الدرس الرابع: معادلة خط انحدار ص على س (تقدير معلمات الخط، معامل الانحدار، والتنبؤ الإحصائي)
يُمثّل تحليل الانحدار الخطي البسيط الجناح التطبيقي والتنبؤي المكمل لنظرية الارتباط؛ فبينما يكتفي الارتباط بتحديد نوع وقوة العلاقة بين متغيرين، يهدف الانحدار إلى صياغة نموذج رياضي وظيفي دقيق يُمكننا من التنبؤ بالقيم المستقبلية للمتغير التابع (ص) بمعلومية قيم المتغير المستقل المفسر (س). تتخذ معادلة خط انحدار ص على س الصورة القياسية المعتمدة: ص̂ = أ + ب س، حيث يُمثل المعامل (ب) ميل خط الانحدار ومعدل التغير اللحظي، بينما يُمثل الثابت (أ) الجزء المقطوع من محور الصادات. يربط بين معاملي الارتباط والانحدار تطابق قطعي وتام في الإشارة الرياضية، كما يتميز خط الانحدار بخاصية هندسية محورية تتمثل في مروره الحتمي بنقطة المتوسطين الحسابيين (س̄، ص̄)، مما يمنح النموذج الإحصائي دقة وموثوقية فائقة وفق المعايير الوزارية المعتمدة.
1. الصورة القياسية لمعادلة خط انحدار ص على س
2. قوانين حساب معلمات خط الانحدار (ب و أ)
قانون معامل الانحدار (ب)
ملاحظة هامة: بسط معامل الانحدار (ب) هو نفس بسط معامل بيرسون، ومقامه هو ما تحت الجذر الخاص بـ س في قانون بيرسون بدون علامة الجذر.
قانون الجزء المقطوع (أ)
حيث ص̄ هو المتوسط الحسابي لـ ص (Σ ص / ن)، و س̄ هو المتوسط الحسابي لـ س (Σ س / ن).
3. الخصائص الهندسية والإحصائية لخط الانحدار
- المرور بنقطة المتوسطين: خط انحدار ص على س يمر حتماً بالنقطة الإحداثية
(س̄ ، ص̄). - التطابق الإشاري مع معامل بيرسون: إشارة معامل الانحدار (ب) وإشارة معامل ارتباط بيرسون (ر) متطابقتان دائماً:
- إذا كان
ب > 0فإنر > 0(الارتباط طردي). - إذا كان
ب < 0فإنر < 0(الارتباط عكسي). - إذا كان
ب = 0فإنر = 0(الارتباط منعدم).
- إذا كان
- التنبؤ بقيمة ص: يتم بالتعويض المباشر عن قيمة س المعطاة في معادلة الانحدار لاستخراج ص̂.
مسألة امتحانية نموذجية محلولة بالكامل
استنتاج معادلة خط الانحدار والتنبؤ
المعطيات: ن = 10 ، Σ س = 50 ، Σ ص = 80 ، Σ س² = 300 ، Σ س ص = 440.
- حساب ب:
[ 10(440) - (50)(80) ] / [ 10(300) - (50)² ] = [ 4400 - 4000 ] / [ 3000 - 2500 ] = 400 / 500 = 0.8. - حساب أ:
[ 80 - 0.8(50) ] / 10 = [ 80 - 40 ] / 10 = 40 / 10 = 4. - معادلة خط الانحدار: ص̂ = 4 + 0.8 س.
- التنبؤ بقيمة ص عند س = 10:
ص̂ = 4 + 0.8(10) = 4 + 8 = 12.
التحقق من نقطة المتوسطين: س̄ = 50/10 = 5 ، ص̄ = 80/10 = 8. بالتعويض: ص̂ = 4 + 0.8(5) = 4 + 4 = 8 = ص̄ (تحقق تام!).
اضغط على أي بطاقة لاكتشاف المعنى الدقيق، واضغط على أيقونة الصوت للاستماع للنطق:
اضغط على الإجابة لتتحقق من فهمك وتكتشف التفسير النموذجي فورياً: