التمثيل الشجري للمسارات الاحتمالية المتعددة المراحل وحساب الاحتمال الكلي
تُمثل شجرة الاحتمالات (Probability Tree Diagram) الأداة البصرية والهندسية الأقوى لنمذجة وحل التجارب الاحتمالية المعقدة والمتعددة المراحل، حيث تتيح تفكيك المسألة إلى مسارات بيانية واضحة تبدأ بنقطة الأصل وتتفرع عبر أغصان تمثل نواتج المرحلة الأولى متبوعة بفروع المراحل التالية. تعتمد الشجرة الاحتمالية على قاعدتين ذهبيتين لا حياد عنهما: قاعدة الضرب عبر المسار الواحد؛ حيث يُحسب احتمال أي ناتج نهائي بضرب الاحتمالات الموضوعة على طول فروع مساره المتتابع، وقاعدة الجمع عبر المسارات البديلة؛ حيث يُحسب احتمال أي حدث مركب بجمع احتمالات جميع المسارات المؤدية لتحققه. كما تضمن الشجرة اتساق الحل؛ حيث يجب أن يكون مجموع احتمالات الفروع الخارجة من أي عقدة مساوياً للواحد الصحيح، مما يجعلها النموذج المثالي لمعالجة مسائل السحب التتابعي مع وبدون إحلال ومسائل المصانع والآلات المتعددة.
1. قواعد التعامل مع شجرة الاحتمالات
1) قاعدة الضرب (على نفس المسار):
احتمال الوصول إلى نهاية أي مسار محدد يساوي حاصل ضرب الاحتمالات المحمولة على فروع هذا المسار بالتتابع: P(Path) = P(Branch 1) × P(Branch 2).
2) قاعدة الجمع (للمسارات المتفرقة):
احتمال وقوع حدث مركب يتحقق بأكثر من مسار يساوي مجموع احتمالات تلك المسارات البديلة.
شرط الاتزان: مجموع الاحتمالات على جميع الفروع المتفرعة من نفس النقطة (العقدة) يجب أن يساوي دائماً 1 صحيحاً.
الحل بواسطة الشجرة:
العدد الكلي = 8 كرات.
- المسار 1 (بيضاء ثم بيضاء W1 ∩ W2):
(5/8) × (4/7) = 20 / 56.- المسار 2 (سوداء ثم سوداء B1 ∩ B2):
(3/8) × (2/7) = 6 / 56.احتمال أن تكونا من نفس اللون = مسار (W,W) + مسار (B,B) =
(20/56) + (6/56) = 26 / 56 = 13 / 28 ≈ 0.464.
الحل:
- معيبة من الآلة A:
0.60 × 0.02 = 0.012.- معيبة من الآلة B:
0.40 × 0.05 = 0.020.احتمال أن تكون الوحدة معيبة =
0.012 + 0.020 = 0.032 (أي 3.2%).
اضغط على أي بطاقة لاكتشاف المعنى الدقيق، واضغط على أيقونة الصوت للاستماع للنطق:
اضغط على الإجابة لتتحقق من فهمك وتكتشف التفسير النموذجي فورياً: