الفصل الأول - الدرس 5: قانون كيرشوف الثاني (قانون المسار المغلق) ومبدأ بقاء الطاقة وحل الشبكات المعقدة
يُعد قانون كيرشوف الثاني (قانون العروة أو المسار المغلق) قمة التحليل الكهروفيزيائي للدوائر الكهربية المركبة متعددة البطاريات والمقاومات. ينبثق هذا القانون من المبدأ الفيزيائي العظيم: مبدأ بقاء أو حفظ الطاقة، والذي يقرر أن الطاقة الكهربية التي تولدها المصادر في أي مسار مغلق يجب أن تكافئ تماماً الطاقة الكهربية المستهلكة في المقاومات داخل هذا المسار. ينص القانون على أن المجموع الجبري للقوى الدافعة الكهربية في أي مسار مغلق يساوي المجموع الجبري لفروق الجهد عبر مقاومات هذا المسار (Σ VB = Σ IR)، أو بصيغة المجموع الجبري الكلي لتغيرات الجهد: Σ ΔV = 0. يتطلب حل الشبكات ثلاثية الحلقات مهارة فائقة في تحديد اتجاهات المسارات الافتراضية، وتطبيق قواعد الإشارات الصارمة للبطاريات والمقاومات، وصياغة المعادلات الخطية الثلاث وحلها باستخدام المحددات أو المصفوفات بالآلة الحاسبة وفق المعايير الوزارية المعتمدة.
1. المفهوم والأساس الفيزيائي لقانون كيرشوف الثاني
يُعرف باسم قانون المسار المغلق أو العروة (Loop Rule):
- الأساس الفيزيائي: مبدأ بقاء أو حفظ الطاقة (Conservation of Energy).
- المدلول الفيزيائي: الشغل المبذول لنقل شحنة في مسار مغلق لتعود إلى نفس النقطة = صفر، لأن المجال الكهربي مجال محافظ وجهد النقطة محدد.
2. القواعد الصارمة لإشارات المسارات
نفرض اتجاهاً دورانياً للمسار (مع عقارب الساعة أو عكسها) ثم نطبق الآتي:
| العنصر | شرط الإشارة الموجبة (+) | شرط الإشارة السالبة (-) |
|---|---|---|
| البطارية (V_B) | إذا تحرك مسارنا داخل البطارية من القطب السالب إلى الموجب (صعود في الجهد) | إذا تحرك مسارنا داخل البطارية من القطب الموجب إلى السالب (هبوط في الجهد) |
| فرق جهد المقاومة (I·R) | إذا كان اتجاه تيار المقاومة متفقاً مع اتجاه مسارنا المفروض | إذا كان اتجاه تيار المقاومة معاكساً لاتجاه مسارنا المفروض |
3. اتزان القدرة الكهربية في الدائرة (Power Conservation)
من أهم طرق التأكد من صحة الحل تطبيق قانون اتزان القدرة: القدرة الكهربية الناتجة من بطاريات التفريغ = القدرة المستهلكة في المقاومات وبطاريات الشحن:
Σ P_produced = Σ P_consumed ⇐ Σ (V_B_discharge · I) = Σ (I² · R) + Σ (V_B_charge · I)
تمرين 1: شبكة كيرشوف ثنائية الحلقات وثلاثة مجاهيل
المسألة: دائرة بها فرعان متصلان بعقدة: الفرع الأيسر به بطارية V_B₁ = 14 V ومقاومة 2 Ω وتياره I₁ لأسفل. الفرع الأوسط به مقاومة 4 Ω وتياره I₂ لأسفل. الفرع الأيمن به بطارية V_B₂ = 10 V ومقاومة 3 Ω وتياره I₃ لأسفل. اكتب المعادلات الثلاث وأوجد التيارات.
• كيرشوف 1 عند العقدة العلوية: I₁ + I₂ + I₃ = 0 (أو بفرض اتجاهات ملائمة: I₁ + I₃ = I₂).
• بفرض I₁ لأسفل، I₃ لأسفل، I₂ لأعلى: I₁ + I₃ = I₂ ⇐ I₁ - I₂ + I₃ = 0.
• حلقة 1 (يسار): 14 = 2 I₁ + 4 I₂.
• حلقة 2 (يمين): 10 = 3 I₃ + 4 I₂.
• بحل المعادلات: I₁ = 3 A، I₂ = 2 A، I₃ = -1 A (أي 1 A لأعلى).
تمرين 2: إيجاد فرق الجهد بين نقطتين في مسار مفتوح
المسألة: جزء من دائرة كهربية يمر به تيار 2 A من A إلى B. يحتوي المسار بالتتابع على: مقاومة 3 Ω، ثم بطارية 12 V (قطبها الموجب نحو A والسالب نحو B)، ثم مقاومة 5 Ω. احسب فرق الجهد بين النقطتين V_A - V_B.
• نبدأ من A إلى B: V_A - I(3) - 12 - I(5) = V_B.
• V_A - 2(3) - 12 - 2(5) = V_B.
• V_A - 6 - 12 - 10 = V_B ⇐ V_A - 28 = V_B.
• إذن فرق الجهد: V_A - V_B = 28 V.
تمرين 3: التحقق من اتزان القدرة الكهربية
المسألة: في الدائرة بالتمرين 1، احسب القدرة الكلية المستمدة من المصادر والقدرة الكلية المستهلكة في المقاومات، وتحقق من تساويهما.
• البطارية 14 V تفرغ تيار 3 A: P₁ = 14 × 3 = 42 W.
• البطارية 10 V تشحن بتيار 1 A: تستهلك قدرة = 10 × 1 = 10 W.
• قدرة المقاومات: I₁² R₁ + I₂² R₂ + I₃² R₃ = (3² × 2) + (2² × 4) + (1² × 3) = 18 + 16 + 3 = 37 W.
• إجمالي القدرة المستهلكة = 37 + 10 = 47 W (مطابقة للقدرة المنتجة في المنظومة).
تمرين 4: إيجاد القوة الدافعة المجهولة في حلقة مغلقة
المسألة: مسار مغلق يحتوي على بطارية مجهولة V_B وبطارية أخرى 6 V متصلتين في نفس الاتجاه، ومقاومتين 4 Ω و 8 Ω يمر فيهما تيار شدته 1.5 A. احسب قيمة V_B.
• بتطبيق كيرشوف 2: Σ V_B = Σ I R.
• V_B + 6 = 1.5 × (4 + 8) = 1.5 × 12 = 18 V.
• V_B = 18 - 6 = 12 V.
تمرين 5: قراءة فولتميتر متصل بين نقطتين في شبكة كيرشوف
المسألة: في شبكة كهربية وجد أن جهد النقطة X يساوي 15 V وجهد النقطة Y يساوي 9 V. وُصل فولتميتر بين النقطتين X و Y، فما هي قراءته؟
• الفولتميتر يقيس دائماً فرق الجهد المطلق بين النقطتين: V_XY = |V_X - V_Y|.
• V_XY = 15 - 9 = 6 V.
تمرين 6: شحنة مكثف في شبكة كيرشوف
المسألة: في مسار مغلق يحتوي على بطارية 10 V ومقاومة 5 Ω ومكثف سعته 2 μF، بعد استقرار التيار احسب فرق الجهد بين لوحي المكثف وشحنته.
• بعد الاستقرار ينعدم التيار (I = 0)، فلا يوجد هبوط في جهد المقاومة (I R = 0).
• طبقاً لكيرشوف الثاني: V_B = V_c ⇐ V_c = 10 V.
• شحنة المكثف: Q = C × V_c = 2 × 10⁻⁶ × 10 = 20 μC.
تمرين 7: حلقة كيرشوف تخلو من البطاريات
المسألة: مسار مغلق يخلو تماماً من أي مصدر للجهد (Σ V_B = 0)، به ثلاث مقاومات يمر بها التيارات I₁ و I₂ و I₃. ماذا تقرر معادلة كيرشوف الثاني لهذا المسار؟
• Σ V_B = Σ I R ⇐ 0 = I₁ R₁ + I₂ R₂ + I₃ R₃.
• يعني ذلك حتمية وجود تيار واحد على الأقل يعاكس اتجاه المسار المفروض لتكون إشارته سالبة حتى يتعادل المجموع مع الصفر.
تمرين 8: علل تطبيق كيرشوف الثاني لا يتأثر باختيار نقطة البداية
المسألة: علل فيزيائياً: لا يتغير ناتج تطبيق قانون كيرشوف الثاني في مسار مغلق بتغير نقطة البداية التي ننطلق منها في الدوران.
• لأن المسار مغلق والدوران يعود بنا لنفس النقطة الابتدائية.
• ولأن المجال الكهربي مجال قوى محافظ، فالتغير الكلي في الجهد عبر أي مسار مغلق يساوي صفراً دائماً (Σ ΔV = 0).
اضغط على أي بطاقة لاكتشاف المعنى الدقيق، واضغط على أيقونة الصوت للاستماع للنطق:
اضغط على الإجابة لتتحقق من فهمك وتكتشف التفسير النموذجي فورياً: