الدرس الثالث: مجموع وحاصل ضرب جذري المعادلة وتكوينها
تُجسد مبرهنة فييت والعلاقة بين جذري معادلة الدرجة الثانية ومعاملات حدودها قمة التناغم الجبري في الرياضيات. فبدلاً من اللجوء لحل المعادلة بصورة تفصيلية، تتيح لنا هذه القواعد الذهبية استنتاج مجموع الجذرين وحاصل ضربهما مباشرة من المعاملات: مجموع الجذرين يساوي سالب معامل س مقسوماً على معامل س² (ل + م = -ب / أ)، وحاصل ضربهما يساوي الحد المطلق مقسوماً على معامل س² (ل × م = جـ / أ). تُمكننا هذه الروابط من إعادة بناء وتكوين المعادلات التربيعية الجديدة، وحساب المتطابقات الجبرية الشهيرة مثل ل² + م²، واستنتاج شروط الخصائص المميزة كالمعكوس الجمعي عندما ينعدم معامل س، أو المعكوس الضربي عندما يتساوى معامل س² مع الحد المطلق.
1. قانونا مجموع الجذرين وحاصل ضربهما
إذا كان ل، م هما جذري المعادلة أ س² + ب س + جـ = 0 (أ ≠ 0)، فإن:
حاصل ضرب الجذرين: ل × م = جـ / أ = (الحد المطلق) / (معامل س²)
الحالات والخصائص الذهبية:
- أحد الجذرين معكوس جمعي للآخر: يتحقق هذا الشرط إذا وفقط إذا كان
ب = 0(معامل س = 0)، لأن ل + (-ل) = 0. - أحد الجذرين معكوس ضربي للآخر: يتحقق هذا الشرط إذا وفقط إذا كان
أ = جـ(معامل س² = الحد المطلق)، لأن ل × (1/ل) = 1.
2. تكوين المعادلة التربيعية والمتطابقات
تكوين المعادلة: المعادلة التربيعية التي جذراها ل، م هي:
س² - (ل + م) س + (ل م) = 0
المتطابقات الجبرية المساعدة الأكثر استخداماً:
ل² + م² = (ل + م)² - 2 ل م(ل - م)² = (ل + م)² - 4 ل م⇐|ل - م| = √(المميز) / |أ|1/ل + 1/م = (ل + م) / (ل م)ل³ + م³ = (ل + م)[(ل + م)² - 3 ل م]
تمرين 1: حساب المجموع والضرب مباشرة
المسألة: دون حل المعادلة 3س² - 12س + 7 = 0، أوجد مجموع وحاصل ضرب جذريها.
• أ = 3، ب = -12، جـ = 7.
• مجموع الجذرين =
-ب / أ = -(-12) / 3 = 12 / 3 = 4.• حاصل ضرب الجذرين =
جـ / أ = 7 / 3.
تمرين 2: تكوين المعادلة من الجذور
المسألة: كون المعادلة التربيعية التي جذراها (3 + √2) و (3 - √2).
• مجموع الجذرين =
(3 + √2) + (3 - √2) = 6.• حاصل ضرب الجذرين =
(3 + √2)(3 - √2) = 3² - (√2)² = 9 - 2 = 7.• المعادلة هي:
س² - 6س + 7 = 0.
تمرين 3: تطبيق متطابقة المربعات
المسألة: إذا كان ل، م جذري المعادلة س² - 5س + 3 = 0، أوجد قيمة ل² + م².
• ل + م = 5 ، ل م = 3.
• نعوض في المتطابقة:
ل² + م² = (ل + م)² - 2ل م.• =
5² - 2(3) = 25 - 6 = 19.
تمرين 4: شرط المعكوس الجمعي
المسألة: أوجد قيمة ك التي تجعل أحد جذري س² - (ك - 4)س + 9 = 0 معكوساً جمعياً للآخر.
• شرط المعكوس الجمعي هو أن يكون معامل س مساوياً للصفر:
ب = 0.•
-(ك - 4) = 0 ⇐ ك - 4 = 0 ⇐ ك = 4.
تمرين 5: شرط المعكوس الضربي
المسألة: أوجد قيمة أ التي تجعل أحد جذري (أ - 2)س² + 7س + 5 = 0 معكوساً ضربياً للآخر.
• شرط المعكوس الضربي هو:
معامل س² = الحد المطلق (أ = جـ).•
أ - 2 = 5 ⇐ أ = 5 + 2 = 7.
تمرين 6: تكوين معادلة ذات جذور مضاعفة
المسألة: إذا كان ل، م جذري س² - 3س - 4 = 0، كون المعادلة التي جذراها 2ل ، 2م.
• من المعادلة الأولى: ل + م = 3 ، ل م = -4.
• مجموع الجذرين الجديدين =
2ل + 2م = 2(ل + م) = 2(3) = 6.• حاصل ضرب الجذرين الجديدين =
(2ل)(2م) = 4(ل م) = 4(-4) = -16.• المعادلة المطلوبة:
س² - 6س - 16 = 0.
تمرين 7: مجموع المقلوبات
المسألة: إذا كان ل، م جذري 2س² - 6س + 1 = 0، أوجد قيمة 1/ل + 1/م.
• ل + م = -(-6)/2 = 3 ، ول م = 1/2.
• المقدار
1/ل + 1/م = (ل + م) / (ل م) = 3 / (1/2) = 6.
تمرين 8: الفرق المطلق بين الجذرين
المسألة: أوجد القيمة العددية للمقدار |ل - م| لجذري المعادلة س² - 7س + 10 = 0.
• ل + م = 7 ، ل م = 10.
•
(ل - م)² = (ل + م)² - 4 ل م = 7² - 4(10) = 49 - 40 = 9.•
|ل - م| = √9 = 3 (أو من الجذور المباشرة 5 - 2 = 3).
اضغط على أي بطاقة لاكتشاف المعنى الدقيق، واضغط على أيقونة الصوت للاستماع للنطق:
اضغط على الإجابة لتتحقق من فهمك وتكتشف التفسير النموذجي فورياً: