الصف الثالث الثانوي - إحصاء
الوحدة الثانية: الاحتمال الشرطي والأحداث المستقلة
الربط الشامل لقوانين الاحتمال والمسائل المركبة للثانوية العامة
انقر على أي جملة للاستماع إليها مباشرة 👆
تُمثل هذه المراجعة التخصصية الشاملة للوحدة الثانية في الإحصاء (الاحتمال الشرطي والأحداث المستقلة) المحطة النهائية للتفوق والتمكن الإحصائي. حيث يتم دمج القوانين الكلاسيكية لجبر الأحداث (الاتحاد، التقاطع، الفرق، والمكملة) مع القوانين المتقدمة للاحتمال الشرطي والاستقلال. تركز المراجعة على تدريب الطالب على التعامل مع مسائل المستويات العليا التي تجمع بين شروط متعددة؛ كمسائل السحب المركب بشرط ناتج معين، ومسائل الفضاءات المتغيرة، والمسائل اللفظية ذات الصياغات الدقيقة التي تتطلب تحديد 'الحدث المشروط' وفصله عن 'الحدث المستهدف' بدقة بالغة دون أي خلط أو التباس، مع مراعاة أعلى معايير الدقة الرياضية المعتمدة في الاختبارات الوزارية الرسمية.
1. جدول القوانين الإحصائية الذهبية للوحدة الثانية
| القانون الإحصائي | الصيغة الرياضية المعتمدة | ملاحظات التطبيق والشروط |
|---|---|---|
| الاحتمال الشرطي | P(A | B) = P(A ∩ B) / P(B) |
يشترط P(B) > 0، و B هو الحدث الذي وقع بالفعل |
| قاعدة الضرب العامة | P(A ∩ B) = P(B) · P(A | B) |
تصلح لجميع الأحداث سواء كانت مستقلة أو تابعة |
| شرط الأحداث المستقلة | P(A ∩ B) = P(A) · P(B) |
يكافئ تماماً P(A | B) = P(A) و P(B | A) = P(B) |
| الحدثان المتنافيان | P(A ∩ B) = 0 |
يستحيل وقوعهما معاً، و P(A ∪ B) = P(A) + P(B) |
| مكملة الاحتمال الشرطي | P(A' | B) = 1 - P(A | B) |
المكملة تؤخذ بالنسبة للحدث المستهدف A وليس للشرط B |
| قانون دي مورجان | P(A' ∩ B') = 1 - P(A ∪ B) |
احتمال عدم وقوع أي من الحدثين (A ولا B) |
المسألة: إذا كان A و B حدثين مستقلين في فضاء عينة وكان
الحل:
بما أن الحدثين مستقلان، فإن
من قانون الاتحاد:
لحساب
P(A) = 0.3 و P(A ∪ B) = 0.65. احسب قيمة P(B) ثم أوجد P(A | B').الحل:
بما أن الحدثين مستقلان، فإن
P(A ∩ B) = P(A) · P(B) = 0.3 P(B).من قانون الاتحاد:
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)0.65 = 0.3 + P(B) - 0.3 P(B) ⟹ 0.35 = 0.7 P(B) ⟹ P(B) = 0.35 / 0.7 = 0.5.لحساب
P(A | B'): بما أن A و B مستقلان، فإن A و B' مستقلان أيضاً، وبالتالي P(A | B') = P(A) = 0.3 مباشرة!
المسألة: صفيحة بها 5 بطاقات مرقمة من 1 إلى 5. سُحبت بطاقتان على التوالي دون إرجاع. ما احتمال أن يكون مجموع الرقمين زوجياً علماً بأن البطاقة الأولى كانت فردية؟
الحل:
الأرقام الفردية: {1, 3, 5} (3 بطاقات). الأرقام الزوجية: {2, 4} (بطاقتان).
الشرط: الأولى فردية (سُحبت بطاقة فردية وتبقى 4 بطاقات: 2 فردي و 2 زوجي).
لكي يكون المجموع زوجياً بعد سحب بطاقة فردية أولى، يجب أن تكون البطاقة الثانية فردية أيضاً (فردي + فردي = زوجي).
عدد البطاقات الفردية المتبقية = 2 من أصل 4 بطاقات متبقية في الصفيحة.
إذن الاحتمال الشرطي =
الحل:
الأرقام الفردية: {1, 3, 5} (3 بطاقات). الأرقام الزوجية: {2, 4} (بطاقتان).
الشرط: الأولى فردية (سُحبت بطاقة فردية وتبقى 4 بطاقات: 2 فردي و 2 زوجي).
لكي يكون المجموع زوجياً بعد سحب بطاقة فردية أولى، يجب أن تكون البطاقة الثانية فردية أيضاً (فردي + فردي = زوجي).
عدد البطاقات الفردية المتبقية = 2 من أصل 4 بطاقات متبقية في الصفيحة.
إذن الاحتمال الشرطي =
2 / 4 = 1 / 2 = 0.5.
اضغط على أي بطاقة لاكتشاف المعنى الدقيق، واضغط على أيقونة الصوت للاستماع للنطق:
الحدث المشروط المعكوس
اضغط لاكتشاف الدلالة والشرح 👆
P(B|A) مقارنة بـ P(A|B) ويختلفان في القيمة ما لم يكن P(A)=P(B)
💡 إضاءة وتوضيح: Inverse conditional
الاستقلال التام
اضغط لاكتشاف الدلالة والشرح 👆
استقلال مجموعة من الأحداث ثنائياً وجماعياً في آن واحد
💡 إضاءة وتوضيح: Mutual independence
جبر الأحداث
اضغط لاكتشاف الدلالة والشرح 👆
المجموعة الرياضية للعمليات المنطقية على المجموعات والأحداث الاحتمالية
💡 إضاءة وتوضيح: Algebra of events
المسار البديل
اضغط لاكتشاف الدلالة والشرح 👆
طريق احتمالي آخر يؤدي لتحقيق نفس النتيجة المطلوبة في الشجرة
💡 إضاءة وتوضيح: Alternative path
الاحتمال الحدي
اضغط لاكتشاف الدلالة والشرح 👆
الاحتمال الإجمالي لحدث مفرد بغض النظر عن المتغيرات الأخرى المقترنة به
💡 إضاءة وتوضيح: Marginal probability
التكافؤ الاحتمالي
اضغط لاكتشاف الدلالة والشرح 👆
تساوي احتمالي حدثين مختلفين في فضاء العينة P(A) = P(B)
💡 إضاءة وتوضيح: Equiprobability
الحد الأدنى للاحتمال
اضغط لاكتشاف الدلالة والشرح 👆
أقل قيمة ممكنة لاحتمال التقاطع أو الاتحاد تحت معطيات محددة
💡 إضاءة وتوضيح: Probability bounds
التوزيع التكراري النسبي
اضغط لاكتشاف الدلالة والشرح 👆
جدول يوضح نسب تكرار كل قيمة إلى التكرار الكلي
💡 إضاءة وتوضيح: Relative frequency distribution
الحدث البسيط
اضغط لاكتشاف الدلالة والشرح 👆
حدث يتكون من عنصر واحد فقط من عناصر فضاء العينة
💡 إضاءة وتوضيح: Elementary event
الحدث المركب
اضغط لاكتشاف الدلالة والشرح 👆
حدث يتكون من عنصرين أو أكثر من عناصر فضاء العينة
💡 إضاءة وتوضيح: Compound event
تقليص فضاء العينة
اضغط لاكتشاف الدلالة والشرح 👆
حصر نتائج التجربة داخل حدود الحدث المشروط B فقط
💡 إضاءة وتوضيح: Sample space restriction
النموذج الاحتمالي
اضغط لاكتشاف الدلالة والشرح 👆
التوصيف الرياضي الكامل لعناصر فضاء العينة وقيم احتمالاتها
💡 إضاءة وتوضيح: Probabilistic model
اضغط على الإجابة لتتحقق من فهمك وتكتشف التفسير النموذجي فورياً:
1
إذا كان A و B حدثين مستقلين في فضاء عينة وكان P(A) = 0.4 و P(B) = 0.5، فإن P(A' ∩ B) يساوي:
2
إذا كان P(A | B) = 0.7 و P(B) = 0.4، فإن P(A ∩ B) يساوي:
3
إذا كان A و B حدثين مستقلين وكان P(A) = 0.6 و P(B) = 0.3، فإن P(A | B') يساوي:
4
إذا كان P(A) = 0.5 و P(B) = 0.4 و P(B | A) = 0.6، فإن P(A ∩ B) يساوي:
5
إذا كان A و B حدثين متنافيين في فضاء عينة وكان P(B) = 0.4، فإن P(A | B) يساوي:
6
إذا كان P(A ∩ B) = 0.15 و P(A | B) = 0.3، فإن P(B) يساوي:
7
في تجربة إلقاء قطعتي نقود متمايزتين، ما احتمال ظهور صورتين علماً بأن إحداهما على الأقل صورة؟
8
إذا كان P(A) = 0.4 و P(B) = 0.7 و P(A ∪ B) = 0.82، فإن الحدثين A و B يكونان:
🎉 تهانينا يا بطل! أتممت جميع محطات الدرس بنجاح باهر وتستحق وسام التميز!