المشغل الصوتي التفاعلي الذكي
استمع إلى النص كاملاً بقراءة معبرة واضحة ومتقنة، أو استمع لكل فقرة منفصلة
الفقرة الأولى: مفهوم التناسب وأطرافه
يُعَرَّفُ (التَّنَاسُبُ) بِأَنَّهُ: تَسَاوِي نِسْبَتَيْنِ أَوْ أَكْثَرَ. وَإِذَا كَانَتِ الْكَمِّيَّاتُ أ ، ب ، جـ ، د فِي تَنَاسُبٍ (أَيْ كَمِّيَّاتٍ مُتَنَاسِبَةً)؛ فَإِنَّهَا تُكْتَبُ عَلَى الصُّورَةِ: [أ / ب = جـ / د]. وَيُسَمَّى (أ) الْأَوَّلَ الْمُتَنَاسِبَ، وَ (ب) الثَّانِي الْمُتَنَاسِبَ، وَ (جـ) الثَّالِثَ الْمُتَنَاسِبَ، وَ (د) الرَّابِعَ الْمُتَنَاسِبَ. كَمَا يُطْلَقُ عَلَى الْعَدَدَيْنِ أ ، د اسْمُ (طَرَفَيِ التَّنَاسُبِ)، وَعَلَى الْعَدَدَيْنِ ب ، جـ اسْمُ (وَسَطَيِ التَّنَاسُبِ).
سؤال ذكاء للفهم
سؤال: ما تعريف التناسب؟ وما هما طرفا التناسب ووسطاه؟
إجابة استرشادية: التناسب هو تساوي نسبتين أو أكثر، والطرفان هما أ ، د والوسطان هما ب ، جـ في التناسب أ/ب = جـ/د.
الفقرة الثانية: الخاصية الأساسية: حاصل ضرب الطرفين = حاصل ضرب الوسطين
تُعَدُّ هَذِهِ الْخَاصِّيَّةُ الرَّكِيزَةَ الْأُولَى فِي حِسَابِ التَّنَاسُبِ: إِذَا كَانَ [أ / ب = جـ / د] فَإِنَّ [أ × د = ب × جـ]. وَالْعَكْسُ صَحِيحٌ تَمَامًا: إِذَا كَانَ أ د = ب جـ فَإِنَّ: أ / ب = جـ / د، أَوْ أ / جـ = ب / د (مُقَدَّمٌ عَلَى مُقَدَّمٍ = تَالٍ عَلَى تَالٍ)، أَوْ ب / أ = د / جـ (قَلْبُ النِّسَبِ)، أَوْ جـ / أ = د / ب. وَتُسْتَخْدَمُ هَذِهِ الْخَاصِّيَّةُ لِإِيجَادِ أَيِّ حَدٍّ نَاقِصٍ مِنَ الْحُدُودِ الْأَرْبَعَةِ لِلتَّنَاسُبِ.
سؤال ذكاء للفهم
سؤال: ما الخاصية الأساسية للتناسب؟ واذكر صيغة مقدم على مقدم.
إجابة استرشادية: حاصل ضرب الطرفين = حاصل ضرب الوسطين (أ د = ب جـ)، وصيغة مقدم على مقدم: أ / جـ = ب / د.
الفقرة الثالثة: خاصية الفرض الجبري بالثابت (م)
إِذَا كَانَ [أ / ب = جـ / د]، فَإِنَّهُ يُمْكِنُ فَرْضُ أَنَّ كُلَّ نِسْبَةٍ تُسَاوِي ثَابِتًا م حَيْثُ م ≠ 0. وَمِنْهَا نَحْصُلُ عَلَى التَّعْوِيضَيْنِ الْجَبْرِيَّيْنِ الْهَامَّيْنِ:
1. [أ = ب م] وَ [جـ = د م] (وَهِيَ الْأَكْثَرُ اسْتِخْدَامًا فِي إِثْبَاتِ صِحَّةِ الْمُتَطَابِقَاتِ الْجَبْرِيَّةِ حَيْثُ نُعَوِّضُ عَنْ أ وَ جـ بَدَلَالَةِ ب ، د ، م).
2. أَوْ [أ = جـ م] وَ [ب = د م] (عِنْدَمَا يَكُونُ أ / جـ = ب / د = م). وَيَتِمُّ التَّعْوِيضُ فِي الطَّرَفِ الْأَيْمَنِ وَالْأَيْسَرِ لِإِثْبَاتِ تَطَابُقِهِمَا.
سؤال ذكاء للفهم
سؤال: كيف نعوض عن أ و جـ في إثبات المتطابقات الجبرية؟
إجابة استرشادية: نفرض أ/ب = جـ/د = م، ومنها أ = ب م و جـ = د م ثم نعوض في الطرفين ونأخذ العامل المشترك للاختصار.
الفقرة الرابعة: الخاصية الخامسة الذهبية: مجموع المقدمات على مجموع التوالي
تَنُصُّ الْخَاصِّيَّةُ الْخَامِسَةُ عَلَى أَنَّهُ: إِذَا كَانَ [أ / ب = جـ / د = هـ / و]؛ فَإِنَّ:
[مَجْمُوعُ الْمُقَدَّمَاتِ / مَجْمُوعُ التَّوَالِي = إِحْدَى النِّسَبِ]. وَبِشَكْلٍ أَعَمَّ: إِذَا ضُرِبَتْ حُدُودُ النِّسْبَةِ الْأُولَى فِي عَدَدٍ ك₁، وَحُدُودُ الثَّانِيَةِ فِي ك₂، وَحُدُودُ الثَّالِثَةِ فِي ك₃؛ فَإِنَّ:
[(ك₁ أ + ك₂ جـ + ك₃ هـ) / (ك₁ ب + ك₂ د + ك₃ و) = إِحْدَى النِّسَبِ]. وَتُعَدُّ هَذِهِ الْقَاعِدَةُ السِّرَّ الْأَسَاسِيَّ فِي حَلِّ أَقْوَى مَسَائِلِ الْبَرَاهِينِ الْجَبْرِيَّةِ فِي امْتِحَانَاتِ الشَّهَادَةِ الْإِعْدَادِيَّةِ.
سؤال ذكاء للفهم
سؤال: ما نص الخاصية الخامسة للتناسب؟ وما صيغتها المعممة؟
إجابة استرشادية: مجموع المقدمات على مجموع التوالي يساوي إحدى النسب، ومعممة بضرب كل نسبة في ثابت غير صفري وجمع النواتج.
خريطة النص والعناصر الفنية التحليلية
استكشف خريطة النص وتعرف على الشخصيات والزمان والمكان والفكرة المحورية وأهم الدروس المستفادة.
خريطة الخواص الخمس الذهبية للتناسب (أ / ب = جـ / د)
1. الطرفين والوسطين: أ × د = ب × جـ.
2. مقدم على مقدم: أ / جـ = ب / د.
3. قلب النسب: ب / أ = د / جـ.
4. الفرض بالثابت: أ = ب م ، جـ = د م (م ≠ 0).
5. مجموع المقدمات: (ك₁ أ + ك₂ جـ) / (ك₁ ب + ك₂ د) = إحدى النسب.
2. مقدم على مقدم: أ / جـ = ب / د.
3. قلب النسب: ب / أ = د / جـ.
4. الفرض بالثابت: أ = ب م ، جـ = د م (م ≠ 0).
5. مجموع المقدمات: (ك₁ أ + ك₂ جـ) / (ك₁ ب + ك₂ د) = إحدى النسب.
جدول مقارنة: مواقع الحدود في التناسب وتطبيقاتها
اسحب أفقياً لعرض كامل الجدول
| الموقع في التناسب | الرمز في (أ/ب = جـ/د) | قانون الإيجاد السريع | مثال عددي عملي |
|---|---|---|---|
| الأول المتناسب | أ | أ = (ب × جـ) / د | س / 6 = 2 / 3 ⇐ س = (6 × 2)/3 = 4 |
| الثاني المتناسب | ب | ب = (أ × د) / جـ | 4 / س = 2 / 5 ⇐ س = (4 × 5)/2 = 10 |
| الثالث المتناسب | جـ | جـ = (أ × د) / ب | 3 / 7 = س / 14 ⇐ س = (3 × 14)/7 = 6 |
| الرابع المتناسب | د | د = (ب × جـ) / أ | 2 / 5 = 6 / س ⇐ س = (5 × 6)/2 = 15 |
معجم الألفاظ والتراكيب اللغوية الشامل (12 مفردة)
اضغط على أيقونة السماعة للاستماع لنطق الكلمة ومعناها وجملتها النموذجية
معنى
التَّنَاسُبُ
تَسَاوِي نِسْبَتَيْنِ أَوْ أَكْثَرَ
2/3 = 4/6 يمثل تناسباً.
معنى
الْأَوَّلُ الْمُتَنَاسِبُ
الْحَدُّ الْأَوَّلُ فِي سِلْسِلَةِ التَّنَاسُبِ (أ)
في التناسب أ/ب = جـ/د الحد أ هو الأول المتناسب.
معنى
الرَّابِعُ الْمُتَنَاسِبُ
الْحَدُّ الْأَخِيرُ فِي التَّنَاسُبِ الْبَسِيطِ (د)
إيجاد الرابع المتناسب للأعداد 3 ، 4 ، 6.
معنى
طَرَفَا التَّنَاسُبِ
الْحَدَّانِ الْأَوَّلُ وَالرَّابِعُ (أ ، د)
حاصل ضرب طرفي التناسب.
معنى
وَسَطَا التَّنَاسُبِ
الْحَدَّانِ الثَّانِي وَالثَّالِثُ (ب ، جـ)
حاصل ضرب وسطي التناسب.
معنى
مُقَدَّمٌ عَلَى مُقَدَّمٍ
قِسْمَةُ بَسْطِ الْأُولَى عَلَى بَسْطِ الثَّانِيَةِ لِيُسَاوِيَ تَالٍ عَلَى تَالٍ
أ/جـ = ب/د.
معنى
مَجْمُوعُ الْمُقَدَّمَاتِ
جَمْعُ بُسُوطِ النِّسَبِ الْمُتَسَاوِيَةِ
مجموع المقدمات على مجموع التوالي.
معنى
مَجْمُوعُ التَّوَالِي
جَمْعُ مَقَامَاتِ النِّسَبِ الْمُتَسَاوِيَةِ
مقام النسبة الناتجة من الخاصية الخامسة.
معنى
إِحْدَى النِّسَبِ
الْقِيمَةُ الثَّابِتَةُ لِأَيِّ نِسْبَةٍ مِنَ النِّسَبِ الْأَصْلِيَّةِ
الناتج يساوي إحدى النسب م.
معنى
الْعَامِلُ الْمُشْتَرَكُ
مِقْدَارٌ جَبْرِيٌّ يُؤْخَذُ خَارِجَ الْقَوْسِ لِتَبْسِيطِ الْكَسْرِ
أخذ م كعامل مشترك في البراهين.
مضاد
تَنَاسُبٌ ↔ اخْتِلَالُ النِّسْبَةِ
المضاد: التَّسَاوِي وَالتَّوَازُنُ مُقَابِلَ عَدَمِ التَّكَافُؤِ
التناسب يحقق التكافؤ العددي.
جمع
مُتَطَابِقَةٌ
الجمع: مُتَطَابِقَاتٌ (عِلَاقَةٌ رِيَاضِيَّةٌ صَحِيحَةٌ لِجَمِيعِ قِيَمِ الْمُتَغَيِّرَاتِ)
إثبات صحة المتطابقات الجبرية.
معمل الجبر: خطوات برهان المتطابقات باستخدام التناسب
منهجية الحل الوزارية النموذجية لإثبات تطابق طرفي متساوية كسرية:
1. كتابة الفرض القياسي
نفرض أن أ/ب = جـ/د = م ⇐ أ = ب م ، جـ = د م.
أمثلة: تجهيز التعويضين أ و جـ بدلالة م.
2. التعويض في الطرف الأيمن وتبسيطه
استبدال كل أ بـ (ب م) وكل جـ بـ (د م)، ثم استخراج العامل المشترك واختصاره حتى نصل إلى أبسط صورة بدلالة م.
أمثلة: الطرف الأيمن = م.
3. التعويض في الطرف الأيسر ومطابقته
تبسيط الطرف الأيسر بنفس الأسلوب حتى يصل لنفس ناتج الطرف الأيمن، لنستنتج أن الطرفين متساويان.
أمثلة: الطرف الأيسر = م ⇐ الطرفان متساويان.
تدريب برهاني تطبيقي
إذا كان أ ، ب ، جـ ، د كميات متناسبة، أثبت أن: (2أ + 3جـ) / (2ب + 3د) = أ / ب.
البرهان:
نفرض أ/ب = جـ/د = م ⇐ أ = ب م ، جـ = د م.
الطرف الأيمن = [2(ب م) + 3(د م)] / (2ب + 3د) = [م (2ب + 3د)] / (2ب + 3د) = م.
الطرف الأيسر = أ / ب = (ب م) / ب = م.
إذن: الطرف الأيمن = الطرف الأيسر (وهو المطلوب إثباته).
البرهان:
نفرض أ/ب = جـ/د = م ⇐ أ = ب م ، جـ = د م.
الطرف الأيمن = [2(ب م) + 3(د م)] / (2ب + 3د) = [م (2ب + 3د)] / (2ب + 3د) = م.
الطرف الأيسر = أ / ب = (ب م) / ب = م.
إذن: الطرف الأيمن = الطرف الأيسر (وهو المطلوب إثباته).
بنك التقييم الذكي الشامل (10 سؤالاً)
اختر الإجابة الصحيحة لكل سؤال، وستحصل فوراً على التغذية الراجعة والتفسير التعليمي
النتيجة: 0 / 10
1
الرابع المتناسب للأعداد 4 ، 12 ، 5 هو:
2
إذا كان أ / 3 = ب / 4 ، فإن 4أ - 3ب + 5 تساوي:
3
إذا كان أ / ب = جـ / د = 3 / 5 ، فإن (أ + جـ) / (ب + د) يساوي:
4
الثاني المتناسب للأعداد 2 ، س ، 6 ، 15 هو:
5
إذا كان 2أ = 5ب ، فإن أ / ب تساوي:
6
إذا كان أ ، ب ، جـ ، د كميات متناسبة، فإن العبارة الصحيحة دائماً هي:
7
إذا كان أ / ب = 2 / 3 ، فإن (3أ - 2ب) / (أ + ب) يساوي:
8
الأول المتناسب للأعداد س ، 8 ، 3 ، 12 هو:
9
إذا كان س / ص = 2 / 3 ، فإن قيمة المقدار (3س + 2ص) / (6ص - س) هي:
10
إذا كان أ / 2 = ب / 3 = جـ / 4 = (2أ - ب + 5جـ) / ك ، فإن قيمة ك تساوي: