مسلمات الاحتمال الأساسية وقوانين الاتحاد والتقاطع والفرق والمكملة
يُمثل علم الاحتمالات الإطار الرياضي الصارم لقياس وتفسير حالات عدم اليقين والتنبؤ بالظواهر العشوائية في مختلف مجالات الحياة. يرتكز الحساب الاحتمالي على مفهوم التجربة العشوائية (Random Experiment) وفضاء العينة (Sample Space S) الذي يضم جميع النواتج الممكنة للتجربة. يخضع احتمال أي حدث عشوائي A لمسلمات كولموجوروف البديهية: 0 ≤ P(A) ≤ 1، حيث يمثل احتمال الحدث المؤكد P(S) = 1 واحتمال الحدث المستحيل P(∅) = 0. وتُبنى العمليات الاحتمالية المركبة على قوانين جبر الأحداث الرياضي؛ كقانون الاتحاد لحساب احتمال وقوع أحد الحدثين على الأقل P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)، وقانون الحدث المكمل لحساب احتمال عدم وقوع الحدث P(A') = 1 - P(A)، وقانون الفرق P(A - B) لحساب احتمال وقوع الحدث A فقط دون وقوع الحدث B.
1. مسلمات وقوانين الاحتمال الأساسية
- مدى الاحتمال: لأي حدث A:
0 ≤ P(A) ≤ 1. - الحدث المؤكد:
P(S) = 1. - الحدث المستحيل:
P(∅) = 0. - الحدث المكمل (A'): احتمال عدم وقوع الحدث A:
P(A') = 1 - P(A).
2. قوانين العمليات على الأحداث
1) قانون الاتحاد (وقوع أحد الحدثين على الأقل):
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)
إذا كان الحدثان متنافيين (A ∩ B = ∅) فإن P(A ∩ B) = 0 ويصبح P(A ∪ B) = P(A) + P(B).
2) قانون الفرق (وقوع الحدث A فقط دون B):
P(A - B) = P(A) - P(A ∩ B) = P(A ∩ B')
3) قوانين دي مورجان (De Morgan's Laws):
- عدم وقوع أي من الحدثين (A ولا B):
P(A' ∩ B') = P((A ∪ B)') = 1 - P(A ∪ B). - عدم وقوع الحدثين معاً:
P(A' ∪ B') = P((A ∩ B)') = 1 - P(A ∩ B).
P(A) = 0.6 و P(B) = 0.5 و P(A ∩ B) = 0.3. احسب:1) احتمال وقوع أحد الحدثين على الأقل P(A ∪ B).
2) احتمال وقوع الحدث A فقط P(A - B).
3) احتمال عدم وقوع أي من الحدثين P(A' ∩ B').
الحل:
1)
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) = 0.6 + 0.5 - 0.3 = 0.8.2)
P(A - B) = P(A) - P(A ∩ B) = 0.6 - 0.3 = 0.3.3)
P(A' ∩ B') = 1 - P(A ∪ B) = 1 - 0.8 = 0.2.
الحل: احتمال وقوع أحدهما فقط =
P(A - B) + P(B - A) = P(A ∪ B) - P(A ∩ B).وبالتعويض بالقيم السابقة: 0.8 - 0.3 = 0.5.
اضغط على أي بطاقة لاكتشاف المعنى الدقيق، واضغط على أيقونة الصوت للاستماع للنطق:
اضغط على الإجابة لتتحقق من فهمك وتكتشف التفسير النموذجي فورياً: