الدرس السادس: مراجعة ختامية متقدمة وتطبيقات عليا في الجبر والدوال ونظرية ذات الحدين
تُتوج هذه المراجعة الشاملة والمكثفة دراسة الوحدة الأولى في الجبر والدوال للصف الثاني الثانوي، حيث تمزج المفاهيم الرياضية الأساسية في بوتقة واحدة لاختبار مهارات التفكير العليا وحل المشكلات المعقدة. يتدرب الطالب هنا على دمج مجالات الدوال المتشعبة مع دوال المقياس، وحل معادلات أسية تؤول إلى تحليل غير تقليدي، واستنتاج قواعد الدوال المركبة من جداول بيانية، وتطبيق نظرية ذات الحدين لإيجاد معاملات الحدود في مقادير مركبة مثل (1 + س + س²)^ن، واستكشاف العلاقات التبادلية بين الدوال وخواص التماثل والانعكاس. تهدف هذه المحطة التعليمية إلى ترسيخ الدقة والسرعة المنهجية وبناء الثقة الرياضية الكاملة لخوض الاختبارات الإلكترونية والوزارية بأعلى درجات التفوق.
1. استراتيجيات التفكير العليا في الجبر
للتعامل مع المسائل الامتحانية التراكمية المركبة بنجاح:
- تحليل الشروط المتداخلة: عند وجود جذر في مقام دالة كسرية أو داخل مقياس، يتم تفكيك القيود خطوة بخطوة وإيجاد التقاطع الحقيقي بينها.
- استبدال المتغيرات: تحويل المعادلات الأسية والمقياسية المعقدة إلى معادلات تربيعية من الدرجة الثانية بفرض متغير وسيط
ص. - التناظر الهندسي: استخدام نقطة التماثل وقوانين الإزاحة لقراءة سلوك الدوال دون الحاجة للرسم التفصيلي الكامل.
2. مفاتيح الحل السريع في ذات الحدين
| المطلوب | القاعدة السريعة |
|---|---|
| النسبة بين حدين متتاليين | ح_{ر+1} / ح_ر = [(ن - ر + 1) / ر] × (الثاني / الأول) |
| الحد المشتمل على سᵏ | نساوي الأس الناتج في الحد العام بالعدد k ونوجد ر |
| أكبر معامل | الحد الأوسط إذا تساوت معاملات الحدين |
3. خارطة طريق التحقق الرياضي الذاتي
فحص القيم الحدية
التعويض بالصفر والواحد وأطراف الفترات في المسألة الأصلية لكشف الحلول الدخيلة فوراً.
التجريب الذكي للخيارات
استبعاد الخيارات غير المنطقية هندسياً (مثل الفترات المغلقة عند أصفار المقام) قبل بدء الحسابات المعقدة.
توافق الأبعاد
التأكد من أن رتبة الحد ر دائماً عدد صحيح غير سالب وأقل من أو يساوي ن.
تمرين 1: مجال مركب من جذر ومقياس بالمقام
المسألة: عيّن مجال الدالة د(س) = √(س + 2) / (|س| - 3).
• شرط البسط: س + 2 ≥ 0 ⇐
س ≥ -2 ⇐ م₁ = [-2, ∞[.• أصفار المقام: |س| - 3 = 0 ⇐ |س| = 3 ⇐
س = 3 أو س = -3.• نلاحظ أن -3 لا تنتمي أصلاً لمجال البسط، بينما 3 تنتمي إليه.
• إذن المجال الكلي =
[-2, ∞[ - {3}.
تمرين 2: مسألة تركيب عليا
المسألة: إذا كانت د(س) = س / (س - 1)، فأوجد في أبسط صورة (د ∘ د)(س) ومجالها.
•
(د ∘ د)(س) = د[س / (س - 1)] = [س / (س - 1)] / [س / (س - 1) - 1].• بتوحيد مقامات المقام:
[س - (س - 1)] / (س - 1) = 1 / (س - 1).• بالقسمة:
[س / (س - 1)] ÷ [1 / (س - 1)] = س (الدالة المحايدة).• مجال التركيب: س ≠ 1 و د(س) ≠ 1 (وهي دائماً ≠ 1)، إذن المجال =
ح - {1}.
تمرين 3: معادلة مقياس مع س خارج المقياس
المسألة: حل في ح المعادلة: س² - 2|س| - 8 = 0.
• نعلم أن
س² = |س|²، فتصبح المعادلة: |س|² - 2|س| - 8 = 0.• بالتحليل:
(|س| - 4)(|س| + 2) = 0.• إما
|س| = 4 ⇐ س = ± 4.• أو
|س| = -2 (مرفوض ومستحيل لأن المقياس غير سالب).• مجموعة الحل =
{4 ، -4}.
تمرين 4: معامل س³ في مفكوك ذات الحدين
المسألة: أوجد معامل س³ في مفكوك (2س² - 1/س)⁶.
•
ح_{ر+1} = 6 ق ر × (2س²)⁶⁻ʳ × (-1/س)ʳ = 6 ق ر × 2⁶⁻ʳ × (-1)ʳ × س^(12 - 3ر).• نضع أس س مساوياً 3:
12 - 3ر = 3 ⇐ 3ر = 9 ⇐ ر = 3.• المعامل =
6 ق 3 × 2³ × (-1)³ = 20 × 8 × (-1) = -160.
تمرين 5: متباينة مزدوجة للمقياس
المسألة: حل في ح المتباينة: 1 < |س - 2| ≤ 4.
• حل
|س - 2| ≤ 4 ⇐ -4 ≤ س - 2 ≤ 4 ⇐ -2 ≤ س ≤ 6 (الفترة [-2, 6]).• حل
|س - 2| > 1 ⇐ س - 2 > 1 (س > 3) أو س - 2 < -1 (س < 1).• تقاطع الجزأين يعطي:
[-2, 1[ ∪ ]3, 6].
تمرين 6: معادلة أسية بمجاهيل في الأساس والأس
المسألة: أوجد في ح مجموعة حل المعادلة: (س - 3)^(س² - 9) = 1.
• الحالة 1 (الأس = 0 مع أساس ≠ 0):
س² - 9 = 0 ⇐ س = ± 3. (عند س = 3 الأساس صفر مرفوض، إذن س = -3 مقبول).• الحالة 2 (الأساس = 1):
س - 3 = 1 ⇐ س = 4 (مقبول).• الحالة 3 (الأساس = -1 مع أس زوجي):
س - 3 = -1 ⇐ س = 2. الأس = 2² - 9 = -5 (فردي، مرفوض).• مجموعة الحل =
{-3 ، 4}.
تمرين 7: النسبة بين حدين متتاليين في ذات الحدين
المسألة: في مفكوك (1 + س)⁸، إذا كان ح₅ = 2 ح₄، فأوجد قيمة س.
•
ح₅ / ح₄ = 2.• بقانون النسبة:
[(8 - 4 + 1) / 4] × س = 2 ⇐ (5/4) س = 2.•
س = 2 × (4/5) = 8/5 = 1.6.
تمرين 8: استنتاج معادلة المنحنى من صفاته
المسألة: دالة تربيعية نقطة رأس منحناها (2، 3) وتمر بالنقطة (0، 7)، اكتب قاعدتها.
• الصيغة القياسية:
د(س) = أ(س - 2)² + 3.• بالتعويض بالنقطة (0، 7):
7 = أ(0 - 2)² + 3 ⇐ 7 = 4أ + 3.•
4أ = 4 ⇐ أ = 1.• إذن قاعدة الدالة هي:
د(س) = (س - 2)² + 3 = س² - 4س + 7.
اضغط على أي بطاقة لاكتشاف المعنى الدقيق، واضغط على أيقونة الصوت للاستماع للنطق:
اضغط على الإجابة لتتحقق من فهمك وتكتشف التفسير النموذجي فورياً: