الدرس الخامس: الأسس الكسرية والمعادلات والدوال الأسية ونظرية ذات الحدين
يُمثل هذا الدرس جسراً رياضياً رفيع المستوى يربط بين جبر القوى والتحليل الرياضي التوافقي المتقدم. يبدأ البناء بتوسيع مفهوم الأسس من النطاق الصحيح إلى النطاق الكسري عبر القاعدة أ^(م/ن) = الجذر النوني للعدد أ^م، والتي تمكننا من حل المعادلات الأسية المتشعبة باتباع استراتيجيتين ذهبيتين: "إذا تساوت الأساسات تساوت الأسس" أو "إذا تساوت الأسس تساوت الأساسات أو انعدم الأس". كما تتألق الدالة الأسية د(س) = أ^س بخصائصها الهندسية المذهلة من نمو وتضاؤل أسي وتطبيقاتها في البنوك والعلوم. ويتكامل ذلك مع صرح "نظرية ذات الحدين بأس صحيح موجب"، التي تفك المقدار (أ + ب)^ن باستخدام التوافيق ن ق ر، مع إتقان استخراج الحد العام ح_(ر+1)، وتعيين الحد الخالي من س، والحد الأوسط، والنسبة بين حدين متتاليين وفق أعلى المعايير الوزارية المعتمدة.
1. الأسس الكسرية والمعادلات الأسية
لكل عدد حقيقي أ ≥ 0 وعددين صحيحين م ، ن (ن > 1):
- قواعد المعادلات: إذا كان
أˢ = أ صوكانأ ∉ {0, 1, -1}فإنس = ص. - تساوي الأسس: إذا كان
سⁿ = صⁿ، فإذا كان ن فردياً فإنس = ص، وإذا كان ن زوجياً فإنس = ± ص. - انعدام الأس: إذا كان
أˢ = بˢمعأ ≠ بفإنس = 0.
2. نظرية ذات الحدين بأس صحيح موجب
مفكوك ذي الحدين (أ + ب)ⁿ حيث ن ∈ ص⁺:
- عدد الحدود: يساوي دائماً
(ن + 1)حداً. - الحد العام:
ح_{ر+1} = ن ق ر × (الأول)ⁿ⁻ʳ × (الثاني)ʳ. - الحد الأوسط: إذا كان ن زوجياً يوجد حد أوسط وحيد رتبته
(ن/2) + 1. إذا كان ن فردياً يوجد حدان أوسطان رتبتاهما(ن + 1)/2و(ن + 3)/2.
3. خصائص الدالة الأسية د(س) = أˢ
المجال والمدى
المجال = ح بالكامل.
المدى = ح⁺ (الأعداد الحقيقية الموجبة ]0, ∞[).
النمو والتضاؤل الأسي
تزايدية (نمو أسي) إذا كان أ > 1.
تناقصية (تضاؤل أسي) إذا كان 0 < أ < 1.
نقطة التقاطع الثابتة
يمر منحناها دائماً بالنقطة (0 ، 1) لأن أ⁰ = 1 لأي أساس أ > 0.
تمرين 1: حل معادلة أسية أساسية
المسألة: حل في ح المعادلة: 3^(س - 2) = 81.
• نحلل 81 إلى قوى الأساس 3:
81 = 3⁴.• المعادلة:
3^(س - 2) = 3⁴.• بما أن الأساس = الأساس (3)، إذن الأس = الأس:
س - 2 = 4 ⇐ س = 6.• مجموعة الحل =
{6}.
تمرين 2: انعدام الأس عند اختلاف الأساسات
المسألة: أوجد مجموعة حل المعادلة: 5^(2س - 6) = 7^(2س - 6).
• الأسس متساوية بينما الأساسات مختلفة
(5 ≠ 7).• إذن يجب أن ينعدم الأس المشترك:
2س - 6 = 0.•
2س = 6 ⇐ س = 3.• مجموعة الحل =
{3}.
تمرين 3: معادلة أسية تؤول لتربيعية
المسألة: حل في ح المعادلة: 2^(2س) - 6 × 2ˢ + 8 = 0.
• نضع
ص = 2ˢ، فتصبح المعادلة: ص² - 6ص + 8 = 0.• بالتحليل:
(ص - 2)(ص - 4) = 0 ⇐ ص = 2 أو ص = 4.• إما
2ˢ = 2¹ ⇐ س = 1.• أو
2ˢ = 4 = 2² ⇐ س = 2.• مجموعة الحل =
{1 ، 2}.
تمرين 4: إيجاد رتبة وقيمة حد معين في ذات الحدين
المسألة: أوجد الحد الرابع في مفكوك (س + 2)⁶.
• رتبة الحد الرابع: ر + 1 = 4 ⇐ ر = 3.
• قانون الحد العام:
ح₄ = 6 ق 3 × (س)⁶⁻³ × (2)³.• 6 ق 3 = 20 ، و 2³ = 8.
•
ح₄ = 20 × س³ × 8 = 160 س³.
تمرين 5: إيجاد الحد الخالي من س
المسألة: أوجد الحد الخالي من س في مفكوك (س + 1/س)⁸.
•
ح_{ر+1} = 8 ق ر × (س)⁸⁻ʳ × (س⁻¹)ʳ = 8 ق ر × س^(8 - 2ر).• الحد خالي من س ⇐ نساوي أس س بالصفر:
8 - 2ر = 0 ⇐ 2ر = 8 ⇐ ر = 4.• إذن الحد الخالي هو الحد الخامس:
ح₅ = 8 ق 4 = 70.
تمرين 6: تعيين الحد الأوسط
المسألة: أوجد الحد الأوسط في مفكوك (2س - 3)¹⁰.
• الأس ن = 10 (زوجي)، إذن يوجد حد أوسط وحيد.
• رتبته =
(10 / 2) + 1 = 6 (أي الحد السادس ح₆).• ر = 5 ⇐
ح₆ = 10 ق 5 × (2س)⁵ × (-3)⁵.• 10 ق 5 = 252 ، 2⁵ = 32 ، (-3)⁵ = -243.
•
ح₆ = 252 × 32 × (-243) س⁵ = -1,959,552 س⁵.
تمرين 7: معادلة بأس كسري
المسألة: حل في ح المعادلة: س^(3/2) = 27.
• نرفع الطرفين للأس المعكوس الضربي (2/3):
س = 27^(2/3).• 27 = 3³ ⇐
س = (3³)^(2/3) = 3² = 9.• البسط فردي (3)، فلا توجد إشارة ±.
• إذن:
س = 9.
تمرين 8: مجموع معاملات مفكوك ذات الحدين
المسألة: أوجد مجموع معاملات مفكوك المقدار (3س - 2)⁵.
• قاعدة ذهبية: لإيجاد مجموع معاملات أي مفكوك نعوض عن س = 1.
• المقدار عند س = 1 يصبح:
(3(1) - 2)⁵ = (3 - 2)⁵ = 1⁵ = 1.• إذن مجموع المعاملات =
1.
اضغط على أي بطاقة لاكتشاف المعنى الدقيق، واضغط على أيقونة الصوت للاستماع للنطق:
اضغط على الإجابة لتتحقق من فهمك وتكتشف التفسير النموذجي فورياً: