الصف الثاني الثانوي - رياضيات
الوحدة الثانية: التفاضل وحساب المثلثات
حساب المثلثات: قاعدة الجيب (Law of Sines) وحساب أطوال الأضلاع ونصف قطر الدائرة المارة برؤوسه
انقر على أي جملة للاستماع إليها مباشرة 👆
تعد قاعدة الجيب إحدى أهم النظريات الهندسية في حساب المثلثات، حيث تربط بين أطوال أضلاع أي مثلث وجيوب الزوايا المقابلة لها بنسبة ثابتة متكافئة. وتنص النظرية على أنه في أي مثلث أ ب جـ: (أَ / جا أ) = (بَ / جا ب) = (جـَ / جا جـ) = 2 نق، حيث نق هو طول نصف قطر الدائرة الخارجة المارة برؤوس المثلث. وتستخدم قاعدة الجيب لحل المثلث في حالتين أساسيتين: إذا علم قياس زاويتين وطول أي ضلع، أو إذا علم طولا ضلعين وقياس زاوية مقابلة لأحدهما، وفق معايير التقييم الوطنية المعتمدة.
1. نص وصيغة قاعدة الجيب
تناسب تام بين أطوال الأضلاع وجيوب الزوايا المقابلة.
أَ / جا أ = بَ / جا ب = جـَ / جا جـ = 2 نق
حيث نق هو نصف قطر الدائرة المارة برؤوس المثلث أ ب جـ.- أَ: طول الضلع المقابل للزاوية أ (ب جـ).
- بَ: طول الضلع المقابل للزاوية ب (أ جـ).
- جـَ: طول الضلع المقابل للزاوية جـ (أ ب).
- مجموع زوايا المثلث: ق(∠أ) + ق(∠ب) + ق(∠جـ) = 180°.
2. مساحة المثلث ومحيطه وعلاقتهما بنق
تطبيقات هندسية مستنتجة ومباشرة من قاعدة الجيب.
- مساحة المثلث (Δ): نصف حاصل ضرب طولي أي ضلعين في جيب الزاوية المحصورة بينهما:
المساحة = (1/2) أَ بَ جا جـ = (1/2) بَ جـَ جا أ = (1/2) أَ جـَ جا ب. - محيط المثلث: مجموع أطوال أضلاعه:
المحيط = أَ + بَ + جـَ = 2 نق (جا أ + جا ب + جا جـ). - مساحة الدائرة المارة برؤوسه:
م = π نق^2، ومحيطها =2 π نق.
ورشة حل المثلث بالمسائل الهندسية النموذجية (8 تدريبات متدرجة)
بتطبيق قاعدة الجيب: أَ / جا أ = 2 نق ⇒ 10 / جا 45° = 2 نق.
جا 45° = 1/√2 ⇒ 2 نق = 10 × √2 ⇒ نق = 5√2 ≈ 7.07 سم.
بَ / جا ب = 2 نق ⇒ بَ = 2 نق × جا 60° = 10√2 × (√3/2) = 5√6 ≈ 12.25 سم.
جا 45° = 1/√2 ⇒ 2 نق = 10 × √2 ⇒ نق = 5√2 ≈ 7.07 سم.
بَ / جا ب = 2 نق ⇒ بَ = 2 نق × جا 60° = 10√2 × (√3/2) = 5√6 ≈ 12.25 سم.
جميع زوايا المثلث متساوي الأضلاع قياسها 60°.
2 نق = أَ / جا أ = (6√3) / جا 60° = (6√3) / (√3/2) = 6 × 2 = 12 سم. طول القطر = 12 سم (ونق = 6 سم).
2 نق = أَ / جا أ = (6√3) / جا 60° = (6√3) / (√3/2) = 6 × 2 = 12 سم. طول القطر = 12 سم (ونق = 6 سم).
2 نق = أَ / جا أ = 12 / 0.6 = 20 سم ⇒ نق = 10 سم.
مساحة الدائرة = π نق^2 = 3.14 × (10)^2 = 3.14 × 100 = 314 سم^2.
مساحة الدائرة = π نق^2 = 3.14 × (10)^2 = 3.14 × 100 = 314 سم^2.
ق(∠جـ) = 180° - (30° + 105°) = 180° - 135° = 45°.
أَ / جا 30° = جـَ / جا 45° ⇒ أَ = 8 × جا 30° / جا 45° = 8 × (0.5) / (1/√2) = 4√2 سم.
المساحة = (1/2) × أَ × جـَ × جا ب = (1/2) × 4√2 × 8 × جا 105° ≈ 16√2 × 0.9659 ≈ 21.86 سم^2.
أَ / جا 30° = جـَ / جا 45° ⇒ أَ = 8 × جا 30° / جا 45° = 8 × (0.5) / (1/√2) = 4√2 سم.
المساحة = (1/2) × أَ × جـَ × جا ب = (1/2) × 4√2 × 8 × جا 105° ≈ 16√2 × 0.9659 ≈ 21.86 سم^2.
من خواص التناسب: مجموع المقدمات / مجموع التوالي = إحدى النسب.
بما أن أَ/جا أ = بَ/جا ب = 2 نق، فإن (أَ + بَ) / (جا أ + جا ب) = إحدى النسب = 2 نق (وهو المطلوب إثباته).
بما أن أَ/جا أ = بَ/جا ب = 2 نق، فإن (أَ + بَ) / (جا أ + جا ب) = إحدى النسب = 2 نق (وهو المطلوب إثباته).
2 نق = سَ / جا س = 14 / (2/3) = 14 × (3/2) = 21 سم.
محيط الدائرة = 2 π نق = π × (2 نق) = (22/7) × 21 = 22 × 3 = 66 سم.
محيط الدائرة = 2 π نق = π × (2 نق) = (22/7) × 21 = 22 × 3 = 66 سم.
نعلم أن: محيط المثلث / (جا أ + جا ب + جا جـ) = 2 نق.
30 / 1.5 = 2 نق ⇒ 20 = 2 نق ⇒ نق = 10 سم.
30 / 1.5 = 2 نق ⇒ 20 = 2 نق ⇒ نق = 10 سم.
بما أن ق(∠ب) = 90°، فإن بَ هو الوتر، وجا 90° = 1.
بتطبيق قاعدة الجيب: أَ / جا أ = بَ / جا 90° = بَ / 1 ⇒ جا أ = أَ / بَ (المقابل على الوتر).
بتطبيق قاعدة الجيب: أَ / جا أ = بَ / جا 90° = بَ / 1 ⇒ جا أ = أَ / بَ (المقابل على الوتر).
اضغط على أي بطاقة لاكتشاف المعنى الدقيق، واضغط على أيقونة الصوت للاستماع للنطق:
قاعدة الجيب
اضغط لاكتشاف الدلالة والشرح 👆
تناسب أطوال أضلاع المثلث مع جيوب الزوايا المقابلة لها (أَ/جا أ = 2 نق)
💡 إضاءة وتوضيح: نظرية أساسية
الدائرة الخارجة للمثلث
اضغط لاكتشاف الدلالة والشرح 👆
الدائرة التي تمر برؤوس المثلث الثلاثة وتقاطع أعمدتها المنصفة مركزها
💡 إضاءة وتوضيح: شكل هندسي
طول القطر 2 نق
اضغط لاكتشاف الدلالة والشرح 👆
النسبة الثابتة المتساوية في قاعدة الجيب وتساوي النسبة بين أي ضلع وجيب زاويته
💡 إضاءة وتوضيح: مقدار هندسي
حل المثلث
اضغط لاكتشاف الدلالة والشرح 👆
إيجاد قياسات زواياه الثلاث وأطوال أضلاعه الثلاثة المجهولة من معلومات معطاة
💡 إضاءة وتوضيح: عملية رياضية
جيب الزاوية
اضغط لاكتشاف الدلالة والشرح 👆
النسبة المثلثية جا θ وتساوي المقابل على الوتر في المثلث القائم
💡 إضاءة وتوضيح: دالة مثلثية
الزاوية المقابلة
اضغط لاكتشاف الدلالة والشرح 👆
الزاوية المواجهة مباشرة للضلع في المثلث (أ تقابل أَ)
💡 إضاءة وتوضيح: علاقة هندسية
مساحة المثلث
اضغط لاكتشاف الدلالة والشرح 👆
نصف حاصل ضرب طولي أي ضلعين في جيب الزاوية المحصورة بينهما
💡 إضاءة وتوضيح: قانون مساحة
محيط المثلث
اضغط لاكتشاف الدلالة والشرح 👆
مجموع أطوال أضلاعه الثلاثة = 2 نق (جا أ + جا ب + جا جـ)
💡 إضاءة وتوضيح: قانون قياس
المثلث متساوي الأضلاع
اضغط لاكتشاف الدلالة والشرح 👆
مثلث أضلاعه متطابقة وزواياه متساوية قياس كل منها 60°
💡 إضاءة وتوضيح: حالة خاصة
المقدمات والتوالي
اضغط لاكتشاف الدلالة والشرح 👆
خاصية التناسب: مجموع المقدمات على مجموع التوالي يساوي إحدى النسب
💡 إضاءة وتوضيح: خاصية تناسب
الوتر
اضغط لاكتشاف الدلالة والشرح 👆
أطول أضلاع المثلث القائم الزاوية ويقابل الزاوية 90° وهو قطر دائرته الخارجة
💡 إضاءة وتوضيح: ضلع مميز
الأعمدة المنصفة
اضغط لاكتشاف الدلالة والشرح 👆
المستقيمات العمودية على أضلاع المثلث من منتصفاتها وتتلاقى في مركز الدائرة
💡 إضاءة وتوضيح: مفهوم هندسي
التطابق والتناسب
اضغط لاكتشاف الدلالة والشرح 👆
العلاقات الهندسية التي تحكم أشكال المثلثات وتشابهها
💡 إضاءة وتوضيح: هندسة إقليدية
الراديان
اضغط لاكتشاف الدلالة والشرح 👆
القياس الدائري للزاوية المستخدم في بعض حسابات الدوال المثلثية
💡 إضاءة وتوضيح: وحدة قياس
اضغط على الإجابة لتتحقق من فهمك وتكتشف التفسير النموذجي فورياً:
1
في أي مثلث أ ب جـ، النسبة أَ / جا أ تساوي دائماً:
2
مثلث متساوي الأضلاع طول ضلعه 10√3 سم، فإن طول نصف قطر دائرته الخارجة نق يساوي:
3
في المثلث أ ب جـ: ق(∠أ) = 30°، نق = 6 سم، فإن طول الضلع أَ يساوي:
4
إذا كان محيط المثلث أ ب جـ يساوي 24 سم، وجا أ + جا ب + جا جـ = 1.2، فإن قطر دائرته الخارجة يساوي:
5
في المثلث أ ب جـ: أَ = 8 سم، بَ = 5 سم، قياس الزاوية جـ = 30°، فإن مساحة المثلث تساوي:
6
في المثلث أ ب جـ القائم الزاوية في أ، طول قطر الدائرة الخارجة 2 نق يساوي:
7
في المثلث أ ب جـ: جا أ / 3 = جا ب / 4 = جا جـ / 5، فإن أَ : بَ : جـَ تساوي:
8
إذا كان 2 نق = 14 سم في المثلث أ ب جـ، وكانت الزاوية أ = 45°، فإن أَ تساوي:
🎉 تهانينا يا بطل! أتممت جميع محطات الدرس بنجاح باهر وتستحق وسام التميز!