المشغل الصوتي التفاعلي الذكي
استمع إلى النص كاملاً بقراءة معبرة واضحة ومتقنة، أو استمع لكل فقرة منفصلة
الفقرة الأولى: مفهوم الزوج المرتب وتساوي زوجين مرتبين
يُعَدُّ (الزَّوْجُ الْمُرَتَّبُ) أَحَدَ أَهَمِّ الْمَفَاهِيمِ الَّتِي تَرْبِطُ الْجَبْرَ بِالْهَنْدَسَةِ؛ وَيُكْتَبُ عَلَى الصُّورَةِ (أ ، ب) حَيْثُ يُسَمَّى (أ) الْمَسْقَطَ الْأَوَّلَ، وَ(ب) الْمَسْقَطَ الثَّانِيَ. وَالتَّرْتِيبُ فِيهِ جَوْهَرِيٌّ؛ فَالزَّوْجُ (أ ، ب) ≠ (ب ، أ) طَالَمَا أ ≠ ب، بِخِلَافِ الْمَجْمُوعَةِ الَّتِي لَا يُشْتَرَطُ فِيهَا التَّرْتِيبُ {أ ، ب} = {ب ، أ}. وَتَنُصُّ (قَاعِدَةُ تَسَاوِي زَوْجَيْنِ مُرَتَّبَيْنِ) عَلَى أَنَّهُ: إِذَا كَانَ (أ ، ب) = (س ، ص)، فَإِنَّ الْمَسْقَطَ الْأَوَّلَ يُسَاوِي الْأَوَّلَ [أ = س]، وَالْمَسْقَطَ الثَّانِيَ يُسَاوِي الثَّانِيَ [ب = ص]. فَمَثَلًا إِذَا كَانَ (س - 1 ، 8) = (3 ، ص + 2) فَإِنَّ س = 4 وَ ص = 6.
سؤال ذكاء للفهم
سؤال: ما الفرق بين الزوج المرتب والمجموعة؟ وما قاعدة تساوي زوجين مرتبين؟
إجابة استرشادية: الزوج المرتب الترتيب فيه ملزم (أ، ب) ≠ (ب، أ)، وقاعدة التساوي: المسقط الأول = الأول، والمسقط الثاني = الثاني.
الفقرة الثانية: حاصل الضرب الديكارتي س × ص وخواصه
يُعَرَّفُ (حَاصِلُ الضَّرْبِ الدِّيكَارْتِيُّ س × ص) لِمَجْمُوعَتَيْنِ غَيْرِ خَالِيَتَيْنِ بِأَنَّهُ: (مَجْمُوعَةُ جَمِيعِ الْأَزْوَاجِ الْمُرَتَّبَةِ الَّتِي مَسْقَطُهَا الْأَوَّلُ يَنْتَمِي إِلَى س وَمَسْقَطُهَا الثَّانِي يَنْتَمِي إِلَى ص)؛ رَمْزِيًّا: س × ص = {(أ ، ب) : أ ∈ س ، ب ∈ ص}. وَمِنْ أَهَمِّ خَوَاصِّهِ: 1. (س × ص ≠ ص × س) غَالِبًا إِلَّا إِذَا كَانَتْ س = ص. 2. (س × ∅ = ∅) وَعَدَدُ عَنَاصِرِهِ ن(س × ∅) = 0. 3. كَمَا يُمْكِنُ إِيجَادُ (س²) أَيْ س × س حَيْثُ يَنْتَمِي كِلَا الْمَسْقَطَيْنِ إِلَى الْمَجْمُوعَةِ س نَفْسِهَا.
سؤال ذكاء للفهم
سؤال: ما تعريف حاصل الضرب الديكارتي س × ص؟ وهل س × ص = ص × س دائماً؟
إجابة استرشادية: مجموعة جميع الأزواج المرتبة التي مسقطها الأول ينتمي لـ س والثاني لـ ص، ولا يتساويان إلا إذا كانت س = ص.
الفقرة الثالثة: حساب عدد العناصر ن(س × ص) والعمليات عليها
يُرْمَزُ لِعَدَدِ عَنَاصِرِ الْمَجْمُوعَةِ س بِالرَّمْزِ [ن(س)]؛ وَيَخْضَعُ عَدَدُ عَنَاصِرِ حَاصِلِ الضَّرْبِ الدِّيكَارْتِيِّ لِلْقَانُونِ الْحَاسِمِ: [ن(س × ص) = ن(س) × ن(ص)]. وَيَتَرَتَّبُ عَلَيْهِ أَنَّ: [ن(س × ص) = ن(ص × س)] دَائِمًا حَتَّى وَإِنِ اخْتَلَفَتِ الْأَزْوَاجُ الْمُرَتَّبَةُ. مِثَالٌ: إِذَا كَانَ ن(س) = 3 وَ ن(ص) = 4، فَإِنَّ ن(س × ص) = 3 × 4 = 12 عُنْصُرًا (زَوْجًا مُرَتَّبًا). وَإِذَا كَانَ ن(س × ص) = 15 وَ ن(س) = 3، فَإِنَّ ن(ص) = 15 ÷ 3 = 5، وَيَكُونُ ن(ص²) = 5² = 25.
سؤال ذكاء للفهم
سؤال: ما قانون حساب ن(س × ص)؟ وإذا كان ن(س) = 4 و ن(س × ص) = 12 فكم ن(ص²)؟
إجابة استرشادية: ن(س × ص) = ن(س) × ن(ص)، و ن(ص) = 12 ÷ 4 = 3، فيكون ن(ص²) = 3² = 9.
الفقرة الرابعة: التمثيل بالمخطط السهمي والمخطط البياني وتحديد الأرباع
يُمَثَّلُ حَاصِلُ الضَّرْبِ الدِّيكَارْتِيُّ بِطَرِيقَتَيْنِ هَنْدَسِيَّتَيْنِ:
1. (الْمُخَطَّطُ السَّهْمِيُّ): عَمُودَانِ رَأْسِيَّانِ يُكْتَبُ فِي الْأَوَّلِ عَنَاصِرُ س وَفِي الثَّانِي عَنَاصِرُ ص، وَتَخْرُجُ أَسْهُمٌ مُوَجَّهَةٌ مِنْ كُلِّ عُنْصُرٍ فِي س إِلَى كُلِّ عُنْصُرٍ فِي ص.
2. (الْمُخَطَّطُ الْبَيَانِيُّ الدِّيكَارْتِيُّ): شَبَكَةٌ تَرْبِيعِيَّةٌ مِحْوَرُهَا الْأُفُقِيُّ س وَالرَّأْسِيُّ ص وَنُقَاطُ التَّقَاطُعِ تُمَثِّلُ الْأَزْوَاجَ الْمُرَتَّبَةَ.
كَمَا تُقَسِّمُ الْمَحَاوِرُ الْمُتَعَامِدَةُ الْمُسْتَوَى إِلَى أَرْبَعَةِ أَرْبَاعٍ: الرَّبْعُ الْأَوَّلُ (+ ، +)، الرَّبْعُ الثَّانِي (- ، +)، الرَّبْعُ الثَّالِثُ (- ، -)، وَالرَّبْعُ الرَّابِعُ (+ ، -).
سؤال ذكاء للفهم
سؤال: في أي ربع تقع النقطة (-3 ، -5)؟ والنقطة (4 ، -2)؟ وما إحداثيات نقطة تقع على محور الصادات؟
إجابة استرشادية: (-3 ، -5) في الربع الثالث، و(4 ، -2) في الربع الرابع، وأي نقطة على محور الصادات يكون مسقطها السيني صفراً (0 ، ص).
خريطة النص والعناصر الفنية التحليلية
استكشف خريطة النص وتعرف على الشخصيات والزمان والمكان والفكرة المحورية وأهم الدروس المستفادة.
شبكة الأرباع والإشارات في المستوى الإحداثي الديكارتي
• الربع الأول: س > 0 ، ص > 0 ➔ الإشارة (+ ، +).
• الربع الثاني: س < 0 ، ص > 0 ➔ الإشارة (- ، +).
• الربع الثالث: س < 0 ، ص < 0 ➔ الإشارة (- ، -).
• الربع الرابع: س > 0 ، ص < 0 ➔ الإشارة (+ ، -).
• محور السينات: ص = 0 ➔ (س ، 0).
• محور الصادات: س = 0 ➔ (0 ، ص).
• الربع الثاني: س < 0 ، ص > 0 ➔ الإشارة (- ، +).
• الربع الثالث: س < 0 ، ص < 0 ➔ الإشارة (- ، -).
• الربع الرابع: س > 0 ، ص < 0 ➔ الإشارة (+ ، -).
• محور السينات: ص = 0 ➔ (س ، 0).
• محور الصادات: س = 0 ➔ (0 ، ص).
جدول مقارنة: المقارنة بين المجموعات والأزواج وحاصل الضرب
اسحب أفقياً لعرض كامل الجدول
| المفهوم الرياضي | رمز الكتابة | أهمية الترتيب | التكرار داخل الأقواس |
|---|---|---|---|
| الزوج المرتب | (س ، ص) | ملزم وجوهري: (أ ، ب) ≠ (ب ، أ) | مسموح: (3 ، 3) نقطة صحيحة |
| المجموعة | {س ، ص} | غير ملزم: {أ ، ب} = {ب ، أ} | ممنوع: {3 ، 3} تكتب {3} فقط |
| حاصل الضرب الديكارتي | س × ص | مجموعة أزواج مرتبة: س × ص ≠ ص × س | عناصره أزواج مرتبة فريدة |
| الفترة الحقيقية | [س ، ص] | ملزم: يجب كتابة الأصغر أولاً | مجموعة غير منتهية من الأعداد الحقيقية |
قاعدة ذهبية: الفرق بين س × ص و ن(س × ص)
س × ص هو «مجموعة أزواج مرتبة» مثل {(1، 2)، (1، 3)}، بينما ن(س × ص) هو «عدد صحيح موجب» يمثل عدد تلك الأزواج المحسوبة بالقانون: ن(س) × ن(ص).
معجم الألفاظ والتراكيب اللغوية الشامل (14 مفردة)
اضغط على أيقونة السماعة للاستماع لنطق الكلمة ومعناها وجملتها النموذجية
معنى
الزَّوْجُ الْمُرَتَّبُ
تعبير رياضي يتكون من مسقط أول ومسقط ثانٍ وترتيبهما ملزم (س ، ص)
يمثل الزوج المرتب نقطة وحيدة في المستوى الإحداثي.
معنى
الْمَسْقَطُ الْأَوَّلُ
الإحداثي السيني في الزوج المرتب وينتمي للمجموعة الأولى
في الزوج (3 ، 7) المسقط الأول هو 3.
معنى
الْمَسْقَطُ الثَّانِي
الإحداثي الصادي في الزوج المرتب وينتمي للمجموعة الثانية
في الزوج (3 ، 7) المسقط الثاني هو 7.
معنى
حَاصِلُ الضَّرْبِ الدِّيكَارْتِيُّ
مجموعة كل الأزواج المرتبة الممكنة بين عناصر مجموعتين س × ص
أسس رينيه ديكارت الهندسة التحليلية.
معنى
الْمُخَطَّطُ السَّهْمِيُّ
تمثيل هندسي بياني بأعمدة تخرج منها أسهم موجهة بين العناصر
رسم مخطط سهمي لحاصل الضرب س × ص.
معنى
الْمُخَطَّطُ الْبَيَانِيُّ
تمثيل الأزواج المرتبة كنقاط على شبكة إحداثية متعامدة
تمثيل س × ص على المخطط الديكارتي.
معنى
الْمُسْتَوَى الْإِحْدَاثِيُّ
المستوى الناتج عن تقاطع محوري السينات والصادات المتعامدين
ينقسم المستوى الإحداثي إلى 4 أرباع.
معنى
الرَّبْعُ الثَّالِثُ
منطقة المستوى التي يكون فيها كلاً من س سالباً و ص سالباً (- ، -)
النقطة (-2 ، -4) تقع في الربع الثالث.
معنى
نُقْطَةُ الْأَصْلِ
نقطة تقاطع محوري الإحداثيات وإحداثياتها هي (0 ، 0)
تبدأ القياسات من نقطة الأصل و.
مضاد
أَوَّلُ ↔ ثَانٍ
المضاد: المسقط السيني مقابل المسقط الصادي
تساوي المسقط الأول مع الأول والثاني مع الثاني.
مضاد
مَوْجُودٌ ↔ خَالٍ
المضاد: المجموعة ذات العناصر مقابل المجموعة الخالية فاي
س × فاي = فاي.
مضاد
مُوجَبٌ ↔ سَالِبٌ
المضاد: الإشارات الإحداثية لتحديد الأرباع
س موجب يميناً وس سالب يساراً.
جمع
زَوْجٌ
الجمع: أَزْوَاجٌ (الأزواج المرتبة)
حاصل الضرب يحتوي على عدة أزواج مرتبة.
جمع
مَسْقَطٌ
الجمع: مَسَاقِطُ (إحداثيات النقطة في المحاور)
تحديد مساقط النقاط على المحاور.
معمل الإحداثيات: مهارات حل مسائل الأزواج المرتبة والأرباع
حلول ذكية لأهم أفكار الامتحانات في حاصل الضرب الديكارتي:
1. مسائل تساوي زوجين وتكوين معادلات
إذا كان (س² - 1 ، ص³) = (8 ، 27)؛ س² - 1 = 8 ⇐ س² = 9 ⇐ س = ±3. و ص³ = 27 ⇐ ص = 3. انتبه دائماً لوجود ± في الجذر التربيعي.
أمثلة: قيمة س تحتمل قيمتين موجبة وسالبة.
2. فخ العمليات على المجموعات مع حاصل الضرب
إذا كان س = {2} ، ص = {3 ، 4} ، ع = {4 ، 5}؛ لحساب س × (ص ∩ ع): نوجد التقاطع أولاً ص ∩ ع = {4}، ثم نضرب {2} × {4} = {(2 ، 4)}.
أمثلة: إنجاز ما بداخل الأقواس أولاً.
3. تحديد الربع لمقدار جبري مجهول
إذا كانت النقطة (س - 3 ، 2 - س) تقع في الربع الرابع (موجب ، سالب): س - 3 > 0 (س > 3) و 2 - س < 0 (س > 2)؛ إذاً أي عدد أكبر من 3 (مثل س = 4) يحقق الشرط.
أمثلة: استخدام المتباينات لتحديد موقع الربع.
تحدي خبير الديكارتي
إذا كان ن(س²) = 9 ، وكان ن(س × ص) = 15 ، أوجد كلاً من: ن(ص) ، ن(ص²).
بنك التقييم الذكي الشامل (10 سؤالاً)
اختر الإجابة الصحيحة لكل سؤال، وستحصل فوراً على التغذية الراجعة والتفسير التعليمي
النتيجة: 0 / 10
1
إِذَا كَانَ (س - 1 ، 11) = (8 ، ص + 3)، فَإِنَّ قِيمَةَ √(س + 2ص) تُسَاوِي:
2
إِذَا كَانَ ن(س) = 3 ، ن(ص) = 5 ، فَإِنَّ ن(س × ص) تُسَاوِي:
3
النُّقْطَةُ (-3 ، -4) تَقَعُ فِي الرَّبْعِ:
4
إِذَا كَانَتِ النُّقْطَةُ (س ، 5) تَقَعُ عَلَى مِحْوَرِ الصَّادَاتِ، فَإِنَّ س تُسَاوِي:
5
إِذَا كَانَ س = {3} ، ص = {4} ، فَإِنَّ س × ص تُسَاوِي:
6
إِذَا كَانَ ن(س²) = 16 ، ن(س × ص) = 12 ، فَإِنَّ ن(ص²) تُسَاوِي:
7
النُّقْطَةُ (5 ، -2) تَقَعُ فِي الرَّبْعِ:
8
حَاصِلُ ضَرْبِ س × ∅ لِأَيِّ مَجْمُوعَةٍ س يُسَاوِي:
9
إِذَا كَانَ الزَّوْجُ الْمُرَتَّبُ (3 ، 5) ∈ {3 ، 6} × {س ، 8}، فَإِنَّ س تُسَاوِي:
10
إِذَا كَانَتِ النُّقْطَةُ (أ - ب ، 7) تَقَعُ عَلَى مِحْوَرِ الصَّادَاتِ، فَإِنَّ: