الصف الثاني الثانوي - رياضيات
الوحدة الثانية: التفاضل وحساب المثلثات
اللوغاريتمات: الدالة العكسية للدالة الأسية والتحويل بين الصورة الأسية واللوغاريتمية
انقر على أي جملة للاستماع إليها مباشرة 👆
يمثل مفهوم اللوغاريتمات إحدى أعظم القفزات الرياضية التي ابتكرها العقل البشري لتسهيل العمليات الحسابية المعقدة واختزال الضرب إلى جمع والقسمة إلى طرح. واللوغاريتم في تعريفه الدقيق هو الدالة العكسية للدالة الأسية؛ فإذا كان أ^ص = س (حيث أ > 0، أ ≠ 1، س > 0)، فإننا نكتب: لو_[أ] (س) = ص، وتقرأ: لوغاريتم س للأساس أ يساوي ص. ويشترط في العدد الواقع داخل اللوغاريتم أن يكون موجباً دائماً، كما يشترط في الأساس أن يكون موجباً ولا يساوي واحداً، وهي الأسس التي تعتمدها النماذج الوزارية المعتمدة.
1. التحويل بين الصورة الأسية واللوغاريتمية
علاقة تكافؤ تامة بين الصورتين للتحويل المتبادل السلس.
أ^ص = س ⇔ لو_[أ] (س) = ص
شروط الصحة: س > 0 (العدد موجب)، أ > 0 و أ ≠ 1 (الأساس موجب ولا يساوي 1).- أمثلة التحويل: 2^3 = 8 ⇔ لو_[2] (8) = 3.
- 10^4 = 10,000 ⇔ لو (10,000) = 4 (اللوغاريتم المعتاد ذو الأساس 10).
- 5^(-2) = 1/25 ⇔ لو_[5] (1/25) = -2.
2. دالة اللوغاريتم كدالة عكسية
انعكاس لمنحنى الدالة الأسية حول المستقيم المحوري ص = س.
- المجال والمدى: مجال دالة اللوغاريتم هو ح+ = (0، ∞)، ومداها هو ح كلها.
- نقطة التقاطع المحورية: تقطع محور السينات دائماً عند (1، 0) لأن لو_[أ] (1) = 0.
- خط التقارب الرأسي: محور الصادات (س = 0) خط تقارب رأسي للدالة اللوغاريتمية.
- الاطراد: تزايدية إذا كان أ > 1، وتناقصية إذا كان 0 < أ < 1.
ورشة تدريبات التحويل وحساب اللوغاريتمات (8 مسائل نوعية)
أ) لو_[3] (243) = 5.
ب) لو_[7] (1) = 0.
ج) لو_[1/2] (16) = -4.
ب) لو_[7] (1) = 0.
ج) لو_[1/2] (16) = -4.
لو_[2] (64): بما أن 2^6 = 64 ⇒ لو_[2] (64) = 6.
لو_[3] (1/81): بما أن 3^(-4) = 1/81 ⇒ لو_[3] (1/81) = -4.
المجموع = 6 + (-4) = 2.
لو_[3] (1/81): بما أن 3^(-4) = 1/81 ⇒ لو_[3] (1/81) = -4.
المجموع = 6 + (-4) = 2.
بالتحويل إلى الصورة الأسية: س^2 = 49 ⇒ س = ± 7.
وبما أن الأساس س يجب أن يكون موجباً ولا يساوي 1 (س > 0)، فإن الحل السالب مرفوض. إذن س = 7. م.ح = {7}.
وبما أن الأساس س يجب أن يكون موجباً ولا يساوي 1 (س > 0)، فإن الحل السالب مرفوض. إذن س = 7. م.ح = {7}.
س - 3 = 2^4 = 16 ⇒ س = 16 + 3 = 19. وبما أن 19 - 3 = 16 > 0، فالحل مقبول وم.ح = {19}.
يشترط أن يكون ما داخل اللوغاريتم موجباً تماماً: س - 5 > 0 ⇒ س > 5.
إذن مجال الدالة هو الفترة المفتوحة: (5، ∞).
إذن مجال الدالة هو الفترة المفتوحة: (5، ∞).
لو_[2] (س) = 5^0 = 1 ⇒ س = 2^1 = 2.
منحنى الدالة العكسية 4^س ومنحنى لو_[4] (س) متماثلان حول المستقيم ص = س ولا يتقاطعان لأن 4^س > س دائماً في الأعداد الحقيقية.
بوضع ص = لو_[ √2 ] (8) ⇒ (√2)^ص = 8 ⇒ (2^(1/2))^ص = 2^3 ⇒ 2^(ص/2) = 2^3 ⇒ ص/2 = 3 ⇒ ص = 6.
اضغط على أي بطاقة لاكتشاف المعنى الدقيق، واضغط على أيقونة الصوت للاستماع للنطق:
اللوغاريتم
اضغط لاكتشاف الدلالة والشرح 👆
الأس الذي يجب أن يرفع إليه الأساس لإنتاج العدد المطلوب (لو_[أ] س = ص)
💡 إضاءة وتوضيح: مفهوم رياضي
اللوغاريتم المعتاد
اضغط لاكتشاف الدلالة والشرح 👆
اللوغاريتم ذو الأساس 10 ويكتب عادة بدون كتابة الأساس (لو س)
💡 إضاءة وتوضيح: اصطلاح رياضي
الدالة العكسية
اضغط لاكتشاف الدلالة والشرح 👆
دالة تعكس تأثير الدالة الأصلية وتبدل المجال بالمدى ومنحناها متماثل حول ص = س
💡 إضاءة وتوضيح: مفهوم دالي
شرط اللوغاريتم
اضغط لاكتشاف الدلالة والشرح 👆
أن يكون العدد سالماً موجباً تماماً (س > 0) والأساس موجباً ولا يساوي 1
💡 إضاءة وتوضيح: شرط جبري
الصورة اللوغاريتمية
اضغط لاكتشاف الدلالة والشرح 👆
صيغة رياضية مكتوبة باستخدام رمز اللوغاريتم المقابل للصورة الأسية
💡 إضاءة وتوضيح: صيغة مكافئة
الصورة الأسية
اضغط لاكتشاف الدلالة والشرح 👆
صيغة جبرية تتضمن أساساً مرفوعاً لقوة صريحاً (أ^ص = س)
💡 إضاءة وتوضيح: صيغة مكافئة
خط التقارب الرأسي
اضغط لاكتشاف الدلالة والشرح 👆
المستقيم س = 0 الذي يقترب منه منحنى اللوغاريتم باطراد دون ملامسة
💡 إضاءة وتوضيح: خاصية بيانية
انعكاس المنحنى
اضغط لاكتشاف الدلالة والشرح 👆
التناظر الهندسي لمنحنيي الدالتين الأسية واللوغاريتمية حول ص = س
💡 إضاءة وتوضيح: تحويل هندسي
الأساس اللوغاريتمي
اضغط لاكتشاف الدلالة والشرح 👆
العدد الثابت المكتوب أسفل رمز اللوغاريتم ويشترط أ > 0 و أ ≠ 1
💡 إضاءة وتوضيح: طرف اللوغاريتم
المعامل اللوغاريتمي
اضغط لاكتشاف الدلالة والشرح 👆
المقدار العددي الواقع أمام اللوغاريتم والمضروب فيه
💡 إضاءة وتوضيح: عنصر جبري
اللوغاريتم الصفري
اضغط لاكتشاف الدلالة والشرح 👆
لوغاريتم العدد 1 لأي أساس موجب غير الواحد يساوي دائماً صفراً
💡 إضاءة وتوضيح: قاعدة أساسية
اللوغاريتم الذاتي
اضغط لاكتشاف الدلالة والشرح 👆
لوغاريتم الأساس لنفسه يساوي دائماً واحداً صحيحاً (لو_[أ] أ = 1)
💡 إضاءة وتوضيح: قاعدة أساسية
المعادلة اللوغاريتمية
اضغط لاكتشاف الدلالة والشرح 👆
معادلة تتضمن المجهول داخل اللوغاريتم أو في أساسه
💡 إضاءة وتوضيح: معادلة جبرية
مجال اللوغاريتم
اضغط لاكتشاف الدلالة والشرح 👆
مجموعة الأعداد الحقيقية التي تجعل ما بداخل اللوغاريتم أكبر من الصفر
💡 إضاءة وتوضيح: نطاق التعريف
اضغط على الإجابة لتتحقق من فهمك وتكتشف التفسير النموذجي فورياً:
1
ما الصورة اللوغاريتمية المعادلة للعلاقة الأسية: 5^3 = 125؟
2
ما قيمة لو_[3] (81)؟
3
مجموعة حل المعادلة لو_[س] (25) = 2 في ح هي:
4
ما مجال الدالة د(س) = لو_[2] (س - 4)؟
5
قيمة لو_[2] (1/16) تساوي:
6
منحنى الدالة د(س) = لو_[3] (س) يقطع محور السينات عند النقطة:
7
إذا كان لو_[4] (س) = 0.5، فإن س تساوي:
8
ما قيمة لو_[أ] (1) لأي أساس أ > 0 و أ ≠ 1؟
🎉 تهانينا يا بطل! أتممت جميع محطات الدرس بنجاح باهر وتستحق وسام التميز!