقان وقسمة المركبات.
2. المميز (Δ)
ب² - 4أجـ: موجب (حقيقيان مختلفان)، صفر (حقيقيان متساويان)، سالب (مركبان غير حقيقيين).
3. علاقة الجذور بالمعاملات
ل+م = -ب/أ، ل م = جـ/أ، تكوين المعادلات س² - (مجموع)س + (ضرب) = 0، معكوس جمعي وضربي.
4. الإشارة والمتباينات
بحث إشارة الثابتة والخطية والتربيعية، حل أس² + ب س + جـ ≷ 0 وتمثيل فترات الحل على خط الأعداد.
مسألة تفكير 1: الفرق بين الجذرين
المسألة: إذا كان أحد جذري المعادلة س² - (ك + 1)س + 12 = 0 يزيد عن الآخر بمقدار 1، أوجد ك.
• نفرض الجذرين هما ل ، ل + 1.
• حاصل ضربهما:
ل(ل + 1) = 12 ⇐ ل² + ل - 12 = 0 ⇐ (ل + 4)(ل - 3) = 0.• إما ل = 3 (فالجذران 3 ، 4) والمجموع = 7 = ك + 1 ⇐
ك = 6.• أو ل = -4 (فالجذران -4 ، -3) والمجموع = -7 = ك + 1 ⇐
ك = -8.• إذن ك ∈ {6 ، -8}.
مسألة تفكير 2: ثوابت تساوي الجذور
المسألة: أوجد قيم م التي تجعل جذري س² - 2(م + 1)س + 2م + 5 = 0 متساويين.
• المميز = 0 ⇐
[-2(م + 1)]² - 4(1)(2م + 5) = 0.•
4(م² + 2م + 1) - 8م - 20 = 0 ⇐ 4م² + 8م + 4 - 8م - 20 = 0.•
4م² - 16 = 0 ⇐ م² = 4 ⇐ م = ± 2.
مسألة تفكير 3: مجموع المكعبين للجذور
المسألة: إذا كان ل، م جذري س² - 3س + 1 = 0، أوجد قيمة ل³ + م³.
• ل + م = 3 ، ل م = 1.
• متطابقة المكعبين:
ل³ + م³ = (ل + م)[(ل + م)² - 3 ل م].• =
3 [3² - 3(1)] = 3 [9 - 3] = 3 × 6 = 18.
مسألة تفكير 4: مجال دالة الجذر التربيعي
المسألة: أوجد في ح مجال تعريف الدالة: د(س) = √(س² - 5س - 6).
• شرط تعريف الجذر التربيعي هو أن يكون المقدار تحت الجذر غير سالب:
س² - 5س - 6 ≥ 0.• نحلل: (س - 6)(س + 1) ≥ 0 ⇐ الجذور -1 و 6.
• المقدار غير سالب خارج الجذرين مع النقطتين.
• إذن المجال هو:
ح - ]-1 ، 6[.
مسألة تفكير 5: متباينة القيمة المطلقة التربيعية
المسألة: حل في ح المتباينة: |س|² - 5|س| + 6 < 0.
• نضع ص = |س|:
ص² - 5ص + 6 < 0 ⇐ (ص - 2)(ص - 3) < 0 ⇐ 2 < ص < 3.• إذن
2 < |س| < 3.• مجموعة الحل هي اتحاد الفترتين:
]-3 ، -2[ ∪ ]2 ، 3[.
مسألة تفكير 6: جذر مركب لمعادلة حقيقية
المسألة: إذا كان س = 2 + 3ت أحد جذري المعادلة س² + ب س + جـ = 0 (ب، جـ ∈ ح)، أوجد ب و جـ.
• بما أن المعاملات حقيقية، فإن الجذر الآخر هو المرافق:
2 - 3ت.• مجموع الجذرين =
(2 + 3ت) + (2 - 3ت) = 4 = -ب ⇐ ب = -4.• حاصل ضربهما =
(2 + 3ت)(2 - 3ت) = 2² + 3² = 13 = جـ ⇐ جـ = 13.
مسألة تفكير 7: جذر ضعف الآخر
المسألة: أوجد قيمة ك الموجبة إذا كان أحد جذري 2س² - 6س + ك = 0 ضعف الجذر الآخر.
• نفرض الجذرين هما ل ، 2ل.
• مجموعهما:
ل + 2ل = 3ل = -(-6)/2 = 3 ⇐ ل = 1.• الجذران هما 1 و 2.
• حاصل ضربهما:
1 × 2 = ك / 2 ⇐ ك = 4.
مسألة تفكير 8: قوى ت في متتابعة
المسألة: أوجد القيمة العددية للمقدار: ت + ت² + ت³ + ... + ت¹⁰⁰.
• مجموع كل 4 قوى متتالية يساوي صفراً:
ت + ت² + ت³ + ت⁴ = ت - 1 - ت + 1 = 0.• عدد الحدود 100 وهو يقبل القسمة على 4 تماماً (25 مجموعة رباعية).
• إذن الناتج النهائي =
صفر.
اضغط على أي بطاقة لاكتشاف المعنى الدقيق، واضغط على أيقونة الصوت للاستماع للنطق:
اضغط على الإجابة لتتحقق من فهمك وتكتشف التفسير النموذجي فورياً: