الدرس الرابع: بحث إشارة الدوال الجبرية وتطبيقاتها بيانيا وجبريا
يُعد بحث إشارة الدوال الجبرية أحد المفاهيم الجوهرية والمهارات التحليلية الرفيعة في منهج الرياضيات بالمرحلة الثانوية. يهدف بحث الإشارة إلى تحديد الفترات الزمنية أو العددية على خط الأعداد الحقيقية التي تكون عندها قيمة الدالة د(س) موجبة تماماً (د(س) > 0)، أو سالبة تماماً (د(س) < 0)، أو منعدمة مساوية للصفر عند أصفار الدالة. نتدرج منهجياً في هذا الدرس عبر دراسة إشارة الدالة الثابتة د(س) = جـ، ثم الدالة الخطية من الدرجة الأولى د(س) = ب س + جـ، وصولاً إلى الدالة التربيعية د(س) = أ س² + ب س + جـ، حيث تتناغم إشارة المميز مع موقع المنحنى بالنسبة لمحور السينات لتحديد سلوك الدالة بدقة بصرية وجبرية.
1. إشارة الدالة الثابتة
الدالة: د(س) = جـ (حيث جـ ثابت حقيقي لا يساوي صفراً):
- إذا كانت
د(س) = 5فإنها موجبة على ح. - إذا كانت
د(س) = -3فإنها سالبة على ح.
2. إشارة الدالة الخطية
الدالة: د(س) = ب س + جـ (حيث ب ≠ 0):
1. نوجد صفر الدالة: ب س + جـ = 0 ⇐ س = -جـ / ب.
2. على خط الأعداد:
• لليسار (س < -جـ/ب): عكس إشارة ب
3. إشارة الدالة التربيعية
الدالة: د(س) = أ س² + ب س + جـ بحسب المميز:
- المميز > 0 (جذران ل < م):
• بين الجذرين ]ل ، م[: عكس إشارة أ.
• خارج الجذرين ح - [ل ، م]: نفس إشارة أ. - المميز = 0 (جذر وحيد ل):
• د(ل) = 0، وعلى ح - {ل}: نفس إشارة أ. - المميز < 0 (لا جذور في ح):
• نفس إشارة أ دائماً لجميع س ∈ ح.
تمرين 1: إشارة دالة خطية
المسألة: ابحث إشارة الدالة د(س) = 2س - 6.
• نضع د(س) = 0 ⇐ 2س - 6 = 0 ⇐ 2س = 6 ⇐ س = 3.
• معامل س هو 2 (موجب).
• د(س) = 0 عندما
س = 3.• د(س) موجبة عندما
س ∈ ]3 ، ∞[ (نفس إشارة معامل س).• د(س) سالبة عندما
س ∈ ]-∞ ، 3[ (عكس إشارة معامل س).
تمرين 2: إشارة دالة خطية بمعامل سالب
المسألة: ابحث إشارة الدالة د(س) = 5 - س.
• صفر الدالة: 5 - س = 0 ⇐ س = 5.
• معامل س هو -1 (سالب).
• د(س) = 0 عند س = 5.
• د(س) سالبة عندما
س ∈ ]5 ، ∞[ (نفس إشارة معامل س).• د(س) موجبة عندما
س ∈ ]-∞ ، 5[ (عكس إشارة معامل س).
تمرين 3: إشارة تربيعية بمميز موجب
المسألة: ابحث إشارة الدالة د(س) = س² - 5س + 6.
• نحلل:
(س - 2)(س - 3) = 0 ⇐ س = 2 أو س = 3.• معامل س² هو 1 (موجب).
• د(س) = 0 عندما
س ∈ {2 ، 3}.• د(س) سالبة (عكس أ) في الفترة المفتوحة
]2 ، 3[.• د(س) موجبة (مثل أ) في
ح - [2 ، 3].
تمرين 4: إشارة تربيعية بمميز منعدم
المسألة: ابحث إشارة الدالة د(س) = -س² + 4س - 4.
• نأخذ سالب عامل مشترك:
-(س² - 4س + 4) = -(س - 2)² = 0 ⇐ س = 2.• المميز = 4² - 4(-1)(-4) = 16 - 16 = 0.
• د(س) = 0 عند س = 2.
• د(س) سالبة دائماً لجميع قيم
س ∈ ح - {2} لأن معامل س² سالب (-1).
تمرين 5: إشارة تربيعية بمميز سالب
المسألة: ابحث إشارة الدالة د(س) = س² + 2س + 5.
• المميز =
2² - 4(1)(5) = 4 - 20 = -16 < 0.• لا توجد جذور حقيقية (المنحنى لا يقطع محور السينات).
• بما أن معامل س² موجب (أ = 1 > 0)، فإن د(س) موجبة دائماً لجميع س ∈ ح.
تمرين 6: الدالة غير السالبة
المسألة: أوجد قيم س التي تجعل الدالة د(س) = 9 - س² غير سالبة.
• أصفار الدالة: 9 - س² = 0 ⇐ س² = 9 ⇐ س = ± 3.
• معامل س² هو -1 (سالب).
• إذن بين الجذرين ]-3 ، 3[ تكون الدالة موجبة (عكس أ)، وعند -3 و 3 تكون صفراً.
• "غير سالبة" تعني (موجبة أو صفر) ⇐ الفترة المغلقة
[-3 ، 3].
تمرين 7: شرط الإيجابية الدائمة
المسألة: إذا كانت د(س) = س² + ك س + 9 موجبة دائماً لجميع س ∈ ح، أوجد فترة ك.
• بما أن معامل س² موجب (1 > 0)، فإن شرط أن تكون موجبة دائماً هو أن يكون المميز سالباً تماماً (Δ < 0).
•
ك² - 4(1)(9) < 0 ⇐ ك² - 36 < 0 ⇐ ك² < 36.• إذن:
ك ∈ ]-6 ، 6[.
تمرين 8: الإشارة المشتركة لدالتين
المسألة: حدد الفترة التي تكون فيها الدالتان د₁(س) = س - 2 و د₂(س) = 6 - 2س موجبتين معاً.
• د₁(س) > 0 عندما
س > 2 أي س ∈ ]2 ، ∞[.• د₂(س) > 0 عندما
6 - 2س > 0 ⇐ 2س < 6 ⇐ س < 3 أي س ∈ ]-∞ ، 3[.• التقاطع المشترك للفترتين هو:
]2 ، ∞[ ∩ ]-∞ ، 3[ = ]2 ، 3[.
اضغط على أي بطاقة لاكتشاف المعنى الدقيق، واضغط على أيقونة الصوت للاستماع للنطق:
اضغط على الإجابة لتتحقق من فهمك وتكتشف التفسير النموذجي فورياً: