الصف الثاني الثانوي - رياضيات
الوحدة الثانية: التفاضل وحساب المثلثات
الأسس الكسرية وقوانين القوى وحل المعادلات الأسية في الأعداد الحقيقية
انقر على أي جملة للاستماع إليها مباشرة 👆
تمثل الأسس الكسرية والمعادلات الأسية ركيزة محورية في دراسة الجبر المتقدم للمرحلة الثانوية، حيث تمكننا قوانين الأسس من التعبير عن الجذور بمختلف رتبها في صورة قوى ذات أسس نسبية مثل الجذر النوني لـ س أس م = س^(م/ن). وتفتح المعادلات الأسية آفاقاً رياضية رحبة لحل المسائل التي يكون فيها المجهول في موضع الأس، بالاعتماد على المبدأ الجبري الأصيل: إذا تساوت الأساسات تساوت الأسس، أو إذا تساوت الأسس واختلفت الأساسات أمكن التوصل إلى حلول حقيقية بدقة تامة وفق النماذج الوزارية المعتمدة.
1. قوانين الأسس الكسرية والجذور
الربط التام بين الصورة الجذرية والصورة الأسية النسبية.
- القاعدة الأساسية: لكل عدد حقيقي أ ≥ 0 وعددين صحيحين م، ن (ن > 1):
√[ن]{أ^م} = أ^(م/ن). - ضرب وقسمة القوى:
أ^س × أ^ص = أ^(س+ص)وأ^س ÷ أ^ص = أ^(س-ص). - قوة القوة وتوزيع الأس:
(أ^س)^ص = أ^(س×ص)و(أ × ب)^س = أ^س × ب^س. - الأس السالب:
أ^(-س) = 1 / أ^سبشرط أ ≠ 0.
2. استراتيجيات حل المعادلات الأسية
قواعد التساوي بين الأساسات والأسس وإمكانية التحليل الثنائي.
- تساوي الأساسات: إذا كان
أ^س = أ^صوكان أ ≠ 0 و أ ≠ ±1 فإنس = ص. - تساوي الأسس: إذا كان
أ^س = ب^سوكان أ ≠ ب فإنس = 0(أو أ = ب إذا كان الأس فرداً، أو أ = ±ب إذا كان زوجاً). - التحويل إلى معادلة تربيعية: بالتعويض عن
أ^س = صوبالتاليأ^(2س) = ص^2.
أمثلة تطبيقية محلولة خطوة بخطوة
مثال 1: حل المعادلة:
الحل: 27 = 3^3 ⇒ 3^(س - 1) = 3^3 ⇒ الأساس = الأساس ⇒ س - 1 = 3 ⇒ س = 4. مجموعة الحل = {4}.
3^(س - 1) = 27 في ح.الحل: 27 = 3^3 ⇒ 3^(س - 1) = 3^3 ⇒ الأساس = الأساس ⇒ س - 1 = 3 ⇒ س = 4. مجموعة الحل = {4}.
مثال 2: حل المعادلة:
الحل: بوضع ص = 2^س ⇒ ص^2 - 6ص + 8 = 0 ⇒ (ص - 2)(ص - 4) = 0.
إما ص = 2 ⇒ 2^س = 2^1 ⇒ س = 1.
أو ص = 4 ⇒ 2^س = 2^2 ⇒ س = 2. مجموعة الحل = {1، 2}.
2^(2س) - 6 × 2^س + 8 = 0 في ح.الحل: بوضع ص = 2^س ⇒ ص^2 - 6ص + 8 = 0 ⇒ (ص - 2)(ص - 4) = 0.
إما ص = 2 ⇒ 2^س = 2^1 ⇒ س = 1.
أو ص = 4 ⇒ 2^س = 2^2 ⇒ س = 2. مجموعة الحل = {1، 2}.
ورشة حل التمارين والمسائل النموذجية (8 تدريبات متدرجة)
(27)^(2/3) = (3^3)^(2/3) = 3^2 = 9.
(16)^(-3/4) = (2^4)^(-3/4) = 2^(-3) = 1 / 2^3 = 1/8.
المقدار = 9 × (1/8) = 9/8 = 1.125.
(16)^(-3/4) = (2^4)^(-3/4) = 2^(-3) = 1 / 2^3 = 1/8.
المقدار = 9 × (1/8) = 9/8 = 1.125.
بما أن 1 = 5^0 ⇒ 5^(س^2 - 4) = 5^0 ⇒ س^2 - 4 = 0 ⇒ س^2 = 4 ⇒ س = ± 2. مجموعة الحل = {-2، 2}.
بما أن الأس = الأس والأساسات مختلفة (7 ≠ 9)، فإن الأس يجب أن يساوي صفراً:
س - 3 = 0 ⇒ س = 3.
س - 3 = 0 ⇒ س = 3.
نعلم أن 4^س = (2^س)^2 وأن 2^(س - 1) = 2^س × 2^(-1) = (1/2) 2^س.
المعادلة: (2^س)^2 - 5 × (2^س) + 4 = 0.
بوضع ص = 2^س ⇒ ص^2 - 5ص + 4 = 0 ⇒ (ص - 1)(ص - 4) = 0.
إما 2^س = 1 ⇒ س = 0، أو 2^س = 4 ⇒ س = 2. م.ح = {0، 2}.
المعادلة: (2^س)^2 - 5 × (2^س) + 4 = 0.
بوضع ص = 2^س ⇒ ص^2 - 5ص + 4 = 0 ⇒ (ص - 1)(ص - 4) = 0.
إما 2^س = 1 ⇒ س = 0، أو 2^س = 4 ⇒ س = 2. م.ح = {0، 2}.
√[3]{س^4} = س^(4/3).
البسط = س^(4/3) × س^(1/3) = س^(4/3 + 1/3) = س^(5/3).
المقدار = س^(5/3) ÷ س^2 = س^(5/3 - 2) = س^(-1/3) = 1 / √[3]{س}.
البسط = س^(4/3) × س^(1/3) = س^(4/3 + 1/3) = س^(5/3).
المقدار = س^(5/3) ÷ س^2 = س^(5/3 - 2) = س^(-1/3) = 1 / √[3]{س}.
بأخذ 2^س عاملاً مشتركاً:
2^س × (2^2 + 2^1) = 24 ⇒ 2^س × (4 + 2) = 24 ⇒ 2^س × 6 = 24 ⇒ 2^س = 4 = 2^2 ⇒ س = 2.
2^س × (2^2 + 2^1) = 24 ⇒ 2^س × (4 + 2) = 24 ⇒ 2^س × 6 = 24 ⇒ 2^س = 4 = 2^2 ⇒ س = 2.
نعلم أن (ب/أ) = (أ/ب)^(-1)، إذن الطرف الأيسر = (أ/ب)^(-(س - 5)) = (أ/ب)^(5 - س).
تساوت الأساسات: س - 1 = 5 - س ⇒ 2س = 6 ⇒ س = 3.
تساوت الأساسات: س - 1 = 5 - س ⇒ 2س = 6 ⇒ س = 3.
برفع الطرفين للقوة (2/3): س = 8^(2/3) = (2^3)^(2/3) = 2^2 = 4. مجموعة الحل = {4}.
اضغط على أي بطاقة لاكتشاف المعنى الدقيق، واضغط على أيقونة الصوت للاستماع للنطق:
الأس النسبي
اضغط لاكتشاف الدلالة والشرح 👆
الأس المكتوب في صورة كسر اعتيادي م/ن حيث ن يدل على رتبة الجذر
💡 إضاءة وتوضيح: مفهوم جبري
المعادلة الأسية
اضغط لاكتشاف الدلالة والشرح 👆
معادلة يظهر فيها المتغير المجهول في موضع الأس
💡 إضاءة وتوضيح: معادلة جبرية
الجذر النوني
اضغط لاكتشاف الدلالة والشرح 👆
العدد الذي إذا رفع للقوة ن ينتج ما تحت الجذر
💡 إضاءة وتوضيح: عملية عكسية للقوة
الأساس
اضغط لاكتشاف الدلالة والشرح 👆
العدد الثابت الذي يرفع لقوة معينة في المقدار الأسي
💡 إضاءة وتوضيح: طرف المقدار
الأس
اضغط لاكتشاف الدلالة والشرح 👆
العدد الذي يبين عدد مرات تكرار ضرب الأساس في نفسه
💡 إضاءة وتوضيح: القوة
مجموعة الحل
اضغط لاكتشاف الدلالة والشرح 👆
مجموعة جميع القيم الحقيقية التي تحقق صحة المعادلة المعطاة
💡 إضاءة وتوضيح: مفهوم رياضي
التحليل بالتعويض
اضغط لاكتشاف الدلالة والشرح 👆
استبدال المقدار الأسي بمتغير جديد لتحويل المعادلة لصورة مألوفة
💡 إضاءة وتوضيح: استراتيجية جبرية
الأس الصفري
اضغط لاكتشاف الدلالة والشرح 👆
أي عدد حقيقي غير صفري مرفوع للأس صفر يساوي 1 (أ^0 = 1)
💡 إضاءة وتوضيح: قاعدة أسية
الأس السالب
اضغط لاكتشاف الدلالة والشرح 👆
مقلوب المقدار ذي الأس الموجب (أ^-ن = 1/أ^ن)
💡 إضاءة وتوضيح: قاعدة أسية
قوة القوة
اضغط لاكتشاف الدلالة والشرح 👆
ضرب الأس الداخلي في الأس الخارجي (أ^م)^ن = أ^(م×ن)
💡 إضاءة وتوضيح: خاصية جبرية
تساوي الأساسات
اضغط لاكتشاف الدلالة والشرح 👆
قاعدة تؤدي إلى تساوي الأسس إذا كانت الأساسات متطابقة وغير صفرية
💡 إضاءة وتوضيح: مبرهنة حل
تساوي الأسس
اضغط لاكتشاف الدلالة والشرح 👆
قاعدة تؤدي إلى تساوي الأساسات أو انعدام الأس إذا اختلفت
💡 إضاءة وتوضيح: مبرهنة حل
المقدار الجذري
اضغط لاكتشاف الدلالة والشرح 👆
تعبير رياضي يتضمن علامة الجذر التربيعي أو التكعيبي أو النوني
💡 إضاءة وتوضيح: تعبير جبري
القوة الصحيحة
اضغط لاكتشاف الدلالة والشرح 👆
رفع العدد لقوة تنتمي لمجموعة الأعداد الصحيحة الموجبة أو السالبة
💡 إضاءة وتوضيح: قانون رياضي
اضغط على الإجابة لتتحقق من فهمك وتكتشف التفسير النموذجي فورياً:
1
ما قيمة المقدار (64)^(2/3) في ح؟
2
إذا كان 2^(س + 1) = 32، فإن قيمة س تساوي:
3
مجموعة حل المعادلة 3^(س - 2) = 1 في ح هي:
4
إذا كان 5^(س - 4) = 7^(س - 4)، فإن قيمة س هي:
5
ما مجموعة حل المعادلة س^(2/3) = 9 في ح؟
6
إذا كان 2^س = 3، فإن 2^(س + 2) تساوي:
7
حل المعادلة 2^(2س) - 3 × 2^س + 2 = 0 في ح هو:
8
ما الصورة الأسية للمقدار √[5]{س^3} حيث س > 0؟
🎉 تهانينا يا بطل! أتممت جميع محطات الدرس بنجاح باهر وتستحق وسام التميز!