الصف الثاني الثانوي - رياضيات
الوحدة الثانية: التفاضل وحساب المثلثات
قوانين وخواص اللوغاريتمات: لوغاريتم الضرب والقسمة والقوى وتغيير الأساس والمعادلات
انقر على أي جملة للاستماع إليها مباشرة 👆
تعد خواص اللوغاريتمات من أقوى الأدوات الجبرية في تبسيط المقادير الأسية وحل المعادلات المعقدة التي يصعب حلها بالطرق التقليدية. وتستند هذه الخواص إلى تحويل العمليات الحسابية: فلوغاريتم حاصل الضرب يتحول إلى مجموع اللوغاريتمات، ولوغاريتم حاصل القسمة يتحول إلى فرق اللوغاريتمات، وينزل أس المقدار كمعامل مضروب أمام اللوغاريتم، بالإضافة إلى خاصية تغيير الأساس الشهيرة: لو_[ب] (س) = لو_[أ] (س) / لو_[أ] (ب)، وخاصية المعكوس الضربي للأساس، وفق المعايير الوزارية الوطنية المعتمدة.
جدول الخواص الأساسية للوغاريتمات (لكل س، ص > 0، أ > 0، أ ≠ 1)
| اسم الخاصية | الصيغة الجبرية للخاصية | مثال عددي توضيحي |
|---|---|---|
| لوغاريتم الضرب | لو_[أ] (س × ص) = لو_[أ] (س) + لو_[أ] (ص) |
لو_[2] (8 × 4) = لو_[2] (8) + لو_[2] (4) = 3 + 2 = 5. |
| لوغاريتم القسمة | لو_[أ] (س / ص) = لو_[أ] (س) - لو_[أ] (ص) |
لو_[3] (81 / 9) = لو_[3] (81) - لو_[3] (9) = 4 - 2 = 2. |
| لوغاريتم القوة | لو_[أ] (س^ن) = ن × لو_[أ] (س) |
لو_[5] (25^3) = 3 × لو_[5] (25) = 3 × 2 = 6. |
| تغيير الأساس | لو_[ب] (س) = لو (س) / لو (ب) |
لو_[2] (7) = لو 7 / لو 2 (باستخدام الآلة الحاسبة). |
| تبديل الأساس والعدد | لو_[أ] (ب) × لو_[ب] (أ) = 1 ⇒ لو_[أ] (ب) = 1 / لو_[ب] (أ) |
لو_[3] (5) = 1 / لو_[5] (3). |
| القوة في الأساس | أ^(لو_[أ] س) = س |
3^(لو_[3] 7) = 7 مباشرة. |
ورشة حل المعادلات اللوغاريتمية المتقدمة (8 مسائل نموذجية)
الأساس معتاد (10): لو 25 + لو 4 = لو (25 × 4) = لو (100) = لو (10^2) = 2 لو 10 = 2.
بتطبيق خاصية تغيير الأساس:
(لو 3 / لو 2) × (لو 4 / لو 3) × (لو 5 / لو 4) × ... × (لو 8 / لو 7) = لو 8 / لو 2 = لو_[2] (8) = 3.
(لو 3 / لو 2) × (لو 4 / لو 3) × (لو 5 / لو 4) × ... × (لو 8 / لو 7) = لو 8 / لو 2 = لو_[2] (8) = 3.
لو [ (س + 2)(س - 1) ] = 1 ⇒ (س + 2)(س - 1) = 10^1 = 10.
س^2 + س - 2 = 10 ⇒ س^2 + س - 12 = 0 ⇒ (س + 4)(س - 3) = 0.
إما س = -4 (مرفوض؛ لأنه يجعل داخل اللوغاريتم سالباً)، أو س = 3 (مقبول). م.ح = {3}.
س^2 + س - 2 = 10 ⇒ س^2 + س - 12 = 0 ⇒ (س + 4)(س - 3) = 0.
إما س = -4 (مرفوض؛ لأنه يجعل داخل اللوغاريتم سالباً)، أو س = 3 (مقبول). م.ح = {3}.
بأخذ لوغاريتم الطرفين: لو (3^س) = لو 7 ⇒ س × لو 3 = لو 7 ⇒ س = لو 7 / لو 3 ≈ 1.7712.
بالتحليل المباشر: (لو س - 1)(لو س - 2) = 0.
إما لو س = 1 ⇒ س = 10^1 = 10.
أو لو س = 2 ⇒ س = 10^2 = 100. مجموعة الحل = {10، 100}.
إما لو س = 1 ⇒ س = 10^1 = 10.
أو لو س = 2 ⇒ س = 10^2 = 100. مجموعة الحل = {10، 100}.
الطرف الأيمن = (لو ب / لو أ) × (لو جـ / لو ب) × (لو أ / لو جـ) = 1 = الطرف الأيسر (وهو المطلوب إثباته).
نعلم أن لو_[4] (س) = لو_[2^2] (س) = (1/2) لو_[2] (س).
المعادلة: لو_[2] (س) + (1/2) لو_[2] (س) = 3 ⇒ (3/2) لو_[2] (س) = 3 ⇒ لو_[2] (س) = 3 × (2/3) = 2 ⇒ س = 2^2 = 4.
المعادلة: لو_[2] (س) + (1/2) لو_[2] (س) = 3 ⇒ (3/2) لو_[2] (س) = 3 ⇒ لو_[2] (س) = 3 × (2/3) = 2 ⇒ س = 2^2 = 4.
2 لو 5 = لو 5^2 = لو 25.
المقدار = لو 25 + لو 8 - لو 2 = لو ( (25 × 8) / 2 ) = لو (200 / 2) = لو (100) = 2.
المقدار = لو 25 + لو 8 - لو 2 = لو ( (25 × 8) / 2 ) = لو (200 / 2) = لو (100) = 2.
اضغط على أي بطاقة لاكتشاف المعنى الدقيق، واضغط على أيقونة الصوت للاستماع للنطق:
خاصية الضرب
اضغط لاكتشاف الدلالة والشرح 👆
لوغاريتم حاصل ضرب عددين يساوي مجموع لوغاريتميهما (لو س ص = لو س + لو ص)
💡 إضاءة وتوضيح: قانون لوغاريتمي
خاصية القسمة
اضغط لاكتشاف الدلالة والشرح 👆
لوغاريتم حاصل قسمة عددين يساوي لوغاريتم البسط ناقص لوغاريتم المقام
💡 إضاءة وتوضيح: قانون لوغاريتمي
خاصية القوة
اضغط لاكتشاف الدلالة والشرح 👆
إنزال أس المقدار الداخلي كمعامل مضروب أمام اللوغاريتم (لو س^ن = ن لو س)
💡 إضاءة وتوضيح: قانون لوغاريتمي
تغيير الأساس
اضغط لاكتشاف الدلالة والشرح 👆
التعبير عن لوغاريتم بأي أساس آخر بقسمة لوغاريتم العدد على لوغاريتم الأساس
💡 إضاءة وتوضيح: قانون محوري
الأساس المعتاد
اضغط لاكتشاف الدلالة والشرح 👆
الأساس 10 الذي تعتمد عليه الحسابات العشرية وجداول اللوغاريتمات
💡 إضاءة وتوضيح: اصطلاح رياضي
المعكوس الضربي للوغاريتم
اضغط لاكتشاف الدلالة والشرح 👆
لو_[أ] (ب) = 1 / لو_[ب] (أ)
💡 إضاءة وتوضيح: خاصية تبادلية
اللوغاريتم الطبيعي
اضغط لاكتشاف الدلالة والشرح 👆
اللوغاريتم الذي أساسه العدد النيبيري هـ ويكتب عادة لط أو ln
💡 إضاءة وتوضيح: مفهوم متقدم
التحقق من الحل
اضغط لاكتشاف الدلالة والشرح 👆
التأكد من أن القيمة الناتجة تجعل ما بداخل اللوغاريتم أكبر من الصفر
💡 إضاءة وتوضيح: خطوة منهجية
المعادلة اللوغاريتمية التربيعية
اضغط لاكتشاف الدلالة والشرح 👆
معادلة على صورة أس^2 + ب س + جـ حيث المتغير هو لو س
💡 إضاءة وتوضيح: نمط معادلات
الاختزال الحسابي
اضغط لاكتشاف الدلالة والشرح 👆
تبسيط المقادير الطويلة بحذف العوامل المتشابهة في بسط ومقام اللوغاريتمات
💡 إضاءة وتوضيح: مهارة جبرية
أخذ لوغاريتم الطرفين
اضغط لاكتشاف الدلالة والشرح 👆
استراتيجية لحل المعادلات التي يكون فيها المتغير في موضع الأس لأساسات مختلفة
💡 إضاءة وتوضيح: طريقة حل
مجال التعريف
اضغط لاكتشاف الدلالة والشرح 👆
مجموعة القيم المسموح بها للمتغير لضمان عدم وجود لوغاريتم لصفر أو عدد سالب
💡 إضاءة وتوضيح: شرط صحة
التكافؤ الرياضي
اضغط لاكتشاف الدلالة والشرح 👆
تساوي طرفي المعادلة عند تعويض المتغير بالقيمة الصحيحة
💡 إضاءة وتوضيح: حكم رياضي
قوة الأساس
اضغط لاكتشاف الدلالة والشرح 👆
لو_[أ^ك] (س) = (1/ك) لو_[أ] (س)
💡 إضاءة وتوضيح: قاعدة متقدمة
اضغط على الإجابة لتتحقق من فهمك وتكتشف التفسير النموذجي فورياً:
1
ما قيمة المقدار لو 20 + لو 5؟
2
المقدار لو_[3] (5) × لو_[5] (9) يساوي:
3
إذا كان لو 2 = س، لو 3 = ص، فإن لو 6 بدلالة س وص هو:
4
مجموعة حل المعادلة لو_[2] (س) + لو_[2] (س - 2) = 3 في ح هي:
5
ما قيمة 7^(لو_[7] 15)؟
6
إذا كان لو_[2] (س) = 5، فإن قيمة لو_[4] (س) تساوي:
7
المقدار لو (أ / ب) + لو (ب / جـ) + لو (جـ / أ) يساوي دائماً:
8
إذا كان 2^س = 5، فإن س تساوي بالضبط:
🎉 تهانينا يا بطل! أتممت جميع محطات الدرس بنجاح باهر وتستحق وسام التميز!