المشغل الصوتي التفاعلي الذكي
استمع إلى النص كاملاً بقراءة معبرة واضحة ومتقنة، أو استمع لكل فقرة منفصلة
الفقرة الأولى: الصورة العامة للدالة التربيعية وشكل المنحنى
تُعْتَبَرُ (الدَّالَّةُ التَّرْبِيعِيَّةُ) أَهَمَّ دَوَالِّ الدَّرَجَةِ الثَّانِيَةِ فِي الْجَبْرِ؛ وَتُكْتَبُ عَلَى الصُّورَةِ الْعَامَّةِ: [د(س) = أ س² + ب س + جـ] حَيْثُ أ ، ب ، جـ أَعْدَادٌ حَقِيقِيَّةٌ وَ أ ≠ 0. وَتُمَثَّلُ بَيَانِيًّا بِمُنْحَنًى يُشْبِهِ حَرْفَ U يُعْرَفُ هَنْدَسِيًّا بِـ(الْقَطْعِ الْمُكَافِئِ Parabola). وَيَتَحَدَّدُ اتِّجَاهُ فَتْحَةِ الْمُنْحَنَى بِإِشَارَةِ مُعَامِلِ س² (أ):
1. (إِذَا كَانَ أ > 0 مُوجَبًا): يَكُونُ الْمُنْحَنَى مَفْتُوحًا لِأَعْلَى (∪)، وَيَكُونُ لَهُ (قِيمَةٌ صُغْرَى).
2. (إِذَا كَانَ أ < 0 سَالِبًا): يَكُونُ الْمُنْحَنَى مَفْتُوحًا لِأَسْفَلَ (∩)، وَيَكُونُ لَهُ (قِيمَةٌ عُظْمَى).
سؤال ذكاء للفهم
سؤال: ما الصورة العامة للدالة التربيعية؟ ومتى يكون منحناها مفتوحاً لأعلى ومتى يكون مفتوحاً لأسفل؟
إجابة استرشادية: الصورة د(س) = أ س² + ب س + جـ (أ ≠ 0)، ومفتوح لأعلى إذا كان أ موجباً (له صغرى)، ومفتوح لأسفل إذا كان أ سالباً (له عظمى).
الفقرة الثانية: نقطة رأس المنحنى ومحور التماثل
تُمَثِّلُ (نُقْطَةُ رَأْسِ الْمُنْحَنَى) أَهَمَّ نُقْطَةٍ فِي الدَّالَّةِ التَّرْبِيعِيَّةِ؛ وَيُمْكِنُ اسْتِخْرَاجُ إِحْدَاثِيَّاتِهَا جَبْرِيًّا بِالْقَانُونِ:
• الإِحْدَاثِيُّ السِّينِيُّ: [س = -ب / (2أ)].
• الإِحْدَاثِيُّ الصَّادِيُّ: [ص = د(-ب / 2أ)].
وَمِنْ نُقْطَةِ رَأْسِ الْمُنْحَنَى (س₀ ، ص₀) نَسْتَنْتِجُ أَمْرَيْنِ جَوْهَرِيَّيْنِ:
1. (مُعَادَلَةُ مِحْوَرِ التَّمَاثُلِ): هِيَ [س = س₀] (أَيْ س = -ب/2أ)؛ وَهُوَ الْمُسْتَقِيمُ الرَّأْسِيُّ الَّذِي يَقْسِمُ الْمُنْحَنَى إِلَى نِصْفَيْنِ مُتَطَابِقَيْنِ تَمَامًا.
2. (الْقِيمَةُ الْعُظْمَى أَوِ الصُّغْرَى): هِيَ الْإِحْدَاثِيُّ الصَّادِي [ص₀]؛ فَتَكُونُ صُغْرَى إِذَا كَانَ أ > 0، وَعُظْمَى إِذَا كَانَ أ < 0.
سؤال ذكاء للفهم
سؤال: ما القانون الجبري لإحداثي س لرأس المنحنى؟ وما معادلة محور التماثل للنقطة (2 ، -5)؟
إجابة استرشادية: الإحداثي س = -ب / (2أ)، ومعادلة محور التماثل للنقطة (2 ، -5) هي س = 2، والقيمة الصغرى هي -5.
الفقرة الثالثة: تمثيل الدالة التربيعية بيانياً في فترة معطاة
لِرَسْمِ الدَّالَّةِ التَّرْبِيعِيَّةِ فِي فَتْرَةٍ [س₁ ، س₂]؛ نَقُومُ بِإِنْشَاءِ جَدْوَلٍ نُعَوِّضُ فِيهِ عَنْ قِيَمِ س الْمُتَتَالِيَةِ لِحِسَابِ قِيَمِ ص = د(س). وَيَتَمَيَّزُ الْجَدْوَلُ بِخَاصِّيَّةِ (التَّمَاثُلِ التَّامِّ)؛ حَيْثُ تَتَكَرَّرُ قِيَمُ ص عَلَى جَانِبَيْ نُقْطَةِ رَأْسِ الْمُنْحَنَى الَّتِي تَتَوَسَّطُ الْجَدْوَلَ. مِثَالٌ: د(س) = س² - 2 فِي الْفَتْرَةِ [-2 ، 2]؛ قِيَمُ ص هِيَ: د(-2) = 2 ، د(-1) = -1 ، د(0) = -2 ، د(1) = -1 ، د(2) = 2. نَلْحَظُ أَنَّ رَأْسَ الْمُنْحَنَى هُوَ النُّقْطَةُ (0 ، -2)، وَمُعَادَلَةُ مِحْوَرِ التَّمَاثُلِ س = 0، وَالْقِيمَةُ الصُّغْرَى -2.
سؤال ذكاء للفهم
سؤال: كيف نتأكد من صحة حسابات جدول الدالة التربيعية قبل الرسم؟
إجابة استرشادية: بملاحظة تماثل قيم ص حول نقطة رأس المنحنى التي تتوسط الجدول تماماً.
الفقرة الرابعة: التطبيقات الفيزيائية والهندسية للقطع المكافئ
يَمْتَلِكُ مُنْحَنَى الدَّالَّةِ التَّرْبِيعِيَّةِ (الْقَطْعُ الْمُكَافِئُ) خَاصِّيَّةً بَصَرِيَّةً وَهَنْدَسِيَّةً مُعْجِزَةً؛ فَمَسَارُ أَيِّ قَذِيفَةٍ أَوْ كُرَةٍ مَقْذُوفَةٍ فِي الْهَوَاءِ يَخْضَعُ لِمُعَادَلَةِ دَالَّةٍ تَرْبِيعِيَّةٍ فَيَرْتَفِعُ لِأَقْصَى ارْتِفَاعٍ (الْقِيمَةِ الْعُظْمَى) ثُمَّ يَهْبِطُ. كَمَا تُصَمَّمُ (أَطْبَاقُ اسْتِقْبَالِ الْأَقْمَارِ الصِّنَاعِيَّةِ الدِّش) وَ(مَرَايَا التِّلِسْكُوبَاتِ الْعِمْلَاقَةِ) وَ(كَشَّافَاتُ إِضَاءَةِ الْمَلَاعِبِ) عَلَى شَكْلِ قَطْعٍ مُكَافِئٍ؛ لِأَنَّهُ يَجْمَعُ جَمِيعَ الْمَوْجَاتِ وَالْأَشِعَّةِ الْمُتَوَازِيَةِ السَّاقِطَةِ عَلَيْهِ فِي نُقْطَةِ الْبُؤْرَةِ بِدِقَّةٍ تَصِلُ إِلَى 100%.
سؤال ذكاء للفهم
سؤال: اذكر تطبيقين فيزيائيين وحياتيين لمنحنى القطع المكافئ (الدالة التربيعية).
إجابة استرشادية: مسار حركة المقذوفات في الجاذبية، وتصميم أطباق الدش وكشافات السيارات لتجميع وعكس الموجات في البؤرة.
خريطة النص والعناصر الفنية التحليلية
استكشف خريطة النص وتعرف على الشخصيات والزمان والمكان والفكرة المحورية وأهم الدروس المستفادة.
العناصر الرياضية الثلاثة المستخرجة من رأس المنحنى (س₀ ، ص₀)
• نقطة رأس المنحنى: (س₀ ، ص₀) = (-ب/2أ ، د(-ب/2أ)).
• معادلة محور التماثل: س = س₀ (الإحداثي السيني دائماً).
• القيمة العظمى أو الصغرى: ص = ص₀ (الإحداثي الصادي دائماً).
• معادلة محور التماثل: س = س₀ (الإحداثي السيني دائماً).
• القيمة العظمى أو الصغرى: ص = ص₀ (الإحداثي الصادي دائماً).
جدول مقارنة: حالات إشارة معامل س² (أ) في الدالة التربيعية
اسحب أفقياً لعرض كامل الجدول
| وجه المقارنة | معامل س² موجب (أ > 0) | معامل س² سالب (أ < 0) |
|---|---|---|
| فتحة المنحنى | مفتوح لأعلى (شكل حرف ∪) | مفتوح لأسفل (شكل حرف ∩) |
| نوع القيمة عند الرأس | قيمة صغرى (أدنى نقطة للمنحنى) | قيمة عظمى (أعلى قمة للمنحنى) |
| مثال جبري | د(س) = س² - 4 | د(س) = 2 - س² |
| المدى الرياضي للدالة | [ص₀ ، ∞) | (-∞ ، ص₀] |
فخ بياني امتحاني
في الدالة د(س) = 4 - س²: معامل س² هو -1 (سالب)، وبالتالي المنحنى مفتوح لأسفل وله قيمة عظمى تساوي 4 عند س = 0. انتبه للترتيب ولا تعتقد أن الرقم الأول هو معامل س².
معجم الألفاظ والتراكيب اللغوية الشامل (14 مفردة)
اضغط على أيقونة السماعة للاستماع لنطق الكلمة ومعناها وجملتها النموذجية
معنى
الدَّالَّةُ التَّرْبِيعِيَّةُ
دالة كثيرة حدود من الدرجة الثانية قاعدتها د(س) = أ س² + ب س + جـ
الدالة التربيعية تمثل بيانياً بقطع مكافئ.
معنى
الْقَطْعُ الْمُكَافِئُ
المنحنى الهندسي المتماثل الممثل للدالة التربيعية يشبه حرف U
مدار المقذوفات يتبع شكل القطع المكافئ.
معنى
رَأْسُ الْمُنْحَنَى
النقطة التي ينعطف عندها المنحنى وتحدد قمته أو قاعه
إحداثيات رأس المنحنى هي (-ب/2أ ، د(-ب/2أ)).
معنى
مِحْوَرُ التَّمَاثُلِ
المستقيم الرأسي الذي يقسم المنحنى لنصفين متطابقين تماماً (س = س₀)
معادلة محور التماثل هي س = 2.
معنى
قِيمَةٌ عُظْمَى
أعلى قيمة تبلغها الدالة عندما يكون معامل س² سالباً
للدالة 5 - س² قيمة عظمى هي 5.
معنى
قِيمَةٌ صُغْرَى
أدنى قيمة تبلغها الدالة عندما يكون معامل س² موجباً
للدالة س² + 1 قيمة صغرى هي 1.
معنى
مُعَامِلُ س²
العدد المضروب في س² ويحدد اتجاه فتحة المنحنى لأعلى أو لأسفل
إشارة معامل س² تحدد نوع القيمة.
معنى
فَتْرَةُ التَّعْوِيضِ
المجال المغلق [س₁ ، س₂] المعطى في المسألة لحساب الجدول ورسم المنحنى
ارسم المنحنى في الفترة [-3 ، 3].
معنى
تَمَاثُلٌ
تطابق قيمي وهندسي متناظر حول خط التماثل
تماثل قيم ص في جدول الدالة التربيعية.
مضاد
عُظْمَى ↔ صُغْرَى
المضاد: أعلى قيمة للدالة مقابل أدنى قيمة لها
عظمى إذا أ سالب وصغرى إذا أ موجب.
مضاد
لِأَعْلَى ↔ لِأَسْفَلَ
المضاد: اتجاه فتحة المنحنى ∪ مقابل ∩
مفتوح لأعلى ومفتوح لأسفل.
مضاد
مُوجَبٌ ↔ سَالِبٌ
المضاد: إشارة معامل س² الحاكمة لشكل المنحنى
معامل موجب ومعامل سالب.
جمع
مُنْحَنًى
الجمع: مُنْحَنَيَاتٌ (الخطوط البيانية غير المستقيمة)
منحنيات الدوال التربيعية.
جمع
قَطْعٌ
الجمع: قُطُوعٌ (المنحنيات المخروطية في الهندسة)
دراسة القطوع المكافئة.
معمل المنحنيات: خطوات رسم الدالة التربيعية على الآلة والورق
كيف ترسم الدالة التربيعية وتستخرج الرأس ومحور التماثل بدون خطأ:
1. إنشاء الجدول بالآلة الحاسبة (Table Mode)
اضغط MODE ثم اختر TABLE (رقم 7 أو 3). اكتب الدالة f(x) = X² - 4. حدد البداية START = -3 والنهاية END = 3 والخطوة STEP = 1؛ تنقل الآلة قيم الجدول فورياً.
أمثلة: السرعة والدقة في إعداد الجدول.
2. استخراج رأس المنحنى من الجدول مباشرة
ابحث عن السطر الذي تتطابق حوله قيم ص السابقة واللاحقة؛ النقطة الواقعة في المنتصف تماماً هي نقطة رأس المنحنى.
أمثلة: رأس المنحنى هو قلب التماثل.
3. كتابة المطاليب الثلاثة في الامتحان
1. نقطة رأس المنحنى = (س₀ ، ص₀). 2. معادلة محور التماثل هي: س = س₀. 3. القيمة (العظمى/الصغرى) للدالة هي: ص₀.
أمثلة: إجابة نموذجية تضمن الدرجة النهائية.
تحدي المهندس البياني
ارسم منحنى الدالة د(س) = (س - 2)² في الفترة [0 ، 4]، ومن الرسم استنتج: نقطة رأس المنحنى، معادلة محور التماثل، والقيمة الصغرى للدالة.
بنك التقييم الذكي الشامل (10 سؤالاً)
اختر الإجابة الصحيحة لكل سؤال، وستحصل فوراً على التغذية الراجعة والتفسير التعليمي
النتيجة: 0 / 10
1
نُقْطَةُ رَأْسِ الْمُنْحَنَى لِلدَّالَّةِ د(س) = س² - 4س + 4 هِيَ:
2
إِذَا كَانَتْ نُقْطَةُ رَأْسِ الْمُنْحَنَى لِدَالَّةٍ تَرْبِيعِيَّةٍ هِيَ (3 ، -5)، فَإِنَّ مُعَادَلَةَ مِحْوَرِ التَّمَاثُلِ هِيَ:
3
مُنْحَنَى الدَّالَّةِ د(س) = 2 - س² يَكُونُ مَفْتُوحًا لِـ:
4
الْقِيمَةُ الصُّغْرَى لِلدَّالَّةِ د(س) = س² + 5 تُسَاوِي:
5
مُعَادَلَةُ مِحْوَرِ التَّمَاثُلِ لِمُنْحَنَى الدَّالَّةِ د(س) = س² هِيَ:
6
إِذَا كَانَتْ نُقْطَةُ رَأْسِ الْمُنْحَنَى هِيَ (-1 ، 4) وَكَانَ مُعَامِلُ س² سَالِبًا، فَإِنَّ الْقِيمَةَ الْعُظْمَى تُسَاوِي:
7
دَرَجَةُ الدَّالَّةِ د(س) = (س - 1)² - س² هِيَ الدَّرَجَةُ:
8
يَكُونُ لِمُنْحَنَى الدَّالَّةِ التَّرْبِيعِيَّةِ قِيمَةٌ صُغْرَى عِنْدَمَا يَكُونُ مُعَامِلُ س²:
9
نُقْطَةُ تَقَاطُعِ مُنْحَنَى الدَّالَّةِ د(س) = س² - 9 مَعَ مِحْوَرِ الصَّادَاتِ هِيَ:
10
يُسَمَّى الشَّكْلُ الْهَنْدَسِيُّ الْمُمَثِّلُ لِلدَّالَّةِ التَّرْبِيعِيَّةِ بَيَانِيًّا بِـ: