المشغل الصوتي التفاعلي الذكي
استمع إلى النص كاملاً بقراءة معبرة واضحة ومتقنة، أو استمع لكل فقرة منفصلة
الفقرة الأولى: مفهوم العلاقة من مجموعة س إلى مجموعة ص
تُعَرَّفُ (الْعَلَاقَةُ ع) مِنْ مَجْمُوعَةٍ س إِلَى مَجْمُوعَةٍ ص بِأَنَّهَا: (ارْتِبَاطٌ يَرْبِطُ بَعْضَ أَوْ كُلَّ عَنَاصِرِ س بِبَعْضِ أَوْ كُلِّ عَنَاصِرِ ص). وَيَكُونُ بَيَانُ الْعَلَاقَةِ (بَيَانُ ع) هُوَ: جُزْءًا أَوْ مَجْمُوعَةً جُزْئِيَّةً مِنْ حَاصِلِ الضَّرْبِ الدِّيكَارْتِيِّ [ع ⊆ س × ص]. وَتُعْطَى الْعَلَاقَةُ دَائِمًا بِشَرْطٍ رِيَاضِيٍّ مُحَدَّدٍ يُسَمَّى (قَاعِدَةَ الْعَلَاقَةِ)؛ مِثْلَ: «أ ع ب تَعْنِي أ + ب = 7» أَوْ «أ ع ب تَعْنِي أ مَعْكُوسٌ ضَرْبِيٌّ لِـ ب» أَوْ «أ = ب²»؛ حَيْثُ نَخْتَارُ فَقَطِ الْأَزْوَاجَ الْمُرَتَّبَةَ الَّتِي تُحَقِّقُ هَذَا الشَّرْطَ بِدِقَّةٍ.
سؤال ذكاء للفهم
سؤال: ما تعريف العلاقة رياضياً؟ وما العلاقة بين بيان ع وحاصل الضرب الديكارتي س × ص؟
إجابة استرشادية: ارتباط يربط بعض أو كل عناصر س ببعض أو كل عناصر ص، وبيان ع مجموعة جزئية من حاصل الضرب الديكارتي (ع ⊆ س × ص).
الفقرة الثانية: متى تكون العلاقة دالة (تطبيقاً)؟
تُسَمَّى الْعَلَاقَةُ ع مِنْ س إِلَى ص (دَالَّةً أَوْ تَطْبِيقًا) إِذَا تَحَقَّقَ الشَّرْطُ الْحَاسِمُ: (كُلُّ عُنْصُرٍ مِنْ عَنَاصِرِ س يَظْهَرُ كَمَسْقَطٍ أَوَّلَ مَرَّةً وَاحِدَةً فَقَطْ فِي أَزْوَاجِ بَيَانِ ع). وَيُمْكِنُ التَّحَقُّقُ مِنْ ذَلِكَ بِثَلَاثِ طُرُقٍ:
1. (مِنْ بَيَانِ ع): لَا يَتَكَرَّرُ أَيُّ عُنْصُرٍ مِنْ س فِي الْمَسْقَطِ الْأَوَّلِ، وَلَا يَغِيبُ أَيُّ عُنْصُرٍ.
2. (مِنَ الْمُخَطَّطِ السَّهْمِيِّ): يَخْرُجُ مِنْ كُلِّ عُنْصُرٍ مِنْ س (سَهْمٌ وَاحِدٌ فَقَطْ) نَحْوَ ص.
3. (مِنَ الْمُخَطَّطِ الْبَيَانِيِّ): كُلُّ خَطٍّ رَأْسِيٍّ تَقَعُ عَلَيْهِ (نُقْطَةٌ وَاحِدَةٌ فَقَطْ) تُمَثِّلُ عَنَاصِرَ الْعَلَاقَةِ.
سؤال ذكاء للفهم
سؤال: ما الشرط الأساسي لتكون العلاقة دالة من خلال بيانها ومخططها السهمي؟
إجابة استرشادية: كل عنصر من عناصر س يظهر كمسقط أول مرة واحدة فقط، وفي المخطط السهمي يخرج من كل عنصر سهم واحد فقط.
الفقرة الثالثة: أركان الدالة الثلاثة (المجال، المجال المقابل، والمدى)
إِذَا كَانَتِ الْعَلَاقَةُ دَالَّةً مِنْ س إِلَى ص؛ فَإِنَّهَا تَمْتَلِكُ ثَلَاثَةَ أَرْكَانٍ رِيَاضِيَّةٍ رَئِيسِيَّةٍ:
1. (الْمَجَالُ): هُوَ الْمَجْمُوعَةُ س كَامِلَةً (مَجْمُوعَةُ عَنَاصِرِ الْبِدَايَةِ).
2. (الْمَجَالُ الْمُقَابِلُ): هُوَ الْمَجْمُوعَةُ ص كَامِلَةً (مَجْمُوعَةُ عَنَاصِرِ الْوُصُولِ).
3. (الْمَدَى): هُوَ (مَجْمُوعَةُ الصُّوَرِ لِعَنَاصِرِ س فِي ص)؛ أَيْ (مَجْمُوعَةُ الْمَسَاقِطِ الثَّانِيَةِ لِأَزْوَاجِ بَيَانِ الدَّالَّةِ). وَالْقَاعِدَةُ الْجَبْرِيَّةُ الْخَالِدَةُ هِيَ: [الْمَدَى مَجْمُوعَةٌ جُزْئِيَّةٌ مِنَ الْمَجَالِ الْمُقَابِلِ دَائِمًا (الْمَدَى ⊆ ص)].
سؤال ذكاء للفهم
سؤال: عرّف كلاً من المجال والمجال المقابل والمدى للدالة، وما علاقة المدى بالمجال المقابل؟
إجابة استرشادية: المجال هو س، المجال المقابل هو ص، والمدى هو مجموعة المساقط الثانية (الصور)، والمدى دائماً مجموعة جزئية من المجال المقابل (المدى ⊆ ص).
الفقرة الرابعة: قاعدة الدالة والتعبير الرمزي د(س)
يُرْمَزُ لِلدَّالَّةِ بِأَحْرُفٍ مِثْلَ (د ، ر ، ق)؛ وَيُعَبَّرُ عَنْهَا بِالصُّورَةِ: [د: س ➔ ص] وَتُقْرَأُ (دَالَّةٌ مِنْ س إِلَى ص). وَتُسَمَّى صُورَةُ الْعُنْصُرِ س بِوَاسِطَةِ الدَّالَّةِ د بِـ [د(س)] أَيْ قِيمَةِ ص. مِثَالٌ: إِذَا كَانَتْ قَاعِدَةُ الدَّالَّةِ هِيَ [د(س) = 2س + 3]، فَإِنَّ صُورَةَ الْعَدَدِ 5 هِيَ د(5) = 2(5) + 3 = 10 + 3 = 13. وَإِذَا كَانَ د(س) = 7 فَإِنَّ 2س + 3 = 7 ⇐ 2س = 4 ⇐ س = 2؛ وَهَذَا هُوَ التَّطْبِيقُ الْعَمَلِيُّ لِلدَّوَالِّ فِي الْحَيَاةِ الْيَوْمِيَّةِ.
سؤال ذكاء للفهم
سؤال: إذا كانت قاعدة الدالة د(س) = س² - 4، احسب د(3) ود(0) وقيمة س عندما د(س) = 5.
إجابة استرشادية: د(3) = 3² - 4 = 5، د(0) = -4، وعندما د(س) = 5 ⇐ س² - 4 = 5 ⇐ س² = 9 ⇐ س = ±3.
خريطة النص والعناصر الفنية التحليلية
استكشف خريطة النص وتعرف على الشخصيات والزمان والمكان والفكرة المحورية وأهم الدروس المستفادة.
المعايير البصرية لتمييز الدالة من غير الدالة
• تكون دالة: إذا خرج من كل عنصر في س سهم واحد فقط، أو ظهر كمسقط أول مرة واحدة فقط.
• ليست دالة: إذا خرج من أحد عناصر س سهمان (تكرر مسقطه الأول) أو لم يخرج منه أي سهم (لم يظهر كمسقط أول).
• ليست دالة: إذا خرج من أحد عناصر س سهمان (تكرر مسقطه الأول) أو لم يخرج منه أي سهم (لم يظهر كمسقط أول).
جدول مقارنة: أركان الدالة (المجال والمجال المقابل والمدى)
اسحب أفقياً لعرض كامل الجدول
| الركن الرياضي | المفهوم والرمز | الموقع في الزوج المرتب | العلاقة بالمجموعات الأصلية |
|---|---|---|---|
| المجال | مجموعة الانطلاق (س) | المساقط الأولى كاملة دون نقص | س = المجال بالضبط |
| المجال المقابل | مجموعة الوصول (ص) | تحتوي على الصور وعناصر أخرى | ص = المجال المقابل كاملاً |
| المدى | مجموعة الصور الفعلية | المساقط الثانية للأزواج المرتبطة فقط | المدى ⊆ ص (مجموعة جزئية دائماً) |
شفرة العلاقة: المعكوس الضربي والجمعي
• أ معكوس ضربي لـ ب: تعني أ × ب = 1 (الصفر ليس له معكوس ضربي).
• أ معكوس جمعي لـ ب: تعني أ + ب = 0 (المعكوس الجمعي للصفر هو الصفر نفسه).
• أ معكوس جمعي لـ ب: تعني أ + ب = 0 (المعكوس الجمعي للصفر هو الصفر نفسه).
معجم الألفاظ والتراكيب اللغوية الشامل (14 مفردة)
اضغط على أيقونة السماعة للاستماع لنطق الكلمة ومعناها وجملتها النموذجية
معنى
الْعَلَاقَةُ
ارتباط يربط بعض أو كل عناصر س ببعض أو كل عناصر ص
علاقة أكبر من أو علاقة المعكوس.
معنى
الدَّالَّةُ (التَّطْبِيقُ)
علاقة يظهر فيها كل عنصر من س كمسقط أول مرة واحدة فقط
كل دالة هي علاقة ولكن ليس كل علاقة دالة.
معنى
الْمَجَالُ
المجموعة س التي تنطلق منها الأسهم وترتبط عناصرها
مجال الدالة هو س.
معنى
الْمَجَالُ الْمُقَابِلُ
المجموعة ص التي تستقبل الأسهم وترتبط بها المساقط
المجال المقابل يحتوي على المدى.
معنى
الْمَدَى
مجموعة المساقط الثانية في أزواج بيان الدالة وهي مجموعة الصور
المدى مجموعة جزئية من المجال المقابل.
معنى
بَيَانُ الْعَلَاقَةِ
مجموعة الأزواج المرتبة التي تحقق شرط العلاقة المعطى
بيان ع = {(1 ، 2) ، (2 ، 4)}.
معنى
قَاعِدَةُ الدَّالَّةِ
القانون الجبري الذي يربط العنصر س بصورته د(س)
د(س) = 3س - 1 هي قاعدة الدالة.
معنى
الصُّورَةُ
القيمة المقابلة للعنصر في المجال المقابل بواسطة الدالة
صورة العدد 2 هي 5.
معنى
مَعْكُوسٌ جَمْعِيٌّ
العدد المعاكس في الإشارة بحيث يكون مجموعهما صفراً
المعكوس الجمعي لـ 3 هو -3.
مضاد
دَالَّةٌ ↔ لَيْسَتْ دَالَّةً
المضاد: تحقق شرط ارتباط كل عنصر مرة واحدة مقابل عدمه
تحديد كون العلاقة دالة أو ليست دالة.
مضاد
مَجَالٌ ↔ مَدَى
المضاد: مجموعة عناصر البداية س مقابل مجموعة الصور ص
المجال في السينات والمدى في الصادات.
مضاد
انْطِلَاقٌ ↔ وُصُولٌ
المضاد: عناصر المسقط الأول مقابل عناصر المسقط الثاني
السهم ينطلق من س ويصل إلى ص.
جمع
دَالَّةٌ
الجمع: دَوَالٌّ (العلاقات الاقترانية الرياضية)
دراسة أنواع الدوال الجبرية.
جمع
صُورَةٌ
الجمع: صُوَرٌ (قيم المساقط الثانية)
مجموعة الصور تسمى المدى.
معمل الدوال: مهارات استخراج بيان ع والتحقق من كونها دالة
نموذج امتحاني قياسي شامل لكتابة بيان ع ورسم المخطط السهمي:
1. مثال علاقة المعكوس الضربي
إذا كانت س = {1/2 ، 1 ، 2} ، ص = {1 ، 2 ، 3} وكانت أ ع ب تعني «أ معكوس ضربي لـ ب»: بيان ع = {(1/2 ، 2) ، (1 ، 1)}. هل ع دالة؟ لا، لأن العنصر 2 لم يخرج منه سهم.
أمثلة: ليست دالة لعدم ارتباط كل عناصر س.
2. حساب المدى بدقة متناهية
إذا كان بيان د = {(1 ، 3) ، (2 ، 5) ، (4 ، 3) ، (5 ، 9)}؛ المدى هو مجموعة المساقط الثانية فقط بدون تكرار: المدى = {3 ، 5 ، 9}.
أمثلة: المساقط الثانية تشكل المدى.
3. التعويض في قاعدة الدالة
إذا كانت د(س) = 4س + ب، وكان د(3) = 15، أوجد قيمة ب: نعوض عن س = 3 ⇐ 4(3) + ب = 15 ⇐ 12 + ب = 15 ⇐ ب = 3.
أمثلة: إيجاد المجاهيل بالتعويض المباشر.
تحدي عبقري الدوال
إذا كانت ع دالة حيث بيان ع = {(2 ، أ) ، (3 ، ب) ، (5 ، 6)} على المجموعة س = {2 ، 3 ، 5}، أوجد القيمة العددية للمقدار: (أ + ب) إذا كان مدى الدالة هو {1 ، 4 ، 6}.
بنك التقييم الذكي الشامل (10 سؤالاً)
اختر الإجابة الصحيحة لكل سؤال، وستحصل فوراً على التغذية الراجعة والتفسير التعليمي
النتيجة: 0 / 10
1
إِذَا كَانَ بَيَانُ الدَّالَّةِ د = {(1 ، 2) ، (2 ، 4) ، (3 ، 6)}، فَإِنَّ مَدَى الدَّالَّةِ هُوَ:
2
تَكُونُ الْعَلَاقَةُ مِنْ س إِلَى ص دَالَّةً إِذَا:
3
إِذَا كَانَتْ د(س) = 4س + ب ، وَكَانَ د(3) = 15 ، فَإِنَّ ب تُسَاوِي:
4
الْمَدَى لِأَيِّ دَالَّةٍ هُوَ دَائِمًا مَجْمُوعَةٌ جُزْئِيَّةٌ مِنْ:
5
إِذَا كَانَتْ د(س) = 2س² - 5 ، فَإِنَّ د(-2) تُسَاوِي:
6
أَيٌّ مِنْ بَيَانَاتِ الْعَلَاقَاتِ التَّالِيَةِ يُمَثِّلُ دَالَّةً عَلَى الْمَجْمُوعَةِ س = {1 ، 2 ، 3}؟
7
إِذَا كَانَتْ ع دَالَّةً حَيْثُ د(س) = 5 ، فَإِنَّ د(7) - د(3) تُسَاوِي:
8
إِذَا كَانَتْ س = {2 ، 5 ، 8} ، وَكَانَتْ ع دَالَّةً عَلَى س بَيَانُهَا = {(أ ، 2) ، (ب ، 5) ، (8 ، 8)}، فَإِنَّ الْقِيمَةَ الْعَدَدِيَّةَ لِلْمِقْدَارِ (أ + ب) هِيَ:
9
فِي الْمُخَطَّطِ السَّهْمِيِّ لِلدَّالَّةِ، يَخْرُجُ مِنْ كُلِّ عُنْصُرٍ فِي الْمَجَالِ:
10
إِذَا كَانَتْ د(س) = س - 3 ، فَإِنَّ صُورَةَ الْعَدَدِ 7 بِهَذِهِ الدَّالَّةِ هِيَ: