الفصل الأول - الدرس 4: قانون كيرشوف الأول (قانون العقدة) ومبدأ بقاء الشحنة وتطبيقاته في الشبكات المعقدة
يُعد قانون كيرشوف الأول (قانون نقطة التفرع أو العقدة) الأساس الرياضي والفيزيائي لحل وتحليل الشبكات الكهربية المتشعبة التي يتعذر اختزالها بقوانين التوالي والتوازي التقليدية. يستند هذا القانون إلى المبدأ الفيزيائي الخالد: مبدأ بقاء الشحنة الكهربية، والذي يقرر أن الشحنات الكهربية لا تُخلق ولا تفنى ولا تتراكم عند أي نقطة في مسار كهربي مغلق. ينص القانون على أن المجموع الجبري للتيارات الكهربية الداخلة إلى أي نقطة تفرع يساوي المجموع الجبري للتيارات الخارجة منها (Σ I_in = Σ I_out)، أو بصيغة المجموع الجبري الكلي: Σ I = 0 مع اعتبار التيارات الداخلة موجبة والتيارات الخارجة سالبة. ومن خلال إتقان تحديد اتجاهات التيارات المجهولة، وحساب تدفق الشحنات عند العقد متعددة المسارات، يمتلك طالب الثانوية العامة المهارة الجوهرية للتعامل مع الدوائر المعقدة وفق النماذج الوزارية المعتمدة.
1. الأساس العلمي والفيزيائي لقانون كيرشوف الأول
يُعرف أيضاً باسم قانون العقدة (Junction Rule):
- الأساس الفيزيائي: مبدأ حفظ أو بقاء الشحنة الكهربية (Conservation of Electric Charge).
- التعليل العلمي: لأن النقطة (العقدة) في الموصل لا تشحن، ولا تخزن شحنات، ولا تفقدها، فكمية الشحنة الداخلة في وحدة الزمن = كمية الشحنة الخارجة في نفس الزمن (Q_in / t = Q_out / t).
2. قاعدة الإشارات وحساب التيارات المجهولة
لتطبيق الصيغة Σ I = 0 يتم اتباع قاعدة إشارات متسقة:
| اتجاه التيار بالنسبة للعقدة | الإشارة المعتمدة | المدلول الرياضي |
|---|---|---|
| تيار داخل إلى العقدة | موجبة (+ I) | يضيف شحنة إلى نقطة التفرع |
| تيار خارج من العقدة | سالبة (- I) | يسحب شحنة من نقطة التفرع |
ملاحظة هامة: إذا فُرض اتجاه تيار مجهول وكانت النتيجة الحسابية سالبة، دلّ ذلك على أن المقدار صحيح ولكن الاتجاه الفعلي معاكس للاتجاه المفروض.
3. استراتيجية التطبيق في الشبكات متعددة العقد
تحديد العقد (Junctions)
العقدة هي نقطة يلتقي عندها 3 أسلاك (مسارات) أو أكثر. النقاط التي يلتقي عندها سلكان فقط ليست عقداً وإنما توصيل توالي.
عدد المعادلات المستقلة
إذا كان بالشبكة n عقدة رئيسية، فإن عدد معادلات كيرشوف الأول المستقلة هو (n - 1) فقط، والمعادلة الأخيرة تكون معتمدة خطياً.
الربط مع فروق الجهد
يمكن حساب التيارات المجهولة باستخدام جهود النقاط: I = (V_A - V_B) / R حيث يسري التيار من الجهد الأعلى إلى الجهد الأقل.
تمرين 1: حساب تيار مجهول عند عقدة خماسية
المسألة: تلتقي 5 أسلاك عند نقطة تفرع واحدة. التيارات الداخلة إلى النقطة هي: 3 A و 5 A و 4 A. وخرج من النقطة تيار شدته 7 A وسلك خامس به تيار I. أوجد مقدار واتجاه التيار I.
• مجموع التيارات الداخلة المعلومة = 3 + 5 + 4 = 12 A.
• مجموع التيارات الخارجة = 7 + I.
• بتطبيق كيرشوف الأول: Σ I_in = Σ I_out ⇐ 12 = 7 + I ⇐ I = 5 A خارجاً من النقطة.
تمرين 2: استخدام جهود النقط لإيجاد تيار عقدة
المسألة: نقطة O يتفرع منها 3 مسارات: المسار الأول به مقاومة 2 Ω ينتهي عند نقطة A جهدها 10 V، والمسار الثاني به مقاومة 4 Ω ينتهي عند نقطة B جهدها 6 V، والمسار الثالث به مقاومة 1 Ω ينتهي بنقطة C متصلة بالأرض (جهدها 0 V). احسب جهد النقطة O.
• نفرض التيارات خارجة من O: Σ I_out = 0.
• (V_O - 10)/2 + (V_O - 6)/4 + (V_O - 0)/1 = 0.
• بالضرب في 4: 2(V_O - 10) + (V_O - 6) + 4 V_O = 0.
• 2 V_O - 20 + V_O - 6 + 4 V_O = 0 ⇐ 7 V_O = 26 ⇐ V_O ≈ 3.71 V.
تمرين 3: التيارات في شبكة مغلقة متعددة النقاط
المسألة: عند النقطة A دخل تيار 9 A فتفرع إلى مسارين: مسار به 5 A اتجه للنقطة B، ومسار اتجه للنقطة C. عند النقطة B دخل تيار إضافي مقداره 2 A وخرج تيار باتجاه C قدره 3 A وتيار I₁ خرج خارج الشبكة. احسب التيار I₁ والتيار الواصل إلى C.
• عند النقطة A: التيار المتجه إلى C هو 9 - 5 = 4 A.
• عند النقطة B: الداخل = 5 + 2 = 7 A. الخارج = 3 + I₁.
• 7 = 3 + I₁ ⇐ I₁ = 4 A خارجاً من النقطة B.
• التيار الكلي الداخل إلى C = 4 (من A) + 3 (من B) = 7 A.
تمرين 4: شحنة مكثف وتطبيق كيرشوف الأول
المسألة: في دائرة تيار مستمر مستقرة تحتوي على مكثف في أحد الفروع ومقاومات عند عقدة تفرع، كم تبلغ شدة التيار المار في فرع المكثف عند تطبيق قانون كيرشوف الأول؟
• بعد تمام شحن المكثف في دائرة التيار المستمر، يصبح فرق الجهد بين لوحيه مساوياً لفرق جهد المصدر المتصل به.
• يتوقف تدفق الشحنات تماماً، وبالتالي تصبح شدة التيار في فرع المكثف مساوية للصفر (I_c = 0).
• يعامل فرع المكثف كدائرة مفتوحة في معادلة كيرشوف الأول.
تمرين 5: التيارات الداخلة والخارجة بإشارات جبرية
المسألة: تلتقي التيارات الآتية عند عقدة: I₁ = +4 A (داخل)، I₂ = -2 A (مكتوب كداخل بإشارة سالبة)، I₃ = 3 A (خارج)، و I₄ مجهول كتيار خارج. أوجد قيمة I₄.
• التيار الداخل بقيمة سالبة (-2 A) يكافئ فيزيائياً تياراً خارجاً مقداره +2 A.
• التيارات الداخلة: 4 A فقط.
• التيارات الخارجة: 2 + 3 + I₄ = 5 + I₄.
• بتطبيق كيرشوف: 4 = 5 + I₄ ⇐ I₄ = -1 A (أي 1 A داخل إلى العقدة).
تمرين 6: نقطة تأريض وحساب التيار
المسألة: سلك متصل بالأرض عند نقطة G، تفرع منه مسار به تيار 6 A ومسار آخر به تيار 4 A كلاهما يبتعد عن الأرض. احسب شدة واتجاه التيار المار من أو إلى الأرض.
• التيارات الخارجة من نقطة التأريض = 6 + 4 = 10 A.
• طبقاً لحفظ الشحنة، يجب أن يكون هناك تيار داخل مساوٍ للتيار الخارج.
• إذن يتدفق من باطن الأرض إلى نقطة التأريض تيار شدته 10 A.
تمرين 7: اتزان الشحنة في وحدة الزمن
المسألة: إذا دخل 5 × 10¹⁹ إلكترون كل ثانية إلى عقدة كهربية عبر سلك، وتفرعت إلى سلكين يمر بالأول تيار شدته 3.2 A، فما شدة التيار المار بالسلك الثاني؟ (شحنة الإلكترون e = 1.6 × 10⁻¹⁹ C).
• التيار الكلي الداخل: I_total = n · e / t = 5 × 10¹⁹ × 1.6 × 10⁻¹⁹ / 1 = 8 A.
• بتطبيق قانون كيرشوف الأول: I_total = I₁ + I₂.
• 8 = 3.2 + I₂ ⇐ I₂ = 8 - 3.2 = 4.8 A.
تمرين 8: علل لا تشحن نقطة التفرع
المسألة: علل فيزيائياً: لا تتراكم الشحنات الكهربية عند أي نقطة تفرع في دائرة كهربية يسري بها تيار كهربي مستمر.
• لأن معدل دخول الشحنات الكهربية إلى نقطة التفرع يساوي تماماً معدل خروجها منها في نفس اللحظة الزمنية.
• تطبيقاً لمبدأ حفظ الشحنة الكهربية، فالأسلاك والموصلات تظل متعادلة كهربياً ولا تشكل مكثفات تراكم الشحنات في الدوائر المستقرة.
اضغط على أي بطاقة لاكتشاف المعنى الدقيق، واضغط على أيقونة الصوت للاستماع للنطق:
اضغط على الإجابة لتتحقق من فهمك وتكتشف التفسير النموذجي فورياً: