حساب احتمال وقوع حدث بشرط وقوع حدث آخر وقواعده الأساسية
يُمثل الاحتمال الشرطي (Conditional Probability) نقلة نوعية في علم الإحصاء التطبيقي، حيث يتعامل مع المواقف التي تتوفر فيها معلومات إضافية سابقة تُقلص وتُعدل فضاء العينة الأصلي للتجربة. يُعرّف الاحتمال الشرطي للحدث A بشرط وقوع الحدث B (ويُرمز له بالرمز P(A|B)) بأنه احتمال وقوع A مع العلم المؤكد بأن الحدث B قد وقع بالفعل، ويُحسب بقسمة احتمال تقاطعهما المشترك على احتمال الحدث المشروط: P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B) بشرط أن يكون P(B) > 0. ينتج عن هذا التعريف قاعدة الضرب الاحتمالي الحيوية: P(A ∩ B) = P(B) · P(A|B)، والتي تُستخدم في حساب احتمالات وقوع الأحداث المتتابعة والمركبة في شتى العلوم الطبية والهندسية والتأمينية.
1. تعريف وقانون الاحتمال الشرطي
إذا كان A و B حدثين في فضاء عينة S وكان P(B) > 0، فإن احتمال وقوع A بشرط وقوع B هو:
P(A | B) = P(A ∩ B) / P(B)
وبالمثل إذا كان P(A) > 0:
P(B | A) = P(A ∩ B) / P(A)
P(A ∩ B) = P(B) · P(A | B) = P(A) · P(B | A)
2. خواص الاحتمال الشرطي الهامة
0 ≤ P(A | B) ≤ 1لأي حدث A.P(S | B) = 1(احتمال فضاء العينة بشرط B يساوي 1).P(B | B) = 1(احتمال وقوع الحدث بشرط وقوع نفسه يساوي 1).P(A' | B) = 1 - P(A | B)(احتمال مكملة A بشرط B يساوي 1 ناقص احتمال A بشرط B).- إذا كان A و C حدثين متنافيين:
P((A ∪ C) | B) = P(A | B) + P(C | B).
الحل:
-
P(A | B) = P(A ∩ B) / P(B) = 0.3 / 0.6 = 0.5.-
P(B | A) = P(A ∩ B) / P(A) = 0.3 / 0.45 = 2 / 3 ≈ 0.67.
الحل:
فضاء العينة S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
الحدث المشروط B (ظهور عدد فردي) = {1, 3, 5} ⟹ P(B) = 3/6.
الحدث A (ظهور عدد أولي) = {2, 3, 5}.
التقاطع A ∩ B = {3, 5} ⟹ P(A ∩ B) = 2/6.
إذن:
P(A | B) = P(A ∩ B) / P(B) = (2/6) / (3/6) = 2 / 3.
اضغط على أي بطاقة لاكتشاف المعنى الدقيق، واضغط على أيقونة الصوت للاستماع للنطق:
اضغط على الإجابة لتتحقق من فهمك وتكتشف التفسير النموذجي فورياً: