الدرس الثالث: التحويلات الهندسية لمنحنيات الدوال الأساسية (الإزاحة، الانعكاس، والتمدد)
تُمثّل دراسة التحويلات الهندسية لمنحنيات الدوال الأساسية أداة بصرية وتحليلية بالغة القوة في الجبر الحديث. بدلاً من إعادة رسم كل دالة من الصفر بواسطة جداول النقاط، يعتمد التحليل الهندسي على اتخاذ منحنيات الدوال المرجعية الأساسية: الدالة التربيعية د(س) = س²، والدالة التكعيبية د(س) = س³، ودالة المقياس د(س) = |س|، والدالة الكسرية د(س) = 1/س كنماذج قياسية. ومن خلال تطبيق قواعد التحويلات الهندسية الأربع: الإزاحة الأفقية د(س - أ) والإزاحة الرأسية د(س) + ب والانعكاس على محور السينات -د(س) والتمدد أو الانكماش الرأسي ك د(س)، يستطيع الطالب فوراً تحديد نقطة التماثل أو رأس المنحنى (أ، ب)، واستنتاج المجال والمدى ونوع الدالة (زوجية أو فردية أو ليست وليست) واطرادها بدقة فائقة تتوافق تماماً مع النماذج الامتحانية الوزارية المعتمدة.
1. الدوال الأساسية ونقاط تماثلها المرجعية
| الدالة الأساسية | القاعدة | نقطة التماثل / الرأس | الشكل الهندسي |
|---|---|---|---|
| التربيعية | د(س) = س² |
(0، 0) رأس المنحنى | قطع مكافئ متماثل حول محور الصادات |
| التكعيبية | د(س) = س³ |
(0، 0) نقطة تماثل | منحنى متماثل حول نقطة الأصل (فردية) |
| المقياس | د(س) = |س| |
(0، 0) رأس الشعاعين | شعاعان يصنعان زاوية 90° على شكل حرف V |
| الكسرية | د(س) = 1/س |
(0، 0) نقطة تماثل | فرعان في الربعين الأول والثالث حول نقطة الأصل |
2. قواعد الإزاحات والانعكاس الجبرية
إذا كانت الدالة المحولة هي ص = ± ك · د(س - أ) + ب، فإن:
- نقطة الرأس / التماثل الجديدة: هي دائماً
(أ ، ب)(عكس إشارة ما بداخل الدالة ونفس إشارة الخارج). - الإزاحة الأفقية: بمقدار
|أ|وحدات، لليمين إذا كانت(س - أ)ولليسار إذا كانت(س + أ). - الإزاحة الرأسية: بمقدار
|ب|وحدات، لأعلى إذا كانت+بولأسفل إذا كانت-ب. - الانعكاس: وجود إشارة سالبة أمام الدالة يُحدث انعكاساً للمنحنى في محور السينات فتنعكس الفتحة والاطراد.
3. استنتاج خواص المنحنى المحول
المدى للدالة التربيعية
[ب, ∞[ إذا كان معامل القوس موجباً، و ]-∞, ب] إذا كان سالباً.
المدى لدالة المقياس
[ب, ∞[ إذا كان المقياس موجباً، و ]-∞, ب] إذا كان سالباً.
المجال والمدى للكسرية
المجال = ح - {أ}
المدى = ح - {ب}
التماثل والنوع
زوجية إذا كان أ = 0، فردية إذا كان أ=0 وب=0 في التكعيبية والكسرية، وإلا فليست وليست.
تمرين 1: خواص دالة تربيعية محولة
المسألة: حدد رأس المنحنى والمدى والاطراد للدالة د(س) = (س - 3)² + 2.
• نقطة الرأس:
(3 ، 2) (إزاحة 3 وحدات يميناً ووحدتان لأعلى).• الفتحة لأعلى (معامل القوس موجب) ⇐ المدى =
[2, ∞[.• الاطراد: تناقصية على
]-∞, 3[ وتزايدية على ]3, ∞[.• معادلة محور التماثل:
س = 3.
تمرين 2: دالة مقياس منعكسة
المسألة: عيّن رأس المنحنى والمدى للدالة د(س) = 4 - |س + 1|.
• نكتبها بالصورة القياسية:
د(س) = -|س + 1| + 4.• نقطة الرأس هي:
(-1 ، 4).• إشارة المقياس سالبة (انعكاس في محور السينات)، الفتحة لأسفل.
• إذن المدى هو:
]-∞, 4].
تمرين 3: دالة كسرية وتحويلها للصورة القياسية
المسألة: ضع الدالة د(س) = (2س + 5) / (س + 2) في الصورة القياسية، وعيّن نقطة التماثل والمدى.
• بالقسمة: البسط =
2(س + 2) + 1.•
د(س) = [2(س + 2) / (س + 2)] + [1 / (س + 2)] = 2 + 1 / (س + 2).• نقطة التماثل هي:
(-2 ، 2).• المجال =
ح - {-2} ، والمدى = ح - {2}.
تمرين 4: دالة تكعيبية محولة
المسألة: أوجد نقطة تماثل واطراد الدالة د(س) = -(س - 2)³ + 1.
• نقطة التماثل هي:
(2 ، 1).• المنحنى الأصلي س³ تزايدي، ولكن بسبب الإشارة السالبة (الانعكاس)، ينعكس الاطراد.
• إذن الدالة تناقصية على كامل مجالها ح.
• المدى =
ح.
تمرين 5: تحديد قاعدة الدالة من إزاحاتها
المسألة: منحنى دالة المقياس أزيح 4 وحدات جهة اليسار ووحدتين لأسفل، اكتب قاعدتها الجديدة.
• إزاحة لليسار 4 وحدات تعني استبدال س بـ
(س + 4) داخل المقياس.• إزاحة لأسفل وحدتين تعني طرح 2 خارج المقياس.
• إذن القاعدة الجديدة هي:
د(س) = |س + 4| - 2.• نقطة رأس المنحنى هي:
(-4 ، -2).
تمرين 6: نوع الدالة الزوجية والفردية بالتحويلات
المسألة: بيّن نوع الدالة د(س) = س² - 4 من حيث كونها زوجية أم فردية.
• رأس المنحنى هو (0، -4)، ويقع على محور الصادات تماماً.
• جبرياً:
د(-س) = (-س)² - 4 = س² - 4 = د(س).• بما أن
د(-س) = د(س)، فالدالة زوجية ومنحناها متماثل حول محور الصادات.
تمرين 7: تمدد وانكماش رأسي
المسألة: صف التحويل الهندسي الحادث للدالة د(س) = 3|س| مقارنة بـ |س|.
• المعامل الخارجي ك = 3 وهو أكبر من 1.
• التحويل هو تمدد رأسي (Vertical Stretch) بمعامل مقداره 3.
• تتباعد أذرع المنحنى رأسياً وتضيق أفقياً مقتربة من محور الصادات.
تمرين 8: اطراد دالة كسرية محولة
المسألة: ادرس اطراد الدالة د(س) = 1 / (س - 1) + 3.
• نقطة التماثل هي (1، 3)، والبسط موجب (+1).
• الفرعان يقعان في الربعين الأول والثالث بالنسبة لنقطة التماثل.
• الدالة تناقصية على الفترة
]-∞, 1[ وتناقصية أيضاً على الفترة ]1, ∞[.
اضغط على أي بطاقة لاكتشاف المعنى الدقيق، واضغط على أيقونة الصوت للاستماع للنطق:
اضغط على الإجابة لتتحقق من فهمك وتكتشف التفسير النموذجي فورياً: