الصف الثاني الثانوي - رياضيات
الوحدة الثانية: التفاضل وحساب المثلثات
المراجعة الشاملة والتطبيقات العليا للوحدة الثانية وفق معايير التقييم الوطنية
انقر على أي جملة للاستماع إليها مباشرة 👆
نصل في هذه المحطة إلى المراجعة العامة الشاملة لجميع معارف ومفاهيم الوحدة الثانية في الجبر وحساب المثلثات للصف الثاني الثانوي. حيث يتم الدمج الاحترافي بين مهارات حل المعادلات الأسية المعقدة، والتحليل البياني لدوال النمو والاضمحلال الأسي، والتوظيف المتقن لخواص اللوغاريتمات في حل المعادلات اللوغاريتمية من الدرجات العليا، وتطبيقات قاعدة الجيب في الهندسة المستوية وحساب أقطار الدوائر ومساحات المثلثات. وتستهدف هذه المحطة تنمية مستويات التفكير العليا وفق مواصفات الورقة الاختبارية المعتمدة.
ملخص القوانين الجبرية الأساسية
- المعادلات الأسية: إذا تساوت الأساسات تساوت الأسس، وإذا تساوت الأسس اختلفت الأساسات فالأس = 0.
- الدالة الأسية: د(س) = أ^س، مجالها ح، مداها ح+، تقطع محور الصادات عند (0، 1).
- اللوغاريتمات: دالة عكسية للأسية؛ لو (س ص) = لو س + لو ص، لو (س/ص) = لو س - لو ص، لو س^ن = ن لو س.
- تغيير الأساس: لو_[ب] س = لو س / لو ب = 1 / لو_[س] ب.
ملخص حساب المثلثات (قاعدة الجيب)
- قاعدة الجيب:
أَ / جا أ = بَ / جا ب = جـَ / جا جـ = 2 نق. - محيط المثلث:
المحيط = 2 نق (جا أ + جا ب + جا جـ). - مساحة المثلث:
المساحة = (1/2) أَ بَ جا جـ. - مساحة ومحيط الدائرة:
المساحة = π نق^2،المحيط = 2 π نق.
مسائل مهارات التفكير العليا للثانوية العامة (8 مسائل إتقانية)
بأخذ لوغاريتم الطرفين للأساس المعتاد 10:
لو [ س^(لو س) ] = لو (100 س) ⇒ (لو س) × (لو س) = لو 100 + لو س.
(لو س)^2 = 2 + لو س ⇒ (لو س)^2 - لو س - 2 = 0.
(لو س - 2)(لو س + 1) = 0.
إما لو س = 2 ⇒ س = 10^2 = 100.
أو لو س = -1 ⇒ س = 10^(-1) = 0.1. م.ح = {0.1، 100}.
لو [ س^(لو س) ] = لو (100 س) ⇒ (لو س) × (لو س) = لو 100 + لو س.
(لو س)^2 = 2 + لو س ⇒ (لو س)^2 - لو س - 2 = 0.
(لو س - 2)(لو س + 1) = 0.
إما لو س = 2 ⇒ س = 10^2 = 100.
أو لو س = -1 ⇒ س = 10^(-1) = 0.1. م.ح = {0.1، 100}.
لو_[4] (12) = لو_[2] (12) / لو_[2] (4) = [ لو_[2] (4 × 3) ] / 2.
= [ لو_[2] (4) + لو_[2] (3) ] / 2 = [ 2 + س ] / 2 = 1 + (1/2) س.
= [ لو_[2] (4) + لو_[2] (3) ] / 2 = [ 2 + س ] / 2 = 1 + (1/2) س.
من قاعدة الجيب: أَ / جا أ = جـَ / جا جـ ⇒ أَ / (2 جا جـ) = جـَ / جا جـ ⇒ أَ = 2 جـَ.
نعلم أن 2 نق = بَ / جا ب = 6 / جا 60° = 6 / (√3/2) = 4√3 سم.
نعلم أن 2 نق = بَ / جا ب = 6 / جا 60° = 6 / (√3/2) = 4√3 سم.
3 × (3^س)^2 - 10 × (3^س) + 3 = 0.
بوضع ص = 3^س: 3ص^2 - 10ص + 3 = 0 ⇒ (3ص - 1)(ص - 3) = 0.
إما ص = 1/3 = 3^(-1) ⇒ 3^س = 3^(-1) ⇒ س = -1.
أو ص = 3 = 3^1 ⇒ 3^س = 3^1 ⇒ س = 1. مجموعة الحل = {-1، 1}.
بوضع ص = 3^س: 3ص^2 - 10ص + 3 = 0 ⇒ (3ص - 1)(ص - 3) = 0.
إما ص = 1/3 = 3^(-1) ⇒ 3^س = 3^(-1) ⇒ س = -1.
أو ص = 3 = 3^1 ⇒ 3^س = 3^1 ⇒ س = 1. مجموعة الحل = {-1، 1}.
بتطبيق خاصية المعكوس الضربي: 1 / لو_[أ] ب = لو_[ب] أ.
المقدار = لو_[24] (2) + لو_[24] (3) + لو_[24] (4) = لو_[24] (2 × 3 × 4) = لو_[24] (24) = 1.
المقدار = لو_[24] (2) + لو_[24] (3) + لو_[24] (4) = لو_[24] (2 × 3 × 4) = لو_[24] (24) = 1.
المساحة Δ = (1/2) أَ بَ جا جـ ⇒ جا جـ = 2 Δ / (أَ بَ).
وبما أن جـَ / جا جـ = 2 نق ⇒ جـَ = 2 نق × جا جـ = 2 نق × [ 2 Δ / (أَ بَ) ].
أَ × بَ × جـَ = 4 نق Δ = 2 × (2 نق) × Δ = 2 × 10 × 15 = 300.
وبما أن جـَ / جا جـ = 2 نق ⇒ جـَ = 2 نق × جا جـ = 2 نق × [ 2 Δ / (أَ بَ) ].
أَ × بَ × جـَ = 4 نق Δ = 2 × (2 نق) × Δ = 2 × 10 × 15 = 300.
(2 × 5)^س = 0.01 ⇒ 10^س = 1 / 100 = 10^(-2) ⇒ س = -2.
شرط وجود اللوغاريتم: س - 1 > 0 ⇒ س > 1.
حل المتباينة: س - 1 < 2^3 ⇒ س - 1 < 8 ⇒ س < 9.
بالتقاطع: 1 < س < 9 ⇒ مجموعة الحل = الفترة المفتوحة (1، 9).
حل المتباينة: س - 1 < 2^3 ⇒ س - 1 < 8 ⇒ س < 9.
بالتقاطع: 1 < س < 9 ⇒ مجموعة الحل = الفترة المفتوحة (1، 9).
اضغط على أي بطاقة لاكتشاف المعنى الدقيق، واضغط على أيقونة الصوت للاستماع للنطق:
المعادلة الأسية اللوغاريتمية
اضغط لاكتشاف الدلالة والشرح 👆
معادلة يظهر فيها المتغير في موضع الأس ويستخدم اللوغاريتم لحلها
💡 إضاءة وتوضيح: معادلة مركبة
المتباينة اللوغاريتمية
اضغط لاكتشاف الدلالة والشرح 👆
متباينة تتضمن تعابير لوغاريتمية وتراعى فيها شروط المجال واتجاه التباين
💡 إضاءة وتوضيح: متباينة جبرية
معكوس الأساس
اضغط لاكتشاف الدلالة والشرح 👆
خاصية تبديل الأساس بالعدد المعطى (لو_[أ] ب = 1 / لو_[ب] أ)
💡 إضاءة وتوضيح: خاصية لوغاريتمية
قاعدة الجيب العامة
اضغط لاكتشاف الدلالة والشرح 👆
تناسب كل ضلع مع جيب زاويته ومساواة النسبة لقطر الدائرة الخارجة 2 نق
💡 إضاءة وتوضيح: مبرهنة هندسية
مساحة المثلث بدلالة نق
اضغط لاكتشاف الدلالة والشرح 👆
أَ بَ جـَ / 4 نق
💡 إضاءة وتوضيح: قانون هندسي
النمو والاضمحلال
اضغط لاكتشاف الدلالة والشرح 👆
النمذجة الرياضية للتغير الأسي المتسارع في الظواهر الطبيعية
💡 إضاءة وتوضيح: تطبيق علمي
مجموعة الحل في ح
اضغط لاكتشاف الدلالة والشرح 👆
مجموعة الأعداد الحقيقية التي تحقق صحة المعادلة وتحترم شروط المجال
💡 إضاءة وتوضيح: مفهوم جبري
التحويل الهندسي للدوال
اضغط لاكتشاف الدلالة والشرح 👆
الإزاحات الأفقية والرأسية والتمدد والانعكاس لمنحنيات الدوال
💡 إضاءة وتوضيح: هندسة تحليلية
التقاطع مع المحاور
اضغط لاكتشاف الدلالة والشرح 👆
النقاط التي يقطع فيها المنحنى محوري السينات (ص=0) والصادات (س=0)
💡 إضاءة وتوضيح: إحداثيات بيانية
الربح المركب السنوي
اضغط لاكتشاف الدلالة والشرح 👆
جملة المبلغ جـ = أ(1 + ر)^ن
💡 إضاءة وتوضيح: تطبيق اقتصادي
اللوغاريتم العشري المعتاد
اضغط لاكتشاف الدلالة والشرح 👆
لوغاريتم الأساس 10 المستخدم في الحسابات والأرقام القياسية
💡 إضاءة وتوضيح: نظام عددي
المعادلة المتجانسة
اضغط لاكتشاف الدلالة والشرح 👆
معادلة تتساوى فيها درجات الحدود أو يمكن تحويلها لدرجة موحدة
💡 إضاءة وتوضيح: نوع معادلات
الأعداد الحقيقية الموجبة
اضغط لاكتشاف الدلالة والشرح 👆
المجال الطبيعي لدوال اللوغاريتمات والأساسات الأسية ح+
💡 إضاءة وتوضيح: مجموعة عددية
القطر الخارجي
اضغط لاكتشاف الدلالة والشرح 👆
طول قطر الدائرة التي تمر برؤوس المثلث ويساوي 2 نق
💡 إضاءة وتوضيح: عنصر هندسي
اضغط على الإجابة لتتحقق من فهمك وتكتشف التفسير النموذجي فورياً:
1
ما مجموعة حل المعادلة 2^(2س) - 5 × 2^س + 4 = 0 في ح؟
2
قيمة المقدار 1 / لو_[2] (12) + 1 / لو_[3] (12) + 1 / لو_[2] (1) تساوي:
3
في المثلث أ ب جـ، إذا كان أَ = 10 سم، ق(∠أ) = 30°، فإن مساحة الدائرة الخارجة تساوي تقريباً:
4
حل المتباينة لو_[3] (س) ≤ 2 في ح هو:
5
إذا كان 3^س = 5، 5^ص = 9، فإن س × ص تساوي:
6
في أي مثلث أ ب جـ، النسبة (أَ + بَ + جـَ) / (جا أ + جا ب + جا جـ) تساوي:
7
ما قيمة المقدار لو_[2] (3) × لو_[3] (4) × لو_[4] (8)؟
8
إذا كان لو_[س] (81) = 4، فإن س تساوي:
🎉 تهانينا يا بطل! أتممت جميع محطات الدرس بنجاح باهر وتستحق وسام التميز!