الوحدة الأولى - الدرس 4: دَوَالُ كَثِيرَاتِ الحُدُودِ (الدَّالَّةُ الخَطِّيَّةُ والثَّابِتَةُ)

تُعَرَّفُ (دَالَّةُ كَثِيرَةِ الْحُدُودِ) بِأَنَّهَا دَالَّةٌ قَاعِدَتُهَا حَدٌّ جَبْرِيٌّ أَوْ مِقْدَارٌ جَبْرِيٌّ يُحَقِّقُ شَرْطَيْنِ صَارِمَيْنِ: 1. كِلَا الْمَجَالِ وَالْمَجَالِ الْمُقَابِلِ هُوَ مَجْمُوعَةُ الْأَعْدَادِ الْحَقِيقِيَّةِ ح [د: ح ➔ ح]. 2. أُسُّ الْمُتَغَيِّرِ س فِي أَيِّ حَدٍّ مِنْ حُدُودِهَا هُوَ (عَدَدٌ طَبِيعِيٌّ ط) أَيْ {0 ، 1 ، 2 ، 3 ، ...}؛ فَلَا يَجُوزُ أَنْ يَكُونَ س فِي الْمَقَامِ (لِأَنَّ أُسَّهُ يَكُونُ سَالِبًا)، وَلَا تَحْتَ جَذْرٍ تَرْبِيعِيٍّ (لِأَنَّ أُسَّهُ يَكُونُ كَسْرًا). وَ(دَرَجَةُ كَثِيرَةِ الْحُدُودِ) هِيَ: (أَعْلَى أُسٍّ لِلْمُتَغَيِّرِ س فِي قَاعِدَةِ الدَّالَّةِ بَعْدَ التَّبْسِيطِ).

تُكْتَبُ (الدَّالَّةُ الثَّابِتَةُ) عَلَى الصُّورَةِ: [د(س) = جـ] حَيْثُ جـ عَدَدٌ حَقِيقِيٌّ ثَابِتٌ (جـ ≠ 0)؛ وَهِيَ دَالَّةٌ مِنْ (الدَّرَجَةِ الصِّفْرِيَّةِ) لِأَنَّهَا تُمَثِّلُ جـ س⁰. مِثَالٌ: د(س) = 5 ، د(س) = -3. وَخَصَائِصُهَا الْهَنْدَسِيَّةُ: 1. تُمَثَّلُ بَيَانِيًّا بِـ(خَطٍّ مُسْتَقِيمٍ أُفُقِيٍّ يُوَازِي مِحْوَرَ السِّينَاتِ) وَيَقْطَعُ مِحْوَرَ الصَّادَاتِ فِي النُّقْطَةِ (0 ، جـ). 2. إِذَا كَانَ جـ > 0 يَقَعُ الْمُسْتَقِيمُ أَعْلَى مِحْوَرِ السِّينَاتِ، وَإِذَا كَانَ جـ < 0 يَقَعُ أَسْفَلَهُ. 3. أَمَّا إِذَا كَانَ د(س) = 0، فَيَنْطَبِقُ الْمُسْتَقِيمُ عَلَى مِحْوَرِ السِّينَاتِ تَمَامًا، وَتَكُونُ دَالَّةً (لَيْسَ لَهَا دَرَجَةٌ). وَمَدَى الدَّالَّةِ الثَّابِتَةِ دَائِمًا هُوَ الْمَجْمُوعَةُ {جـ}.

تُكْتَبُ (الدَّالَّةُ الْخَطِّيَّةُ) عَلَى الصُّورَةِ الْعَامَّةِ: [د(س) = أ س + ب] حَيْثُ أ ، ب عَدَدَانِ حَقِيقِيَّانِ وَ أ ≠ 0؛ وَهِيَ دَالَّةٌ مِنْ (الدَّرَجَةِ الْأُولَى). وَتُمَثَّلُ بَيَانِيًّا بِـ(خَطٍّ مُسْتَقِيمٍ مَائِلٍ). وَلِرَسْمِهِ نُحَدِّدُ نُقْطَتَيِ التَّقَاطُعِ مَعَ مِحْوَرَيِ الْإِحْدَاثِيَّاتِ: 1. (نُقْطَةُ التَّقَاطُعِ مَعَ مِحْوَرِ الصَّادَاتِ): نَضَعُ س = 0 ⇐ ص = ب ⇐ النُّقْطَةُ هِيَ (0 ، ب). 2. (نُقْطَةُ التَّقَاطُعِ مَعَ مِحْوَرِ السِّينَاتِ): نَضَعُ ص = 0 ⇐ أ س + ب = 0 ⇐ س = -ب / أ ⇐ النُّقْطَةُ هِيَ (-ب/أ ، 0). وَإِذَا كَانَ ب = 0؛ أَيْ د(س) = أ س، فَإِنَّ الْمُسْتَقِيمَ يَمُرُّ حَتْمًا بِـ(نُقْطَةِ الْأَصْلِ 0 ، 0).

يُمَثِّلُ الْمُعَامِلُ (أ) فِي الدَّالَّةِ الْخَطِّيَّةِ د(س) = أ س + ب مِيلَ الْخَطِّ الْمُسْتَقِيمِ: • إِذَا كَانَ أ > 0 (مُوجَبًا): يَكُونُ الْمُسْتَقِيمُ صَاعِدًا مِنْ جِهَةِ الْيَمِينِ وَيَصْنَعُ زَاوِيَةً حَادَّةً مَعَ الِاتِّجَاهِ الْمُوجَبِ لِمِحْوَرِ السِّينَاتِ (دَالَّةٌ تَزَايُدِيَّةٌ). • إِذَا كَانَ أ < 0 (سَالِبًا): يَكُونُ الْمُسْتَقِيمُ هَابِطًا مِنْ جِهَةِ الْيَمِينِ وَيَصْنَعُ زَاوِيَةً مُنْفَرِجَةً مَعَ مِحْوَرِ السِّينَاتِ (دَالَّةٌ تَنَاقُصِيَّةٌ). وَتُعْتَبَرُ الدَّالَّةُ الْخَطِّيَّةُ نَمُوذَجًا رِيَاضِيًّا حَيَوِيًّا لِحِسَابِ التَّكَالِيفِ الثَّابِتَةِ وَالْمُتَغَيِّرَةِ فِي الِاقْتِصَادِ وَالتِّجَارَةِ.