المشغل الصوتي التفاعلي الذكي
استمع إلى النص كاملاً بقراءة معبرة واضحة ومتقنة، أو استمع لكل فقرة منفصلة
الفقرة الأولى: مفهوم النسبة وحدّيها الأساسيين
تُعَرَّفُ (النِّسْبَةُ) بَيْنَ كَمِّيَّتَيْنِ أَوْ عَدَدَيْنِ حَقِيقِيَّيْنِ بِأَنَّهَا: مُقَارَنَةٌ عَدَدِيَّةٌ بَيْنَ كَمِّيَّتَيْنِ أَوْ مِقْدَارَيْنِ مِنْ نَفْسِ النَّوْعِ وَلَهُمَا نَفْسُ وَحْدَاتِ الْقِيَاسِ، وَتُكْتَبُ عَلَى الصُّورَةِ [أ : ب] أَوْ [أ / ب]؛ حَيْثُ يُسَمَّى الْعَدَدُ (أ) بِمُقَدَّمِ النِّسْبَةِ (الْحَدِّ الْأَوَّلِ)، وَيُسَمَّى الْعَدَدُ (ب) بِتَالِي النِّسْبَةِ (الْحَدِّ الثَّانِي) مَعَ شَرْطٍ جَبْرِيٍّ جَوْهَرِيٍّ أَنَّ ب ≠ 0. وَتَتَمَيَّزُ النِّسْبَةُ بِأَنَّهَا كَمِّيَّةٌ مُجَرَّدَةٌ لَيْسَ لَهَا وَحْدَةُ تَمْيِيزٍ عِنْدَ التَّعْبِيرِ عَنْهَا، كَمَا يَجِبُ تَوْحِيدُ الْوَحْدَاتِ قَبْلَ إِجْرَاءِ الْمُقَارَنَةِ (كَالتَّحْوِيلِ مِنَ الْجُنَيْهِ إِلَى الْقِرْشِ أَوْ مِنَ الْكِيلُومِتْرِ إِلَى الْمِتْرِ).
سؤال ذكاء للفهم
سؤال: ما تعريف النسبة رياضياً؟ وما شرط تالي النسبة؟
إجابة استرشادية: مقارنة عددية بين كميتين من نفس النوع ولهما نفس وحدات القياس، وشرط تالي النسبة ألا يساوي الصفر (ب ≠ 0).
الفقرة الثانية: خواص النسبة في الضرب والقسمة
تَمْتَلِكُ النِّسْبَةُ مَجْمُوعَةً مِنْ الْخَصَائِصِ الْجَبْرِيَّةِ الثَّابِتَةِ؛ أَهَمُّهَا:
1. (ثَبَاتُ قِيمَةِ النِّسْبَةِ): لَا تَتَغَيَّرُ قِيمَةُ النِّسْبَةِ إِذَا ضُرِبَ حَدَّاهَا أَوْ قُسِمَا عَلَى عَدَدٍ حَقِيقِيٍّ وَاحِدٍ لَا يُسَاوِي الصِّفْرَ؛ فَمَثَلًا: (أ / ب) = (أ × ك) / (ب × ك) حَيْثُ ك ≠ 0، وَكَذَلِكَ (أ / ب) = (أ ÷ ك) / (ب ÷ ك).
2. (تَغَيُّرُ قِيمَةِ النِّسْبَةِ بِالْجَمْعِ وَالطَّرْحِ): تَتَغَيَّرُ قِيمَةُ النِّسْبَةِ حَتْمًا إِذَا أُضِيفَ إِلَى حَدَّيْهَا أَوْ طُرِحَ مِنْهُمَا عَدَدٌ حَقِيقِيٌّ لَا يُسَاوِي الصِّفْرَ؛ أَيْ أَنَّ (أ + ك) / (ب + ك) ≠ (أ / ب).
سؤال ذكاء للفهم
سؤال: متى تظل قيمة النسبة ثابتة، ومتى تتغير؟
إجابة استرشادية: تظل ثابتة عند ضرب أو قسمة حديها على عدد غير صفري، وتتغير إذا أضيف أو طُرح من حديها أي عدد غير صفري.
الفقرة الثالثة: فرض ثوابت التناسب لحل المسائل الجبرية
عِنْدَمَا يُعْطَى فِي الْمَسْأَلَةِ أَنَّ النِّسْبَةَ بَيْنَ عَدَدَيْنِ هِيَ [أ : ب = 3 : 5]؛ فَإِنَّهُ لَا يَجُوزُ فَرْضُ أَنَّ الْعَدَدَ الْأَوَّلَ يُسَاوِي 3 وَالثَّانِي يُسَاوِي 5، بَلْ يُفْرَضُ أَنَّ: [أ = 3م] وَ [ب = 5م]؛ حَيْثُ م عَدَدٌ حَقِيقِيٌّ ثَابِتٌ لَا يُسَاوِي الصِّفْرَ يُسَمَّى (ثَابِتَ التَّنَاسُبِ). وَبِاسْتِخْدَامِ هَذَا الْفَرْضِ الْجَبْرِيِّ يُمْكِنُ تَكْوِينُ مُعَادَلَاتٍ خَطِّيَّةٍ لِإِيجَادِ قِيمَةِ (م) ثُمَّ التَّعْوِيضِ عَنْهَا لِتَحْدِيدِ قِيَمِ الْأَعْدَادِ الْمَطْلُوبَةِ بِدِقَّةٍ تَامَّةٍ.
سؤال ذكاء للفهم
سؤال: لماذا نفرض أ = 3م و ب = 5م بدلاً من 3 و 5 مباشرة؟
إجابة استرشادية: لأن النسبة تعبر عن أبسط صورة عددية بعد الاختصار، فالثابت (م) يمثل العامل المشترك المحذوف الذي نعينه بحل المعادلة.
الفقرة الرابعة: التطبيقات العملية وحل المسائل اللفظية
تُطَبَّقُ النِّسْبَةُ فِي مَسَائِلَ حَيَاتِيَّةٍ مُتَنَوِّعَةٍ؛ مِثْلَ: إِيجَادِ عَدَدَيْنِ صَحِيحَيْنِ إِذَا أُضِيفَ لِكُلٍّ مِنْهُمَا عَدَدٌ أَوْ طُرِحَ مِنْهُمَا تَغَيَّرَتِ النِّسْبَةُ. مِثَالٌ نَمُوذَجِيٌّ: عَدَدَانِ النِّسْبَةُ بَيْنَهُمَا 2 : 3، إِذَا أُضِيفَ لِلْأَوَّلِ 7 وَطُرِحَ مِنَ الثَّانِي 12 صَارَتِ النِّسْبَةُ 5 : 3. نَفْرِضُ الْعَدَدَيْنِ 2س ، 3س ⇐ (2س + 7) / (3س - 12) = 5 / 3، وَبِضَرْبِ حَاصِلِ ضَرْبِ الطَّرَفَيْنِ فِي الْوَسَطَيْنِ: 3(2س + 7) = 5(3س - 12) ⇐ 6س + 21 = 15س - 60 ⇐ 9س = 81 ⇐ س = 9. فَيَكُونُ الْعَدَدَانِ هُمَا: (18) وَ (27).
سؤال ذكاء للفهم
سؤال: كيف نحول المسألة اللفظية في النسبة إلى معادلة جبرية؟
إجابة استرشادية: نفرض الكميات بدلالة ثابت مجهول (س)، ثم نصيغ المعادلة الكسرية ونطبق خاصية طرفين في وسطين لإيجاد المجهول.
خريطة النص والعناصر الفنية التحليلية
استكشف خريطة النص وتعرف على الشخصيات والزمان والمكان والفكرة المحورية وأهم الدروس المستفادة.
خريطة القواعد والخواص الجبرية للنسبة
• صيغة النسبة: أ : ب = أ / ب (ب ≠ 0).
• الحد الأول: مقدم النسبة.
• الحد الثاني: تالي النسبة.
• الضرب والقسمة: ضرب أو قسمة حدي النسبة في عدد غير صفري لا يغير قيمتها.
• الجمع والطرح: إضافة أو طرح عدد من حدي النسبة يغير قيمتها حتماً.
• الفرض الجبري: إذا كان أ : ب = جـ : د فإن أ = جـ م ، ب = د م (م ≠ 0).
• الحد الأول: مقدم النسبة.
• الحد الثاني: تالي النسبة.
• الضرب والقسمة: ضرب أو قسمة حدي النسبة في عدد غير صفري لا يغير قيمتها.
• الجمع والطرح: إضافة أو طرح عدد من حدي النسبة يغير قيمتها حتماً.
• الفرض الجبري: إذا كان أ : ب = جـ : د فإن أ = جـ م ، ب = د م (م ≠ 0).
جدول مقارنة: أثر العمليات الحسابية على حدي النسبة
اسحب أفقياً لعرض كامل الجدول
| العملية الحسابية | التطبيق الرمزي | مثال عددي على النسبة (2/3) | النتيجة وأثرها على القيمة |
|---|---|---|---|
| ضرب الحَدّين | (أ × ك) / (ب × ك) | (2 × 4) / (3 × 4) = 8 / 12 | لا تتغير (8/12 = 2/3) |
| قسمة الحَدّين | (أ ÷ ك) / (ب ÷ ك) | (6 ÷ 2) / (9 ÷ 2) = 3 / 4.5 | لا تتغير (3/4.5 = 2/3) |
| إضافة عدد للحَدّين | (أ + ك) / (ب + ك) | (2 + 3) / (3 + 3) = 5 / 6 | تتغير حتماً (5/6 ≠ 2/3) |
| طرح عدد من الحَدّين | (أ - ك) / (ب - ك) | (2 - 1) / (3 - 1) = 1 / 2 | تتغير حتماً (1/2 ≠ 2/3) |
معجم الألفاظ والتراكيب اللغوية الشامل (12 مفردة)
اضغط على أيقونة السماعة للاستماع لنطق الكلمة ومعناها وجملتها النموذجية
معنى
النِّسْبَةُ
مُقَارَنَةٌ عَدَدِيَّةٌ بَيْنَ كَمِّيَّتَيْنِ مِنْ نَفْسِ النَّوْعِ وَالْوَحْدَةِ
النسبة بين طول أحمد ومحمد 4 : 5.
معنى
مُقَدَّمُ النِّسْبَةِ
الْحَدُّ الْأَوَّلُ فِي النِّسْبَةِ (الْبَسْطُ)
في النسبة أ/ب يمثل (أ) مقدم النسبة.
معنى
تَالِي النِّسْبَةِ
الْحَدُّ الثَّانِي فِي النِّسْبَةِ (الْمَقَامُ حَيْثُ لَا يُسَاوِي صِفْرًا)
في النسبة أ/ب يمثل (ب) تالي النسبة.
معنى
حَدَّا النِّسْبَةِ
مُقَدَّمُ النِّسْبَةِ وَتَالِيهَا مَعًا
ضرب حدي النسبة في عدد غير صفري لا يغيرها.
معنى
ثَابِتُ النِّسْبَةِ (م)
عَدَدٌ حَقِيقِيٌّ غَيْرُ صِفْرِيٍّ يُمَثِّلُ عَامِلَ التَّكْبِيرِ أَوِ التَّصْغِيرِ
نفرض العددين 3م و 5م.
معنى
تَكْتَبُ أ : ب ↔ أ / ب
صِيغَتَانِ مُتَكَافِئَتَانِ لِلتَّعْبِيرِ عَنِ النِّسْبَةِ
النسبة 2 : 3 تكافئ الكسر 2/3.
معنى
الِاخْتِصَارُ
تَبْسِيطُ النِّسْبَةِ بِقِسْمَةِ حَدَّيْهَا عَلَى (ع.م.أ)
اختصار النسبة 8 : 12 إلى 2 : 3.
معنى
الْمُقَارَنَةُ
تَحْدِيدُ الْعَلَاقَةِ بَيْنَ مِقْدَارَيْنِ مِثْلِيَّيْنِ
المقارنة بين المساحات والأطوال.
معنى
تَوْحِيدُ الْوَحْدَاتِ
تَحْوِيلُ الْكَمِّيَّاتِ لِتَكُونَ مِنْ نَفْسِ وَحْدَةِ الْقِيَاسِ قَبْلَ النِّسْبَةِ
تحويل الكيلوجرام إلى جرام قبل المقارنة.
معنى
كَمِّيَّةٌ مُجَرَّدَةٌ
عَدَدٌ لَيْسَ لَهُ وَحْدَةُ تَمْيِيزٍ عِنْدَ ذِكْرِ النِّسْبَةِ
النسبة 3/5 كمية مجردة بدون أمتار أو جنيهات.
مضاد
تَغَيُّرُ الْقِيمَةِ ↔ ثَبَاتُ الْقِيمَةِ
المضاد: التَّبَدُّلُ فِي النَّاتِجِ مُقَابِلَ الِاسْتِقْرَارِ
الجمع يغير قيمة النسبة بينما الضرب يحفظ ثباتها.
جمع
حَدٌّ
الجمع: حُدُودٌ (طَرَفَا النِّسْبَةِ أَوِ التَّنَاسُبِ)
حدود النسبة والتناسب.
معمل الجبر: استراتيجيات حل المسائل اللفظية للنسبة
خطوات منهجية نموذجية لحل أي مسألة تناسب ونسبة واردة في النماذج الوزارية المعتمدة:
1. الفرض الجبري بالثابت المجهول
إذا كانت النسبة بين عددين أ : ب ، نفرض العدد الأول = أ س ، والثاني = ب س.
أمثلة: نسبة 3 : 7 ⇐ العددان 3س و 7س.
2. ترجمة الإضافة أو الطرح إلى بسط ومقام
إذا أضيف عدد للحدين: (أ س + جـ) / (ب س + جـ) = النسبة الجديدة.
أمثلة: إضافة 5 ⇐ (3س + 5)/(7س + 5).
3. تطبيق قاعدة: حاصل ضرب الطرفين = حاصل ضرب الوسطين
فك الأقواس بعناية، وتجميع حدود (س) في طرف والأعداد في الطرف الآخر.
أمثلة: حل المعادلة يحدد س بدقة ومنها نوجد العددين.
تدريب تطبيقي موجه
عددان صحيحان النسبة بينهما 3 : 7 ، إذا طُرح من كل منهما 5 أصبحت النسبة بينهما 1 : 3. أوجد العددين.
طريقة الحل: نفرض العددين 3س و 7س. إذن: (3س - 5) / (7س - 5) = 1 / 3.
طرفين في وسطين: 3(3س - 5) = 1(7س - 5) ⇐ 9س - 15 = 7س - 5 ⇐ 2س = 10 ⇐ س = 5.
العددان هما: 3 × 5 = 15 ، و 7 × 5 = 35.
طريقة الحل: نفرض العددين 3س و 7س. إذن: (3س - 5) / (7س - 5) = 1 / 3.
طرفين في وسطين: 3(3س - 5) = 1(7س - 5) ⇐ 9س - 15 = 7س - 5 ⇐ 2س = 10 ⇐ س = 5.
العددان هما: 3 × 5 = 15 ، و 7 × 5 = 35.
بنك التقييم الذكي الشامل (10 سؤالاً)
اختر الإجابة الصحيحة لكل سؤال، وستحصل فوراً على التغذية الراجعة والتفسير التعليمي
النتيجة: 0 / 10
1
إذا كان أ : ب = 3 : 5 ، وكان أ = 12 ، فإن قيمة ب تساوي:
2
في النسبة أ / ب (حيث ب ≠ 0)، يسمى المقدار أ:
3
إذا ضُرب حدا النسبة في عدد حقيقي غير صفري، فإن قيمة النسبة:
4
النسبة بين 250 قرشاً و 5 جنيهات في أبسط صورة هي:
5
عددان النسبة بينهما 2 : 3 ومجموعهما 30، فإن العدد الأصغر هو:
6
إذا أضيف العدد 3 إلى حدي النسبة 7 / 11 ، فإن النسبة الناتجة تكون:
7
إذا كان (2س + 3) : (3س + 5) = 1 : 1 ، فإن س تساوي:
8
العدد الذي إذا أضيف إلى حدي النسبة 3 : 5 تصبح 1 : 1 هو:
9
إذا كان 3أ = 4ب ، فإن أ : ب تساوي:
10
النسبة بين مساحتي مربعين طول ضلعيها 2 سم و 5 سم هي: