الفصل الأول - الدرس 2: طرق توصيل المقاومات وحساب المقاومة المكافئة وتجزئة التيار والجهد وحالات إلغاء المقاومة
يمثل توصيل المقاومات على التوالي والتوازي الركيزة الهندسية والتحليلية لتصميم وشبكات الدوائر الكهربية المتطورة. في التوصيل على التوالي، يمر التيار الكهربي نفسه عبر جميع المقاومات بالتتابع، مما يؤدي إلى تجزئة فرق الجهد الكلي وتكوين مقاومة مكافئة أكبر من أكبر مقاومة بالدائرة Req = R1 + R2 + ... + Rn. أما في التوصيل على التوازي، فإن فرق الجهد يظل ثابتاً عبر جميع الفروع، بينما يتجزأ التيار الكلي عكسياً مع قيم المقاومات، محققاً مقاومة مكافئة أصغر من أصغر مقاومة 1/Req = 1/R1 + 1/R2 + ... + 1/Rn، وهو التوصيل المعتمد في المنازل والمصانع لتشغيل كل جهاز بشكل مستقل. ويتطلب حل المسائل المتقدمة إتقان حساب تيار كل فرع، وتطبيق مهارات تحويل الشبكات المعقدة، واستيعاب الحالات الفيزيائية الخاصة لإلغاء المقاومات عند قصرها بسلك عديم المقاومة أو عند تساوي الجهد بين طرفي قنطرة ويتستون المتزنة.
1. التوصيل على التوالي والتوازي: مقارنة شاملة
| وجه المقارنة | التوصيل على التوالي | التوصيل على التوازي |
|---|---|---|
| الهدف | الحصول على مقاومة كبيرة من عدة مقاومات صغيرة | الحصول على مقاومة صغيرة من عدة مقاومات كبيرة |
| شدة التيار | ثابتة في جميع المقاومات: I = I₁ = I₂ = ... |
يتجزأ التيار: I_total = I₁ + I₂ + ... |
| فرق الجهد | يتجزأ طردياً: V_total = V₁ + V₂ + ... |
ثابت عبر الفروع: V = V₁ = V₂ = ... |
| المقاومة المكافئة | R_eq = R₁ + R₂ + ... + R_n |
1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + ... |
| مقاومتان فقط | R_eq = R₁ + R₂ |
R_eq = (R₁ · R₂) / (R₁ + R₂) |
| n مقاومة متماثلة | R_eq = n · R |
R_eq = R / n |
2. قانون تجزئة التيار الكهربي في فروع التوازي
لحساب شدة التيار المار في أي فرع من فروع مجموعة توازي متصلة معاً:
-
لفرعين على التوازي:
I₁ = I_total × [ R₂ / (R₁ + R₂) ]
I₂ = I_total × [ R₁ / (R₁ + R₂) ] -
لأي فرع في عدة فروع:
I_branch = I_total × (R_parallel / R_branch)
3. الحالات الدقيقة لإلغاء المقاومة الكهربية
الحالة الأولى: سلك عديم المقاومة على التوازي
إذا وُصل سلك عديم المقاومة على التوازي مع مقاومة أو مجموعة مقاومات بين نفس النقطتين، يمر التيار بالكامل في السلك لكون مقاومته صفراً، وتُلغى المقاومة تماماً ويصبح فرق الجهد بين طرفيها صفراً.
الحالة الثانية: قنطرة ويتستون المتزنة (تساوي الجهد)
تُلغى المقاومة المتصلة بين نقطتين إذا تساوى الجهد عند طرفيها (V_A = V_B ⇐ ΔV = 0 ⇐ I = 0)، وذلك إذا تحققت نسبة الاتزان R₁ / R₂ = R₃ / R₄ بشرط ألا تكون هذه المقاومة متصلة مباشرة بقطبي المصدر.
تمرين 1: حساب المقاومة المكافئة لمجموعة مختلطة
المسألة: وصلت ثلاث مقاومات (6 Ω، 12 Ω، 4 Ω) معاً بحيث وصلت 6 Ω و 12 Ω على التوازي، ثم اتصلت المجموعة على التوالي مع المقاومة 4 Ω بمصدر كهربي. احسب المقاومة المكافئة للدائرة.
• مكافئ التوازي: R_p = (6 × 12) / (6 + 12) = 72 / 18 = 4 Ω.
• مكافئ التوالي الكلي: R_eq = R_p + 4 = 4 + 4 = 8 Ω.
تمرين 2: تجزئة التيار بين فرعين
المسألة: يدخل تيار كلي مقداره 6 A إلى مجموعة مقاومتين على التوازي قيمتاهما 10 Ω و 20 Ω. احسب شدة التيار المار في كل مقاومة.
• تيار فرع 10 Ω: I₁ = 6 × [20 / (10 + 20)] = 6 × (20 / 30) = 4 A.
• تيار فرع 20 Ω: I₂ = 6 × [10 / (10 + 20)] = 6 × (10 / 30) = 2 A.
• التحقق: I₁ + I₂ = 4 + 2 = 6 A (صحيح).
تمرين 3: إلغاء مقاومة بسلك عديم المقاومة
المسألة: دائرة تحتوي على ثلاث مقاومات متصلة على التوالي (R₁ = 5 Ω، R₂ = 10 Ω، R₃ = 15 Ω). وُصل سلك عديم المقاومة بين طرفي المقاومة R₂. احسب المقاومة المكافئة للدائرة قبل وبعد توصيل السلك.
• قبل توصيل السلك: R_eq = 5 + 10 + 15 = 30 Ω.
• بعد توصيل السلك: يلغي السلك المقاومة R₂ (10 Ω) تماماً لأن تيارها يصبح صفراً.
• المقاومة المكافئة الجديدة: R'_eq = 5 + 15 = 20 Ω.
تمرين 4: قنطرة ويتستون المتزنة
المسألة: وُصلت 5 مقاومات على شكل قنطرة: أذرع القنطرة هي R₁ = 4 Ω، R₂ = 8 Ω، R₃ = 3 Ω، R₄ = 6 Ω، ومقاومة متوسطة R₅ = 7 Ω واصلة بين العقدتين المتوسطتين. يدخل التيار ويخرج من طرفي القنطرة الرئيسيين. احسب المقاومة المكافئة.
• نختبر شرط الاتزان: R₁ / R₂ = 4 / 8 = 1/2، و R₃ / R₄ = 3 / 6 = 1/2.
• بما أن النسبة متساوية، يتساوى جهد طرفي المقاومة R₅ (7 Ω) فتُلغى تماماً.
• الفرع العلوي: 4 + 8 = 12 Ω. الفرع السفلي: 3 + 6 = 9 Ω.
• المقاومة المكافئة: R_eq = (12 × 9) / (12 + 9) = 108 / 21 = 5.14 Ω.
تمرين 5: إيجاد قيمة مقاومة مجهولة بالتوازي
المسألة: مقاومتان R و 12 Ω متصلتان على التوازي، ومقاومتهما المكافئة 4 Ω. احسب قيمة المقاومة المجهولة R.
• R_eq = (R × 12) / (R + 12) = 4.
• 12 R = 4 (R + 12) = 4 R + 48.
• 8 R = 48 ⇐ R = 6 Ω.
تمرين 6: المقاومة المكافئة لشبكة سلكية مغلقة (حلقة دائرية)
المسألة: سلك منتظم المقطع مقاومته الكلية 48 Ω ثُني على شكل حلقة دائرية مغلقة. وُصل قطبا بطارية بين طرفي قطر في الحلقة. احسب المقاومة المكافئة بين قطبي البطارية.
• القطر يقسم الحلقة إلى نصفين متماثلين متصلين على التوازي.
• مقاومة كل نصف: R_half = 48 / 2 = 24 Ω.
• المقاومتان متصلتان على التوازي: R_eq = 24 / 2 = 12 Ω.
تمرين 7: المقاومة المجهولة لتوصيل أجهزة المنازل
المسألة: علل علمياً: تُوصل الأجهزة والمصابيح الكهربية في المنازل على التوازي وليس على التوالي.
• ليعمل كل جهاز على نفس فرق الجهد الاسمي للمصدر (220 V).
• لتقليل المقاومة الكلية للدائرة فتزداد شدة التيار المتاحة ولا تنخفض شدة الإضاءة.
• ليعمل كل جهاز بمفتاح مستقل، فإذا تلف أو انطفأ أحد الأجهزة تظل باقي الأجهزة تعمل.
تمرين 8: استنتاج عدد المصابيح الممكن إضاءتها
المسألة: كم مصباحاً كهربياً متماثلاً مقاومة كل منها 240 Ω يمكن توصيلها على التوازي مع مصدر جهده 120 V دون أن تتجاوز شدة التيار الكلي في الخط الرئيسي 2.5 A؟
• تيار المصباح الواحد: I_lamp = V / R = 120 / 240 = 0.5 A.
• أقصى عدد من المصابيح: N = I_total / I_lamp = 2.5 / 0.5 = 5 مصابيح.
اضغط على أي بطاقة لاكتشاف المعنى الدقيق، واضغط على أيقونة الصوت للاستماع للنطق:
اضغط على الإجابة لتتحقق من فهمك وتكتشف التفسير النموذجي فورياً: