الدرس الرابع: حل معادلات ومتباينات القيمة المطلقة جبرياً وبيانياً
تُعد القيمة المطلقة (المقياس) مفهوماً جبرياً وهندسياً جوهرياً يعبر عن المسافة غير الموجهة بين العدد والصفر على خط الأعداد الحقيقية. يتطلب حل معادلات المقياس جبرياً استخدام التعريف الدقيق للدالة أو الاستفادة من الخواص الجبرية المتقدمة مثل خاصية تربيع الطرفين للتخلص من المقياس، وخاصية |س| = أ التي تعطي س = ± أ بشرط أ ≥ 0، وخاصية |س| = |ص| التي تؤول إلى س = ± ص مباشرة. أما في متباينات المقياس، فيتفرع التحليل إلى نمطين أساسيين: متباينة "أصغر من" |س| ≤ أ التي تُحل كمتباينة مزدوجة محصورة (-أ ≤ س ≤ أ) ممثلة تقاطعاً فئوياً، ومتباينة "أكبر من" |س| ≥ أ التي تتفكك إلى اتحاد متباينتين منفصلتين (س ≥ أ أو س ≤ -أ) لتعطي فترات غير محدودة أو ح مطروحاً منها فترة مفتوحة. كما يقترن الحل الجبري بالحل البياني عبر رسم المنحنيات وإيجاد نقاط تقاطعها وفق المعايير الوزارية المعتمدة.
1. معادلات القيمة المطلقة وقواعد حلها
- تعريف المقياس:
|س| = سعندماس ≥ 0، و-سعندماس < 0. - الحالة الأولى:
|ق(س)| = أ(حيث أ > 0) ⇐ق(س) = أأوق(س) = -أ. (إذا كان أ < 0 فإن الحل = ∅). - الحالة الثانية:
|ق(س)| = |ر(س)|⇐ق(س) = ± ر(س)دون شروط سالبة. - الحالة الثالثة:
|ق(س)| = ر(س)⇐ يلزم شرط التعريفر(س) ≥ 0ثم الحل في الحالتين والتحقق.
2. متباينات القيمة المطلقة
| صيغة المتباينة | القاعدة الجبرية المكافئة | مجموعة الحل |
|---|---|---|
|س - أ| ≤ جـ |
-جـ ≤ س - أ ≤ جـ |
فترة مغلقة [أ - جـ ، أ + جـ] |
|س - أ| < جـ |
-جـ < س - أ < جـ |
فترة مفتوحة ]أ - جـ ، أ + جـ[ |
|س - أ| ≥ جـ |
س - أ ≥ جـ أو س - أ ≤ -جـ |
ح - ]أ - جـ ، أ + جـ[ |
|س - أ| > جـ |
س - أ > جـ أو س - أ < -جـ |
ح - [أ - جـ ، أ + جـ] |
3. خواص جوهرية مساعدة في الحل
خاصية التماثل
|أ - ب| = |ب - أ| دائماً، و |-س| = |س|.
علاقة الجذر بالمقياس
√(س²) = |س| (وليس س مجردة).
التربيع
|س|² = س²، مما يتيح التخلص من المقياس بتربيع الطرفين.
متباينة المثلث
|س + ص| ≤ |س| + |ص| وتتحقق المساواة إذا كان لهما نفس الإشارة.
تمرين 1: معادلة مقياس أساسية
المسألة: أوجد مجموعة حل المعادلة |2س - 3| = 7 في ح.
• إما
2س - 3 = 7 ⇐ 2س = 10 ⇐ س = 5.• أو
2س - 3 = -7 ⇐ 2س = -4 ⇐ س = -2.• مجموعة الحل =
{5 ، -2}.
تمرين 2: تساوي مقياسين
المسألة: حل في ح المعادلة: |س - 2| = |2س + 1|.
• إما
س - 2 = 2س + 1 ⇐ 2س - س = -2 - 1 ⇐ س = -3.• أو
س - 2 = -(2س + 1) = -2س - 1 ⇐ 3س = 1 ⇐ س = 1/3.• مجموعة الحل =
{-3 ، 1/3}.
تمرين 3: مقياس يساوي مقداراً جبرياً
المسألة: أوجد مجموعة حل المعادلة: |س - 1| = 2س - 4 في ح.
• شرط الحل:
2س - 4 ≥ 0 ⇐ 2س ≥ 4 ⇐ س ≥ 2.• الحالة الأولى:
س - 1 = 2س - 4 ⇐ س = 3 (مقبول لأنه ≥ 2).• الحالة الثانية:
س - 1 = -(2س - 4) = -2س + 4 ⇐ 3س = 5 ⇐ س = 5/3 ≈ 1.67 (مرفوض لأنه < 2).• مجموعة الحل =
{3}.
تمرين 4: معادلة جذرية تؤول لمقياس
المسألة: حل في ح: √(س² - 6س + 9) = 5.
• المقدار تحت الجذر مربع كامل:
√((س - 3)²) = |س - 3|.• المعادلة تصبح:
|س - 3| = 5.•
س - 3 = 5 ⇐ س = 8 أو س - 3 = -5 ⇐ س = -2.• مجموعة الحل =
{8 ، -2}.
تمرين 5: متباينة أصغر من أو تساوي
المسألة: أوجد في ح مجموعة حل المتباينة: |2س - 1| ≤ 5.
• نكتبها كمتباينة مزدوجة:
-5 ≤ 2س - 1 ≤ 5.• بإضافة 1 لجميع الأطراف:
-4 ≤ 2س ≤ 6.• بالقسمة على 2:
-2 ≤ س ≤ 3.• مجموعة الحل هي الفترة المغلقة:
[-2, 3].
تمرين 6: متباينة أكبر من
المسألة: أوجد في ح مجموعة حل المتباينة: |س - 3| > 4.
• إما
س - 3 > 4 ⇐ س > 7 (أي ]7, ∞[).• أو
س - 3 < -4 ⇐ س < -1 (أي ]-∞, -1[).• مجموعة الحل = الاتحاد =
ح - [-1, 7] (فترة مغلقة مستبعدة).
تمرين 7: متباينة مقلوبة كسرية
المسألة: حل في ح المتباينة: 1 / |س - 2| ≥ 3.
• شرط المقام: س ≠ 2.
• بقلب الكسرين وعكس إشارة التباين:
|س - 2| ≤ 1/3.•
-1/3 ≤ س - 2 ≤ 1/3 ⇐ 5/3 ≤ س ≤ 7/3.• نستبعد 2 من الفترة:
[5/3 , 7/3] - {2}.
تمرين 8: متباينة مقياس مع طرف سالب
المسألة: أوجد مجموعة حل المتباينة |3س + 2| > -5 في ح.
• نعلم أن ناتج أي مقياس موجب أو صفر دائماً:
|3س + 2| ≥ 0 لجميع س ∈ ح.• والصفر أو أي عدد موجب هو دائماً أكبر قطعي من العدد السالب (-5).
• إذن المتباينة محققة لجميع الأعداد الحقيقية ومجموعة الحل هي:
ح.
اضغط على أي بطاقة لاكتشاف المعنى الدقيق، واضغط على أيقونة الصوت للاستماع للنطق:
اضغط على الإجابة لتتحقق من فهمك وتكتشف التفسير النموذجي فورياً: