الصف الثاني الثانوي - رياضيات
الوحدة الثانية: التفاضل وحساب المثلثات
الدالة الأسية د(س) = أ^س: خصائصها البيانية وتطبيقات النمو والاضمحلال الأسي
انقر على أي جملة للاستماع إليها مباشرة 👆
تعد الدالة الأسية د(س) = أ^س (حيث أ > 0، أ ≠ 1) واحدة من أهم الدوال الرياضية المستخدمة في نمذجة الظواهر الطبيعية والاقتصادية. وتتميز هذه الدالة بنوعين رئيسيين: دالة النمو الأسي عندما يكون الأساس أ > 1، حيث تتزايد الدالة باطراد وتمثل تكاثر الكائنات الحية والربح المركب والتوسع السكاني؛ ودالة الاضمحلال الأسي عندما يكون 0 < أ < 1، حيث تتناقص الدالة باطراد وتمثل تحلل المواد المشعة وفقدان القيمة السوقية للآلات. وتلتزم مناهجنا الوطنية بتقديم هذه المفاهيم برؤية بيداغوجية تطبيقية متكاملة.
1. دالة النمو الأسي (أ > 1)
الدالة التزايدية طوال مجالها ح ولها خط تقارب أفقي.
- المجال والمدى: المجال = ح، المدى = ح+ = (0، ∞).
- نقطة التقاطع الثابتة: تقطع محور الصادات دائماً عند النقطة (0، 1).
- الاضطراد: دالة تزايدية على مجالها ح.
- قانون النمو الأسي:
د(ن) = أ (1 + ر)^نحيث أ القيمة الابتدائية، ر معدل النمو، ن الزمن.
2. دالة الاضمحلال الأسي (0 < أ < 1)
الدالة التناقصية التي تعبر عن التناقص المستمر بنسبة ثابتة.
- الاضطراد: دالة تناقصية على مجالها ح بالكامل.
- التقارب: يقترب المنحنى من محور السينات الموجب دون أن يلمسه أبداً.
- قانون الاضمحلال الأسي:
د(ن) = أ (1 - ر)^نحيث ر نسبة التناقص. - تطبيقات: نصف العمر للعناصر المشعة وهبوط تركيز الدواء في الدم.
قانون الفائدة والربح المركب
جملة المبلغ (جـ): جـ = أ × (1 + ر / س)^(س × ن)
- أ: أصل المبلغ المودع.
- ر: الفائدة السنوية كنسبة عشرية.
- س: عدد فترات إضافة العائد في السنة الواحدة (شهرياً س=12، ربع سنوي س=4، نصف سنوي س=2).
- ن: عدد السنوات الإجمالي.
تطبيقات حياتية واقتصادية على الدوال الأسية (8 تدريبات متقدمة)
الدالة: د(ن) = 1000 × (2)^ن.
بعد ن = 4 ساعات: د(4) = 1000 × 2^4 = 1000 × 16 = 16,000 خلية بكتيرية.
بعد ن = 4 ساعات: د(4) = 1000 × 2^4 = 1000 × 16 = 16,000 خلية بكتيرية.
جـ = أ(1 + ر)^ن = 50,000 × (1 + 0.10)^3 = 50,000 × (1.1)^3 = 50,000 × 1.331 = 66,550 جنيهاً.
دالة الاضمحلال: القيمة = أ(1 - ر)^ن = 400,000 × (1 - 0.15)^2 = 400,000 × (0.85)^2.
(0.85)^2 = 0.7225 ⇒ القيمة = 400,000 × 0.7225 = 289,000 جنيه.
(0.85)^2 = 0.7225 ⇒ القيمة = 400,000 × 0.7225 = 289,000 جنيه.
3^(س + 1) - 3^(س - 1) = 24 ⇒ 3^س × 3 - 3^س × (1/3) = 24.
3^س × (3 - 1/3) = 24 ⇒ 3^س × (8/3) = 24 ⇒ 3^س = 24 × (3/8) = 9 = 3^2 ⇒ س = 2.
3^س × (3 - 1/3) = 24 ⇒ 3^س × (8/3) = 24 ⇒ 3^س = 24 × (3/8) = 9 = 3^2 ⇒ س = 2.
إزاحة أفقية لليمين بمقدار 3 وحدات، وإزاحة رأسية لأعلى بمقدار وحدة واحدة. نقطة تقاطع المحورين تصبح (3، 2).
منحنى 5^س يقترب من ص = 0، وبإزاحة رأسية لأسفل بمقدار 4 وحدات يصبح خط التقارب الأفقي هو المستقيم: ص = -4، والمدى هو (-4، ∞).
إذا كان أ < 0 فإن الأسس الكسرية تؤدي إلى أعداد غير حقيقية مثل (-4)^(1/2)، وإذا كان أ = 1 فإن 1^س = 1 تصبح دالة ثابتة وليست أسية.
عدد فترات نصف العمر ن = 30 / 10 = 3 فترات.
الكتلة المتبقية = 80 × (1/2)^3 = 80 × (1/8) = 10 جرامات.
الكتلة المتبقية = 80 × (1/2)^3 = 80 × (1/8) = 10 جرامات.
اضغط على أي بطاقة لاكتشاف المعنى الدقيق، واضغط على أيقونة الصوت للاستماع للنطق:
الدالة الأسية
اضغط لاكتشاف الدلالة والشرح 👆
دالة رياضية في الصورة د(س) = أ^س حيث أ عدد حقيقي موجب ولا يساوي 1
💡 إضاءة وتوضيح: دالة جبرية
النمو الأسي
اضغط لاكتشاف الدلالة والشرح 👆
تزايد القيمة بمعدل يتناسب مع قيمتها الحالية عندما يكون الأساس أ > 1
💡 إضاءة وتوضيح: ظاهرة نمو
الاضمحلال الأسي
اضغط لاكتشاف الدلالة والشرح 👆
تناقص القيمة بمعدل نسبي ثابت مع مرور الزمن عندما 0 < أ < 1
💡 إضاءة وتوضيح: ظاهرة اضمحلال
الربح المركب
اضغط لاكتشاف الدلالة والشرح 👆
حساب الفائدة على أصل المبلغ وعلى الفوائد المتراكمة عبر الفترات
💡 إضاءة وتوضيح: تطبيق مالي
فترة نصف العمر
اضغط لاكتشاف الدلالة والشرح 👆
الزمن اللازم لتحلل نصف عدد ذرات المادة المشعة الأصلية
💡 إضاءة وتوضيح: تطبيق فيزيائي
خط التقارب
اضغط لاكتشاف الدلالة والشرح 👆
خط مستقيم يقترب منه منحنى الدالة باطراد دون أن يقطعه أو يلمسه
💡 إضاءة وتوضيح: خاصية هندسية
المدى
اضغط لاكتشاف الدلالة والشرح 👆
مجموعة جميع الصور الناتجة عن تطبيق قاعدة الدالة (ح+ للدالة الأسية الأساسية)
💡 إضاءة وتوضيح: مفهوم دالي
القيمة الابتدائية
اضغط لاكتشاف الدلالة والشرح 👆
قيمة الدالة عند بداية القياس والزمن ن = 0 (تقاطع محور الصادات)
💡 إضاءة وتوضيح: معلمة النموذج
نسبة التغير
اضغط لاكتشاف الدلالة والشرح 👆
المعدل النسبي المئوي ر الذي تنمو به الكمية أو تتناقص دورياً
💡 إضاءة وتوضيح: معدل نسبي
الاطراد الأسي
اضغط لاكتشاف الدلالة والشرح 👆
كون الدالة إما تزايدية تماماً أو تناقصية تماماً على كامل مجالها ح
💡 إضاءة وتوضيح: خاصية دالية
التحويل الهندسي
اضغط لاكتشاف الدلالة والشرح 👆
إزاحة أو انعكاس أو تمدد المنحنى البياني الأصلي في المستوى الإحداثي
💡 إضاءة وتوضيح: هندسة تحليلية
الدالة الأحادية
اضغط لاكتشاف الدلالة والشرح 👆
دالة يكون لكل عنصر في المدى صورة لعنصر واحد فقط في المجال
💡 إضاءة وتوضيح: نوع دالة
الأساس الطبيعي
اضغط لاكتشاف الدلالة والشرح 👆
العدد النيبيري هـ (e ≈ 2.718) المستخدم في النمو المستمر
💡 إضاءة وتوضيح: ثابت رياضي
التكاثر الخلوي
اضغط لاكتشاف الدلالة والشرح 👆
نموذج حيوي يتضاعف فيه عدد الخلايا وفق متوالية أسية متسارعة
💡 إضاءة وتوضيح: تطبيق بيولوجي
اضغط على الإجابة لتتحقق من فهمك وتكتشف التفسير النموذجي فورياً:
1
ما مدى الدالة الأسية د(س) = 3^س في ح؟
2
أي من الدوال التالية تمثل دالة اضمحلال أسي؟
3
منحنى الدالة د(س) = 2^س يقطع محور الصادات عند النقطة:
4
إذا كان د(س) = أ^س دالة تزايدية، فإن:
5
أودع شخص 10,000 جنيه في بنك بفائدة سنوية مركبة 8% سنوياً، جملة المبلغ بعد سنة واحدة هي:
6
ما خط التقارب الأفقي لمنحنى الدالة د(س) = 2^(س + 1) + 3؟
7
عينة من عنصر مشع كتلتها 100 جرام، تقل بمعدل النصف كل 5 سنوات. كم يتبقى منها بعد 15 سنة؟
8
إذا كانت د(س) = 5^س، فإن قيمة المقدار د(س + 1) / د(س) تساوي:
🎉 تهانينا يا بطل! أتممت جميع محطات الدرس بنجاح باهر وتستحق وسام التميز!