الدرس الثاني: العمليات الجبرية على الدوال وتركيب دالتين وتحديد مجال التركيب
تُشكل العمليات الجبرية على الدوال وتركيبها نقلة نوعية في التعامل مع النظم الرياضية المعقدة والتحليل الوظيفي في منهج الصف الثاني الثانوي. عند إجراء عمليات الجمع والطرح والضرب بين دالتين حقيقيتين د و ر، فإن مجال الدالة الناتجة هو حاصل تقاطع مجالي الدالتين الأصليتين (م = م₁ ∩ م₂)، بينما في عملية القسمة يُشترط إضافياً استبعاد جميع أصفار دالة المقام منعاً للقيم غير المعرفة. ويتوج هذا البناء الرياضي بمفهوم تركيب دالتين (د ∘ ر)(س) = د(ر(س))، حيث تطبق الدالة الثانية ر أولاً على العنصر س، ثم تطبق الدالة د على الناتج. إن تحديد مجال دالة التركيب بدقة هو أحد أدق المفاهيم الجبرية، إذ يتطلب إيجاد مجموعة قيم س التي تنتمي إلى مجال ر بشرط أن تكون مخرجاتها ر(س) واقعة داخل مجال الدالة د وفق المعايير الوزارية والامتحانية المعتمدة.
1. العمليات الجبرية الأساسية ومجالاتها
إذا كانت د₁ مجالها م₁، و د₂ مجالها م₂، فإن:
-
الجمع والطرح والضرب:
مجال
(د₁ ± د₂)ومجال(د₁ × د₂)هوم = م₁ ∩ م₂. -
القسمة:
مجال
(د₁ / د₂)هو(م₁ ∩ م₂) - {أصفار د₂}.
2. تركيب دالتين (د ∘ ر)(س)
تركيب الدالتين د و ر هو دالة يُرمز لها بالرمز (د ∘ ر) وتُقرأ (د بعد ر):
ملاحظة جوهرية: تركيب الدوال عملية غير إبدالية عموماً، أي أن (د ∘ ر)(س) ≠ (ر ∘ د)(س) في الحالة العامة.
3. المنهجية المعتمدة لتعيين مجال دالة التركيب
لتعيين مجال دالة التركيب (د ∘ ر) نتبع خطوتين جبريتين إلزاميتين:
الخطوة الأولى: مجال الدالة الداخلية (ر)
نعين مجال الدالة الأولى في التأثير ر وليكن م_ر (أي القيم المسموح بإدخالها إلى ر).
الخطوة الثانية: شرط انتماء ر(س) لمجال د
نوجد قيم س التي تجعل المخرج ر(س) ∈ م_د، ثم نوجد تقاطع الشرطين: مجال (د ∘ ر) = م_ر ∩ {س : ر(س) ∈ م_د}.
تمرين 1: مجال جمع دالتين جذريتين
المسألة: إذا كانت د(س) = √(س - 1) و ر(س) = √(5 - س)، فأوجد مجال (د + ر)(س).
• مجال د: س - 1 ≥ 0 ⇐ م₁ =
[1, ∞[.• مجال ر: 5 - س ≥ 0 ⇐ س ≤ 5 ⇐ م₂ =
]-∞, 5].• مجال الجمع = م₁ ∩ م₂ =
[1, ∞[ ∩ ]-∞, 5] = [1, 5].
تمرين 2: قسمة دالتين
المسألة: إذا كانت د(س) = س² - 4 و ر(س) = س - 2، فأوجد مجال وقاعدة (د / ر)(س).
• مجال د هو ح، ومجال ر هو ح.
• أصفار ر: س - 2 = 0 ⇐ س = 2.
• إذن مجال القسمة =
ح - {2}.• عند س ≠ 2:
(د / ر)(س) = (س - 2)(س + 2) / (س - 2) = س + 2.
تمرين 3: حساب قيمة تركيب عددية
المسألة: إذا كانت د(س) = 2س + 3 و ر(س) = س² - 1، فأوجد قيمة (د ∘ ر)(3).
• نحسب الدالة الداخلية أولاً:
ر(3) = 3² - 1 = 9 - 1 = 8.• نطبق الدالة الخارجية د على الناتج:
د(8) = 2(8) + 3 = 16 + 3 = 19.• إذن:
(د ∘ ر)(3) = 19.
تمرين 4: إثبات عدم إبدالية التركيب
المسألة: لنفس الدالتين السابقتين، احسب (ر ∘ د)(3) وقارن النتيجة.
• نحسب الداخلية أولاً:
د(3) = 2(3) + 3 = 6 + 3 = 9.• نطبق ر على الناتج:
ر(9) = 9² - 1 = 81 - 1 = 80.• نلاحظ أن
19 ≠ 80، مما يثبت أن التركيب غير إبدالي.
تمرين 5: إيجاد قاعدة التركيب الجبرية
المسألة: إذا كانت د(س) = 3س + 1 و ر(س) = س² + 2، فأوجد قاعدة (د ∘ ر)(س).
• نعوض بقاعدة ر(س) داخل د:
(د ∘ ر)(س) = د[ر(س)] = د(س² + 2).• نطبق قاعدة د:
3(س² + 2) + 1 = 3س² + 6 + 1.• الناتج النهائي =
3س² + 7.
تمرين 6: مجال تركيب دالتين كسريتين
المسألة: إذا كانت د(س) = 1 / س و ر(س) = 1 / (س - 2)، فأوجد مجال (د ∘ ر).
• مجال الدالة الداخلية ر هو:
م_ر = ح - {2}.• مجال الدالة الخارجية د هو:
ح - {0}، إذن ر(س) ≠ 0.• هل يمكن أن تكون
1 / (س - 2) = 0؟ مستحيل لأن بسطها 1 ≠ 0.• إذن مجال التركيب هو فقط:
ح - {2}.
تمرين 7: حل معادلة تركيبية
المسألة: إذا كانت د(س) = 2س - 5، فأوجد قيمة س التي تحقق (د ∘ د)(س) = 7.
• نوجد قاعدة التركيب:
د(د(س)) = 2(2س - 5) - 5 = 4س - 10 - 5 = 4س - 15.• نساويها بـ 7:
4س - 15 = 7 ⇐ 4س = 22.• إذن:
س = 22 / 4 = 11 / 2 = 5.5.
تمرين 8: تركيب دالة جذرية مع خطية
المسألة: إذا كانت د(س) = √س و ر(س) = 4 - س، فأوجد مجال (د ∘ ر).
• مجال ر هو ح.
• مجال د هو
[0, ∞[ (أي س ≥ 0).• شرط التركيب:
ر(س) ≥ 0 ⇐ 4 - س ≥ 0 ⇐ س ≤ 4.• إذن المجال هو:
]-∞, 4].
اضغط على أي بطاقة لاكتشاف المعنى الدقيق، واضغط على أيقونة الصوت للاستماع للنطق:
اضغط على الإجابة لتتحقق من فهمك وتكتشف التفسير النموذجي فورياً: