الدرس الثالث: معامل ارتباط الرتب لسبيرمان (البيانات الكمية والوصفية وحساب فروق الرتب)
يتميز معامل ارتباط الرتب لسبيرمان بمرونته الفائقة وقدرته الاستثنائية على قياس قوة واتجاه الارتباط بين المتغيرات الإحصائية، سواء كانت كمية عددية أو وصفية ترتيبية، مما يجعله بديلاً علمياً مثالياً لمعامل بيرسون عندما تكون البيانات ممثلة في تقديرات نوعية غير رقمية مثل: (ممتاز، جيد جداً، جيد، مقبول، ضعيف). يعتمد سبيرمان على استبدال القيم الأصلية برتبها التسلسلية التصاعدية أو التنازلية، مع معالجة القيم المكررة باحتساب متوسط المراكز المشغولة بدقة، ثم حساب فروق الرتب المتناظرة ف. ويخضع هذا المقياس لخاصية التحقق الحسابي الذاتي الإلزامية التي تنص على أن مجموع فروق الرتب يساوي صفراً دائماً (Σ ف = 0)، قبل التعويض في صيغته المعتمدة لحساب معامل الارتباط بدقة متناهية وفق النماذج الوزارية الرسمية.
1. القانون الرياضي لمعامل ارتباط سبيرمان
يُحسب معامل ارتباط الرتب لسبيرمان بالصيغة المعتمدة:
Σ ف = 0. إذا لم يكن المجموع صفراً، فهناك خطأ حتمي في تحديد الرتب أو في عملية الطرح.
2. المنهجية المعتمدة لترتيب وتوزيع الرتب والرتب المكررة
- الترتيب التصاعدي أو التنازلي: يتم ترتيب قيم س (من الأصغر للأكبر أو العكس) وترقيم مراكزها (1، 2، 3، ...). ويُشترط استخدام نفس اتجاه الترتيب للمتغير ص.
- معالجة القيم المكررة (الرتب المشتركة): إذا تكررت قيمة معينة أكثر من مرة، فإنها تأخذ متوسط الرتب التي تشغلها هذه التكرارات.
مثال على الرتب المكررة:
إذا كانت قيم س هي: 10، 15، 15، 20. عند الترتيب تصاعدياً: القيمة 10 تشغل المركز 1 (رتبتها = 1). القيمة 15 تشغل المركزين 2 و 3، فتأخذ كل منهما متوسط الرتبتين: (2 + 3) / 2 = 2.5. القيمة 20 تشغل المركز 4 (رتبتها = 4).
3. تطبيق سبيرمان على البيانات الوصفية (التقديرات)
تقديرات الطلاب تُرتب منطقياً: ضعيف (1)، مقبول (2)، جيد (3)، جيد جداً (4)، ممتاز (5):
| الطالب | تقدير الرياضيات (س) | رتبة س | تقدير الإحصاء (ص) | رتبة ص | ف = رتبة س - رتبة ص | ف² |
|---|---|---|---|---|---|---|
| أ | ممتاز | 4 | جيد جداً | 3 | +1 | 1 |
| ب | جيد جداً | 3 | ممتاز | 4 | -1 | 1 |
| ج | جيد | 2 | جيد | 2 | 0 | 0 |
| د | مقبول | 1 | مقبول | 1 | 0 | 0 |
| المجموع | - | - | - | - | Σ ف = 0 (تحقق تام) | Σ ف² = 2 |
ر = 1 - (12 / 60) = 1 - 0.2 = +0.80 ⇐ ارتباط طردي قوي.
مسائل وزارية تدريبية محلولة
مسألة 1: حساب معامل سبيرمان من المعطيات المباشرة
المعطيات: عينة مكونة من ن = 6 أزواج من البيانات، وكان مجموع مربعات فروق الرتب Σ ف² = 7. احسب معامل سبيرمان.
التعويض في القانون: ر = 1 - [ 6 × 7 ] / [ 6(36 - 1) ] = 1 - [ 42 ] / [ 6 × 35 ] = 1 - [ 42 / 210 ] = 1 - 0.2 = +0.8.
نوع ودرجة الارتباط: طردي قوي.
مسألة 2: إيجاد مجهول باستخدام خاصية Σ ف = 0
إذا كانت فروق الرتب لخمسة أزواج من البيانات هي: +2 ، -1 ، +3 ، -2 ، ك. فما قيمة ك؟
الحل: Σ ف = 0 ⇐ 2 - 1 + 3 - 2 + ك = 0 ⇐ 2 + ك = 0 ⇐ ك = -2.
اضغط على أي بطاقة لاكتشاف المعنى الدقيق، واضغط على أيقونة الصوت للاستماع للنطق:
اضغط على الإجابة لتتحقق من فهمك وتكتشف التفسير النموذجي فورياً: